Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 - Viernes 27 de Abril. Contenidos

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1 Coordinación de Matemática I (MAT01) 1 er Semestre de 013 Semana 7: Lunes - Viernes 7 de Abril Cálculo Contenidos Clase 1: Álgebra de límites. Teorema del Sandwich. Cálculo de límites. Límites trigonométricos. Clase : Límites infinitos. Límites en el infinito. El número e como límite. 1 Clase Aprendizajes esperados Calcula límites mediante teoremas (álgebra de límites, teorema de la compuesta, teorema del sandwich). Identifica y aplica límites trigonométricos fundamentales para calcular ites trigonométricos más generales. 1. Álgebra de límites. Sean b, c números reales, y f, g : A R R funciones tales que los siguientes límites existen entonces: f(x) = L y g(x) = K 1. Múltiplo escalar: [bf(x)] = bl. Suma o diferencia: [f(x) ± g(x)] = L ± K 3. Producto: [f(x)g(x)] = LK f(x) 4. Cociente: g(x) = L, supuesto que K 0 K 5. Potencia: [f(x)] n = L n, para cualquier entero positivo n 6. Raíz: n f(x) = n L, para cualquier entero positivo n. Nota: Si n par entonces se debe tener L > 0. Teorema 1.1 (Funciones que coinciden salvo en un punto). Sea I un intervalo abierto y c I un número real. Si f(x) = g(x) para todo x I {c} y existe el límite de g(x) cuando x tiende a c, entonces también existe el de f(x), y se tiene f(x) = g(x). MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo) 1

2 Teorema 1. (Límite de una función compuesta). Si g (x) = a con g (x) a en una vecindad perforada de b x b y existe f(x) entonces f (g (x)) = f (x) x b Observación 1.1. Muestre con un ejemplo que si g es constante el resultado no se cumple Ejemplo 1.1. Calculemos x Sea g : [ 1, + [ R, x g (x) = x + 1 y consideremos note que y g (x) 1 en ] 1, 1[ {0} además f : R {1} R x f (x) = x 1 x 1 g (x) = 1 ( ) ( ) x 1 1 x 1 x = = 1 1 x 1 x + 1 entonces por el teorema x = f (g (x)) = f (x) = 1 1 Observación 1.. El Teorema anterior, puede ser usado con cambio de variable,en la forma u = g(x) entonces u a x b y x b f (g (x)) = u a f (u). En el ejemplo, ponemos u = x + 1 entonces u 1 x 0 entonces (note que x = u 1) x u 1 = u 1 u 1 = 1 u 1 u + 1 = Teorema del Sandwich. Teorema 1.3 (Teorema del Encaje o del Sandwich). Sean f, g, h funciones en R. Si h(x) f(x) g(x) para todo x en una vecindad de c sin (necesariamente) incluir a c, y entonces f(x) existe y es igual a L. 1.4 Cálculo de Límites. Algunos ejercicios propuestos cos x = cos(a) h(x) = L = g(x) Sugerencia: Demostrar que [cos(x) cos(a)] = 0, para esto observar que ( ) ( ) ( ) 0 cos x cos a = x + a x a sen sen x a sen x a = x a y aplicar el teorema del encaje o la definición de límite. x = 1 x 5 x 5 4 Sugerencia: Amplificar por x Escribir numerador como (x 5). Simplificar. MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo)

3 x sen(1/x) = 0 Sugerencia: Usar que 1 sen(1/x) 1 y multiplicar esta expresión por x, luego usar el teorema del sandwich. Límites que involucren polinomios y funciones racionales. 1.5 Límites Trigonométricos. Para el cálculo de límites en los que se ven involucradas expresiones trigonométricas es común el uso de los límites trigonométricos fundamentales, que corresponden a: sen x 1 cos x = 1 = 0. Es de recalcar que, en ambos límites, x 0. Observación 1.3. Se puede hacer un esbozo de la demostraci on utilizando: (cos(θ),sin(θ)) (1,tan(θ)) θ Observando los sectores determinados por la figura, verificar que tan θ θ sen θ sen θ lo que permitirá demostrar (Sandwich) que = 1. θ 0 θ 1 cos x Por otro lado, = 0 se obtiene aplificando por 1 + cos x. Ejercicios Propuestos sen 3x sen 5x = 3 5 sen (ax) Si sen (3bx) = 3, a 0, b 0. Determine a/b. Respuesta: 9/4. sen(x π 3 ) x π/3 1 cos(x) = 1 3 Sugerencia: Hacer u = x π/3, descomponer cos(u + π/3) como resta de términos, amplificar por (1 + cos(u)) y simplificar sen(u). MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo) 3

4 Calcule el siguiente límite: ( 1 + sen x 1 sen x)x sec. (x) 1 Sugerencia: Amplificar por ( 1 + sen x + 1 sen x). Respuesta: 1/4. Clase.1 Aprendizajes esperados Reconoce el concepto de límite infinito y el álgebra asociada. Calcula límites en el infinito. Encuentra asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, reconociendo su relación con el gráfico de la función correspondiente. Reconoce el número e y calcula límites relacionados. Identifica diferentes tipos de formas indeterminadas.. Límites infinitos Definición.1 (Valores de función que crecen sin límite). Sea f una función definida en una vecindad perforada de a. Se dirá que f crece sin límite cuando x tiende a a, lo cual se escribe f(x) = + si N > 0, δ > 0 : 0 < x a < δ f(x) > N Definición. (Valores de función que decrecen sin límite). Sea f una función definida en una vecindad perforada de a. Se dirá que f decrece sin límite cuando x tiende a a, lo que se escribe f(x) = si N < 0, δ > 0 : 0 < x a < δ f(x) < N Observación.1. En los dos casos presentados anteriormente es más común decir el límite de f(x) cuando x tiene a a es infinito positivo (más infinito) o infinito negativo (menos infinito). Sin embargo se debe dejar en claro que el límite no existe, pues los símbolos y + no representan a ningún número real y sólo expresan un tipo de comportamiento. Teorema.1. Si para a R y dos funciones f, g se tiene f(x) = 0 y g(x) = c, donde c 0, entonces 1. Si c > 0, y f(x) 0 a través de valores positivos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = +. Si c > 0 y f(x) 0 a través de valores negativos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = 3. Si c < 0, y f(x) 0 a través de valores positivos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = 4. Si c < 0 y f(x) 0 a través de valores negativos de f(x), entonces [g(x)/f(x)] = + Teorema.. MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo) 4

