Límites de función Polinomial

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1 UNIVERSIDAD TÉCNICA NACIONAL CARRERA: INGENIERÍA TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN CURSO: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CÓDIGO: ITI-314 OBJETIVO: Límite de una función en un punto. Teorema sobre límites. Cálculo de límites Límite de una función en un punto. En ocasiones sucede que, una función no está definida en un punto x= a los valores de y = ( ) se acercan a un límite L conforme x se acerca al valor de a. Esto se denota: lim = Esto se le: ( ) tiende a L cuando x tiende a a. Límites de función Polinomial La función no está definida en X= 5, pero para x cercanos de 5 podemos observar los siguientes valores de la función : Acercándonos por la izquierda Acercándonos por la derecha X 4 4,5 4,9 4,99 f(x) 36 42,75 48,51 49,85 X 5,001 5,1 5,5 6 f(x) 50,1 51,51 57,75 66 Note que si sustituimos el valor de 5, se obtiene una expresión indefinida, esto nos permite modificar la función, simplificando la expresión algebraica ; utilizando los métodos de factorización. Veamos; ( ) ( )( ) Factor común Diferencia de cuadrados.

2 Al cancelar los factores iguales la expresión nueva nos permite calcular x =5 ( + 5) 1 Por lo tanto, podemos estimar el límite de la función de polinomios: lim ( + 5) = 50 Practiquemos: Simplifique cada expresión y calcule su límite. 1) lim 2) lim 3) lim 4) lim 5) lim

3 Límites de funciones Radicales La función no está definida en y= 9, necesitamos racionalizar el numerador antes de simplificar. lim 3 9 = Practiquemos: Racionalice, simplifique cada expresión y calcule su límite. 6) lim 7) lim 8) lim 9) lim

4 Calcule para g(x)= 5, , 1 < < , 1 a) g(-1)= e) g(1)= i) g(0)= b) lim ( )= f) lim ( )= j) lim c) lim ( )= g) lim k) lim d) lim ( )= h) lim ( )= l) lim

5 UNIVERSIDAD TÉCNICA NACIONAL CARRERA: INGENIERÍA TECNOLOGÍAS DE INFORMACIÓN CURSO: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CÓDIGO: ITI-314 OBJETIVO: Definición de límite. Teorema sobre límites. Límites infinitos. Límites al infinito. Continuidad de una función. Teoremas Definición de límite. Sea una función definida en un intervalo abierto que contiene a c ( salvo posiblemente en c) y l un número real. La afirmación Esto se denota: = Significa que para todo > existe un > tal que si 0< <. Entonces ( ) <. Propiedades de los límites. Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con los límites siguientes; lim= Múltiplo escalar lim ( ( )) = Suma y diferencia lim [ ( )± ( )] = ± Producto lim Cociente lim Potencia lim [ ( ) ( )] = [ ( )/ ( )] = / k 0 [ ( )] =

6 Límites infinitos Sea f la función dada por no está definida en X= 2, pero para x cercanos de 2, sucede; f(x) decrece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la izquierda y crece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Complete la siguiente tabla : Acercándonos por la izquierda Acercándonos por la derecha X 1 1,5 1,9 1,99 f(x) X 2,001 2,1 2,5 3 f(x) Definición de límites infinitos Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c ( salvo, posiblemente en el propio c. La expresión Significa que para todo M > existe un > tal que ( ) >, siempre que 0< <. Significa que para todo < existe un > tal que ( ) <, siempre que 0< <. Practiquemos: Determine el límite infinito, de las siguientes funciones. 1) 2) ( )

7 3) 3 ( + 2) Definición de Asíntotas verticales Si f(x) tiende al infinito una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c ( salvo, posiblemente en el propio c. La expresión Significa que para todo M > existe un > tal que ( ) >, siempre que 0< <. Significa que para todo < existe un > tal que ( ) <, siempre que 0< <. no está definida en X= 2, pero para x cercanos de 2, sucede; f(x) decrece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la izquierda y crece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Límites al infinito Sea L un número real 1. El enunciado Significa que para cada > existe un M > tal que ( ) <. Siempre x>m 2. El enunciado Significa que para cada > existe un N < tal que ( ) <. Siempre x<n Teoremas.Sea r un número racional positivo y c es cualquier número real, entonces =

8 Practiquemos: Determine el límite, si existe, de las siguientes expresiones. 1) lim ) lim 3) lim 4) lim Continuidad de una función Si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces la función compuesta dada por (La función ( ) ( ( )) es continua en c. Propiedades de continuidad. Si b es un número real y f y g son continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son continuas. Múltiplo escalar bf Suma y diferencia f+g, f-g Producto fg Cociente si g(c) 0 Veamos las siguientes funciones : + h 3 Son continuas en todos sus puntos? Practiquemos: Analice la continuidad de las siguientes funciones.

9 1) ) )