LÍMITE DE FUNCIONES. 1) Introducción geométrica del concepto de límite de una función cuando la variable tiende a un valor finito.

Transcripción

1 1) Introducción geométrica del concepto de ite de una función cuando la variable tiende a un valor finito. Simulador 1 Limite interpretación geométrica f() La función está definida para todo número real? Si la variable independiente tiende al valor : A qué valor tiende su imagen? f() 4 Podemos observar, tanto gráfica como analíticamente compruebe con una tabla de valores para (1,) (,3) - que al aproimarse la variable al valor, tanto por valores mayores a como menores a (por derecha y por izquierda), los valores de la función se aproiman a f()4. Podemos decir que la función tiene como ite el valor finito 4 cuando tiende a y lo epresamos: f() 4 Copyright 15 1

2 Simulador Limite función racional f() 3 + La función está definida para todo número real? Si la variable independiente tiende al valor : A qué valor tiende su imagen? f() 1 Podemos observar, tanto gráfica como analíticamente compruebe con una tabla de valores para (1,) (,3) - que al aproimarse la variable al valor, tanto por valores mayores a como menores a (por derecha y por izquierda), los valores de la función se aproiman a f() 1, pero.. La función no está definida en, pues Domf(). Podemos decir que la función tiene como ite el valor finito 1 cuando tiende a y lo epresamos: f 1 () 1 1 Copyright 15

3 si Simulador 3 limite función por tramos f() si La función está definida para todo número real? Si la variable independiente tiende al valor : A qué valor tiende su imagen? f()? < Podemos observar, tanto gráfica como analíticamente compruebe con una tabla de valores para (-1,) (,1) - que al aproimarse la variable al valor, tanto por valores mayores a como menores a (por derecha y por izquierda), los valores de la función se aproiman a f()...? Podemos decir que la función tiene como ite un valor finito cuando tiende a? Lo epresamos: f si () NO EXISTE si < Veamos otro ejemplo 3 1 Limite (eistencia) Copyright 15 3

4 Definición: Sea f() una función definida en cada número de algún intervalo abierto que contiene al punto a, ecepto posiblemente en a mismo. El ite de f() cuando tiende a a es L y se simboliza: a f() si la siguiente proposición es verdadera: Dado cualquier n >, eiste un r > tal que si E`(a, r) entonces f() E(L, n ). Observación: El ite de una función eiste si los ites laterales son iguales y además es un número real finito L. Copyright 15 L 4

5 Veamos el simulador 4 interpretación de la definicion (r(n)) Sea la función f(). La gráfica asociada a la función resulta una curva llamada parábola. A que valor se acerca f(), si tiende al valor? Si entonces f() 4 Si r,5 E (;r)(-,5 ; +,5)-{} (1,5 ;,5)-{} Luego el entorno de L4 es (,5 ; 6,5) pues f(1,5),5 y f(,5) 6,5 Y si se tiene el intervalo del entorno de L? cómo se calculan los etremos del intervalo reducido de centro? E(4,n)(,5; 6,5) (f(a);f(b)) Luego f(a),5 a y f(b)6,5 b a1,5 y b,5 9 Análisis de la función: f() Para análisis (ite) 3 Copyright 15 5

6 Teorema: El f() eiste y es igual a L si y sólo si y a a f() eisten y son iguales. a + f() Observación: Depende de la función de análisis, por ejemplo para f() definida para los números reales menores o iguales que, sólo tiene sentido aproimarse a por la izquierda: - (valores menores que dos), esta aproimación es el ite lateral izquierdo. Como el Dom f() es el intervalo (-, ] no tiene sentido plantear que sucede con f() para >, es decir cuando tiende a por la derecha: + que llamamos ite lateral derecho. Copyright 15 6

