Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas casos especiales

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Concepción Ferreyra Gallego
hace 7 años
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1 Ecuaciones cuadráticas Resolver ecuaciones cuadráticas casos especiales Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico - Arecibo

2 Ecuación cuadrática en forma general Una ecuación cuadrática tiene una forma general como sigue ax 2 + bx + c = 0, donde a, b,c son valores reales; y a 0 a es el coeficiente del término cuadrático (coeficiente de la variable de grado 2). b es el coeficiente del término lineal (coeficiente de la variable de grado 1.) c es la constante.

3 Soluciones de una ecuación Una ecuación cuadrática puede tener Dos (2) soluciones reales Una (1) solución real Ninguna (0) solución real No olvide que un valor es solución de una ecuación cuadrática que está en forma general si, al remplazarlo por la variable y simplificar, la expresión cuadrática es igual a 0. El proceso de determinar las soluciones de una ecuación, se conoce como resolver la ecuación.

4 Resolver ecuaciones cuadráticas Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Método de factorización Método de raíz cuadrada Método utilizando la fórmula cuadrática

5 Ecuación cuadrática en forma general Nota: No todas las ecuaciones cuadráticas son trinomios, o sea no todas tienen 3 términos. En una ecuación cuadrática (en su forma general), ax 2 + bx + c = 0, los coeficientes b y/o c pueden ser igual a 0. Ejemplos: 9x 2 16 = 0 4x 2 = 8 5x 2 15x = 0 (El coeficiente lineal, b, es 0. ( 4x 2 8 = 0, el coeficiente lineal, b, es 0. (El término constante, c, es 0. 9x = 1 2 x2 ( 1 2 x2 9x = 0, el término constante, c, es 0.

6 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando c = 0 Ejemplo: Determine el conjunto solución de 5x 2 15x = 0 Solución: Cuando en una ecuación cuadrática la constante (c) es 0, el factor común mayor de los términos que quedan contiene al menos, alguna potencia de la variable. Cuando c = 0, podemos resolver la ecuación mediante factorización por factor común.

7 Ejemplo-continuación Solución: (continuación) Podemos aplicar la propiedad distributiva para factorizar. 5x 2 15x = 0 5x(x 3) = 0 Ahora aplicamos el principio del factor cero: 5x = 0 5x 5 = 0 5 x = 0 x 3 = 0 x = 3 El conjunto solución es: {0, 3}

8 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando c = 0 Ejemplo: Determine el conjunto solución de 18x 3 + 9x 2 = 0 Solución: No hay constante. No es una ecuación cuadrática. Podemos remover de los dos términos el factor común mayor de 9x 2

9 Ejemplo continuación Solución: (continuación) 18x 3 + 9x 2 = 0 9x 2 (2x + 1) = 0 Por el principio del factor cero 9x 2 = 0 9x 2 9 = 0 9 x 2 = 0 x = 0 2x + 1 = 0 2x = 1 2x 2 = 1 2 x = 1 2 El conjunto solución es: {0, 1 2 }

10 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando c = 0 Ejemplo: Determine el conjunto solución de 3x 2 = 7x Solución: Para resolver una ecuación cuadrática, debe estar en su forma general, o sea igual a 0. 3x 2 7x = 0 Factorizamos mediante factor común:

11 Ejemplo continuación Solución: (continuación) 3x 2 7x = 0 x (3x 7) = 0 Por el principio del factor cero x = 0 3x 7 = 0 3x = 7 3x 3 = 7 3 El conjunto solución es: {0, 7 3 } x = 7 3

12 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero, empleamos el método de la raíz cuadrada para resolverlo. Ejemplos: 2x 2 7 = 0 36 = 9x 2 (3x - 5) 2 = 5

13 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Cuando una ecuación cuadrática tiene sólo un término cuadrático y uno constante, aplicamos el principio de igualdad y dejamos a un lado de la ecuación el término cuadrático y al otro lado el término constante. Luego extraemos la raíz cuadrada de ambos lados, tomando en cuenta lo siguiente:

14 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 x 2 9 Se plantea la siguiente pregunta: Cuál número da como resultado 9 cuando se cuadra? Noten, que la pregunta tiene dos respuestas: 3 y -3. Por eso, al extraer la raíz cuadrada de ambos lados de x 2 = 9 x 2 = ± 9 x = ±3 Las soluciones son: x = -3, x = 3

15 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Ejemplo: Resolver x = 10 Solución: x = 10 2 x 2 = 8 x 2 = ± 8 x = ± 8 x = ± 2 2 Las soluciones son: x = 2 2, y x = 2 2

16 Resolver ecuaciones cuadráticas cuando b = 0 Ejemplo: Determinar las soluciones de 3x 2 5 = 7 Solución: 3x = x 2 = 12 3x 2 3 = 12 3 x 2 = 4 x 2 = ± 4 x = ±2 Las soluciones son x = 2 y x= 2.

17 Ejemplo Resolver: (2x 7) 2 16 = 0 Solución: (2x 7) = 16 (2x 7) 2 = ± 16 2x 7 = ±4 2x 7 = 4 2x 7 = - 4

18 Ejemplo continuación 2x 7 = 4 2x 7 = - 4 2x 7 + 7= x = 11 2x 2 = 11 2 x = 5.5 2x 7 + 7= x = 3 2x 2 = 3 2 x = 1.5 El conjunto solución es {1.5, 5.5}

19 Ejemplo - continuación Solución: continuación 2x 7 = 3 2x = 3+7 Aquí hay dos ecuaciones lineales para resolver: 2x = 3+7 2x = 10 x = 5 2x = 3+7 2x = 4 x = 2 El conjunto solución de la ecuación es: {2, 5}

20 Resolver: 7(x 3) = 8 7(x 3) = 8 5 7(x 3) 2 = 3 7(x 3) 2 = (x 3) 2 = 3 7 (x 3) 2 = ± 3 7 x 3 = ± 3 7

21 Resolver: 7(x 3) = 8 x = 3 ± 3 7 x = 3± 3 7 x = ó x = Las soluciones son x = y x=

22 Ejercicios Resuelva: 1) y 2 = 7 2) 3w 2 = 15 3) 5y 2 = 4 4) (x+2) 2 = 10 5) 3(y-4) = 6

23 Soluciones 1) {3, -3} 2) 3) 4) 5) { 7, 7} { 5, 5} { 4 5, 4 5 } { 10 2, 10 2} 6) { 2 3 4, 2 3 4}

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