5 Si f(x) = ± y g(x) = c R, entonces [f(x) + g(x)] = ± Teorema.3. Si f(x) = ± y g(x) = c R {0}, entonces: 1. Si c > 0, f(x) g(x) = ±. Si c < 0, f(x) g(x) = Una aplicación de este tipo de límites es el cálculo de asíntotas: Definición.3. Una asíntota en el gráfico de una función es una recta tal que su distancia al gráfico de la función tiende a cero a medida que la recta se aleja del origen. Definición.4 (Asíntota vertical). La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de la función f si al menos uno de los siguientes enunciados es verdadero: f(x) = + + f(x) = + f(x) = + f(x) = Ejercicios Tipo Verificar a través de la definición que + 1/xr =. Sugerencia: Usar la desigualdad 1/x r > N y notar que δ = (1/N) 1/r. Verificar que x 1 x = y x 1 x 1 + x x 1 = +. x + x + x 3 x =. Sugerencia: Factorizar el denominador, notar que el límite del numerador es 14 y x 3 que el denominador tiende a 0 por medio de valores negativos. (x 3) 4 x x x =. Sugerencia: Factorizar el denominador y separar la expresión (x 3)/(x + ) 4 notando que tiende a 1/4 y la expresión restante a. Determine si la función f(x) = 3/(4 x ) cuenta con asíntotas verticales. Respuesta: Se tienen asíntotas verticales en y..3 Límites en el infinito Definición.5 (Límites en el infinito). Sea L un número real, se verifica 1. f(x) = L, si ɛ > 0, M > 0 : x > M f(x) L < ɛ x +. f(x) = L, x si ɛ > 0, M > 0 : x < M f(x) L < ɛ Definición.6 (Asíntota horizontal). La recta y = L es una asíntota horizontal de la gráfica de la función f si se tiene alguna de las siguientes expresiones: 1. f(x) = L. f(x) = L x x + MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo) 5

6 Observación.. a 0 + a 1 x + a x a n x n b 0 + b 1 x + b x b m x m = 0 si m > n a n /b n si m = n si n > m a n > 0 si n > m a n < 0 Ejercicios Tipo 1 Verificar a través de la definición que x = 0. Sugerencia: Dado ɛ > 0, usar la desigualdad 1 x < ɛ y hacer M = 1/ɛ. x Verificar a través de la definición que 1 + x = 0. Sugerencia: Dado ɛ > 0, usar la desigualdad x 1 + x < ɛ y analizar la función cuadrática asociada. Calcular arctan(x) = π. Notar que es asíntota horizontal. Basta recordar que tan(x) = x π a x(x a) x =. Sugerencia: Amplificar por ( x(x a) + x) x 3/ x + 4x 4/3 + 3x 5x 3 x + x 1/ + 1 = 0. Sugerencia: Amplificar por (1/(x )). Ejercicio.1. Definir los límites f (x) = ± x ±.4 Asíntotas oblicuas Una asíntota oblicua al gráfico de la función f (x) es una recta de ecuación y = mx + n (m, n R m 0) tal que x + (f (x) (mx + n)) = 0 x (f (x) (mx + n)) = 0 de esta forma, para verificar que cierta recta es una asíntota oblicua basta verificar que tal límite es cero. problema más interesante es: Dada una función determinar si posee una asíntota oblicua. Note que Un f (x) (mx + n) (f (x) (mx + n)) = 0 = 0 ( x f (x) x m n ) = 0 x ( ) f (x) = m x ( ) de esta forma si y = mx + n es una asíntota oblicua al gráfico de f (x) entonces m = f(x) x. Note que si conocemos m podemos calcular n de la siguiente forma Ejercicio.. Determine todas las asíntotas de (f (x) mx) = n f (x) = x ( x + x + x + 1 ) x 1 MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo) 6

7 .5 El número e como límite ( x = e x ± x) Observación.3. Presentar la equivalencia con u = 1/x. Observación.4. Mencionar su aparición en problemas de interés compuesto. Ejercicios Propuestos Verificar que ( 1 + a ) x = e a x ( ) x 3x + 1 = e 4 3x 5 ( 4x 3 4x + 5 ) 3x+1 = e 6.6 Observación: Formas Indeterminadas ( ) x+5 x + 1 = e x 3 x + sen πx/ = 1 x + 1 Los casos 0 0,,, 1, 0 0 son llamados formas indeterminadas y el límite puede o no existir. Para este tipo de casos, además de las herramientas actuales se presentará un nuevo método a medida que avance el curso. Ejercicios Tipo Identificar la forma indeterminada asociada a los siguientes límites y verificar que: x 7 + x + 1 x 7 + x = 1 x x + 1 = MAT01 Primer Semestre 013 (Cálculo) 7