7 Qué pasa cuando alguno de los ites laterales no tiene un valor finito, eiste L? Veamos el siguiente ejemplo: f() 3 + Dom f(): R-{1,} Qué sucede en un entorno reducido del punto de abscisa 1? Si me acerco por izquierda con valores entre y 1: 1- f() decrece rápidamente, es decir f() - Si me acerco por derecha con valores entre 1 y : 1+ f() crece rápidamente, es decir f() + Comprobar con el simulador limite de la función racional ElLÍMITE NO EXISTE, el símbolo + ó - indica el comportamientode los valores de la función f() cuando se aproima al punto a. Copyright 15 7

8 Veamos el siguiente ejemplo: LÍMITE DE FUNCIONES Dom f(): R-{} Qué sucede en un entorno reducido del punto de abscisa? Si me acerco por izquierda con valores entre -1 y : - f() crece rápidamente, es decir f() + Si me acerco por derecha con valores entre y 1: + f() crece rápidamente, es decir f() + Comprobar con el simulador Para análisis (ite) Lo cual se epresa: y f() + + f() f () + o simplemente LÍMITE NO EXISTE, el símbolo + ó - indica el comportamiento de los valores de la función f() cuando se aproima al punto a. 1 f() Copyright 15 8

9 Observación: En ambos casos el LÍMITE NO EXISTE, el símbolo + indica el comportamiento de los valores de la función f() cuando se aproima al punto a. CONVENCIÓN: Como en los casos anteriores, en que hemos indicado que la función no tiene ite en a, cuando al tender a + la función tiende f - y al tender a - la función f + (o viceversa); o cuando al tender al valor a siempre crece (decrece) indefinidamente, se epresa que el LÍMITE de la función NO EXISTE, ya que ese ite es infinito. Copyright 15 9

10 Ejercicio: Considere las siguientes funciones (f1, f, f3 y f4) y para cada una de ellas indique a) Máimo dominio real b) Realice su gráfica c) Determine si eiste el valor de la función en 1 d) Observe desde la gráfica y complete f()? cuando 1 f1()3-1 f() 1si < si f3() ( 1)(3 1 1) f4() 1 si 1 si > < Copyright 15 1

11 Propiedades Consideramos los siguientes teoremas de ites, importantes para poder justificar la resolución de los ejercicios. Verifíquelas para f()-1 y g()4/3-1 para a1 Sean f() L1 y 1) ) 3) 4) a a [f() ± g()] L1 ± [f().g()] L1. a a a f() g() c.f() L1 L c.l1 si a L L L g() L 5) [f() ] (L1) n N a Copyright 15 n n 11

12 Propiedades (cont.) 6) a 1 n 1 [ f() ] (L1) n n N, si n es PAR entonces L1 Además se verifican: *Si f() L y f() L LL a ** Si f() c (constante real) entonces para cualquier a f() c a a *** Si f() (función identidad) entonces para cualquier a a f() a Copyright 15 1

13 Técnicas para el cálculo de Límites y poder salvar indeterminaciones de la forma : a) Sustitución directa Verifique que 1 1 b) Salvar la indeterminación * Por factorización de polinomios y reemplazando el numerador por ( + 1)( + ), L 1 Verifique que Copyright 15 13

14 Técnicas para el cálculo de Límites (cont.) c) Por el conjugado de una epresión Verifique que tiene por ite 4 4 L 4 Teniendo en cuenta la propiedad de los números reales (a-b)(a+b)a b 1 Resulta que el conjugado del numerador es la epresión + Con lo cual ( )( + ) ( ) 4 Luego para no alterar la epresión del ite multiplicamos a la función por 1 Copyright

15 Analice los siguientes gráficos y evalúe los ites en los puntos indicados a) -1 1 b) -4-3 Dom f[-;3] Dom f[-4;4] Copyright 15 15

16 DIRECCIONES Simulador 1 Limite interpretación geométrica Simulador Limite función racional Simulador 3 limite función por tramos Simulador 3 1 Limite (eistencia) Simulador 4 interpretación de la definicion (r(n)) Simulador Para análisis (ite) Copyright 15 16