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1 Coordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2010 Semana 8: Lunes 10 viernes 14 de Mayo Información importante El viernes 14 ser publicada la tarea preparatoria de Taller de Sala. Durante la semana estarán disponibles los resultados de las apelaciones en el sitio web del curso. Cálculo Contenidos Clase 1: Continuidad: Definición y ejemplos. Álgebra de funciones continuas. Compuesta de funciones continuas. Clase 2: Discontinuidades. Teorema del valor intermedio 1 Clase1 1.1 Aprendizajes esperados Reconoce el concepto de función continua y su interpretación geométrica. Utiliza álgebra de funciones continuas y teorema de la composición para identificar funciones continuas más generales. Reconoce continuidad de funciones definidas por tramos y en diferentes tipos de intervalos. 1.2 Continuidad: definición y ejemplos Definición 1.1 (Continuidad en un punto). Se dice que la función f es continua en a las siguientes dos condiciones: 1. lim f(x) existe; 2. lim f(a) dom (f) si se satisfacen Qizas Quizas Si indicar a decir es punto que que estamos de acumulacio asumiendo (pensar que que en existe un un intervalo intervalos). (a-r,a+r) Hablar o (a-r,a] contenido de o caso [a,a+r) en de el puntos dom(f). dentro del dom(f) para esta definicion. aislados!! Si alguna de las anteriores condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en ese punto. Equivalentemente, f es continua en a si > 0, > 0 : (x dom (f) x a < ) f(x) f(a) <. MAT021 (Cálculo) 1

2 Teorema 1.1 (Álgebra de funciones continuas). Sean f, g dos funciones continuas en a, entonces 1. f + g es continua en a; 2. f g es continua en a; 3. f g es continua en a; 4. f/g es continua en a, considerando que g(a) = 0. Ejemplos 1. La función no es continua en x = 0 pues lim lim x 0 + x 0 2. Los polinomios son continuos para todo número real. x /x si x = 0 0 si x = 0 3. Las funciones sen x y g(x) = cos x son continuas en todo R. f(x), por lo tanto no existe lim x 0 f(x). 4. Si n es un número entero positivo y entonces n x (a) Si n es impar, entonces f es continua en todo número. (b) Si n es par, entonces f es continua en todo número positivo. 5. La función x si x Q x si x Q es continua en x = 0 y no en otro punto. Para verificar esto, sea > 0, con el fin de demostrar que > 0, tal que 0 < x 0 < f(x) <. Tomando = : Si x Q, x 0 < f(x) = x < = Si x Q, x < f(x) = x = x < = De este modo lim x 0 f(0) = 0 no negativo. Teorema 1.2 (Límites y continuidad). Sea f una función continua en x = a. g (x) = a entonces lim lim x b es decir f (g (x)) = f (a) x b lim f (g (x)) = f lim g (x) = f (a) x b x b Si g es una función tal que Observación 1.1. Se dice que, bajo estas condiciones, el límite puede ingresar al argumento de la función. continua. MAT021 (Cálculo) 2

3 Ejercicios tipo 1. Sea n un número entero positivo y lim L. Demuestre que lim teorema anterior. u a 2. Calcular el límite lim u a 1 1 (u a) = 2. x Verificar que lim ln = 0. x 0 x 1 n n L. Sugerencia: Aplicar Teorema 1.3 (Composición de funciones continuas). Sean f : D R R y g : E R R funciones. Si f es continua en a D y g es continua en f (a) E entonces g f es continua en a escrito de otra forma lim g f (x) = g lim f (x) = g (f (a)) Dem.: Sean f y g continuas en a y f (a) respectivamente. Sea > 0, como g es continua en f (a) existe un > 0 tal que y f (a) < g (y) g (f (a)) < como f es continua en a existe > 0 tal que x a < f (x) f (a) < de esta forma, si x a < entonces f (x) f (a) < entonces g (f (x)) g (f (a)) < es decir, g f es continua en a. Observación 1.2. Este teorema, que se puede leer como compuesta de continuas es continua, nos permite evaluar con facilidad límites como lim cos sin x2 = cos lim sin x2 = cos sin lim x2 = cos (sin (0)) = cos (0) = 1 x 0 x 0 x 0 de manera directa lim cos sin x2 = cos (sin (0)) = cos (0) = 1 x 0 Definición 1.2 (Definición de continuidad en un intervalo abierto). Se dice que una función es continua en un intervalo abierto si y sólo si es continua en cada elemento del intervalo abierto. Definición 1.3 (Continuidad por la derecha). Se dice que la función f es continua por la derecha en a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. f(a) existe (a dom (f)); 2. lim + f(x) existe; 3. lim + f(a). Definición 1.4 (Continuidad por la izquierda). Se dice que la función f es continua por la izquierda en a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1. f(a) existe (a dom (f)); 2. lim 3. lim f(x) existe; f(a). tener cuidado con L en terminos de la paridad de n. Otra vez, aqui estamos asumiendo que hay un intervalo [(a,r) dentro del dom(f). Otra vez, aqui estamos asumiendo que hay un intervalo Double-click (r,a] (r,a) (a,r) ] dentro here to del edit dom(f). text. Definición 1.5 (Continuidad en un intervalo cerrado). Se dice que una función, cuyo dominio contiene al intervalo cerrado [a, b] es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y sòlo si es continua en el intervalo abierto (a, b), así como continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b. MAT021 (Cálculo) 3

4 Definición 1.6 (Continuidad en un intervalo semiabierto). Una función cuyo dominio incluye al intervalo semiabierto [a, b) (respectivamente (a, b]) es continua en [a, b) (respectivamente en (a, b]) si y sólo si es continua en el intervalo abierto (a, b) (para ambos casos) y es continua por la derecha en a (respectivamente, por la izquierda en b). Observación 1.3. El objetivo de las anteriores definiciones es poder enfrentarse a los casos de continuidad por tramos. Además dadas las nociones anteriores se pueden extender a intervalos con ± como extremos, o toda la recta real. Definición 1.7 (Función Continua). Una función se dice continua si es continua en todo su dominio. Observación 1.4. Observar la idea de que si la gráfica de la función puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel entonces se cuenta con una función continua. Ejercicios Tipo Analice la continuidad de f(x): {-1} Respuesta: f continua en R {1} cos 2 x si 1 x 1 x 1 si x > 1 Dada la función x 2 2ax + 3b si x 1 ax 3 3ax 2 + 2bx si x > 1 Determinar a, b R de modo que la función sea continua en R. Respuesta: f continua en R, a R y para b = 1. 2 Clase Aprendizajes esperados Identifica diferentes tipos de discontinuidades. Asocia la propiedad del valor intermedio a las funciones continuas aplicándola para abstener existencia de soluciones a ecuaciones en las que intervienen funciones continuas. 2.2 Discontinuidades reparables, irreparables Definición 2.1 (Discontinuidad reparable y no reparable). Dada una función f que no es continua en un elemento a (puede o no ser del dominio de la función) diremos que: 1. f tiene una discontinuidad reparable en a, si existe el límite lim f(x). 2. f tiene una discontinuidad no reparable o irreparable en a, si lim f(x) no existe. Observación 2.1. Note que para considerar el límite necesitamos que por lo menos f este definida cerca de a. Es posible hablar en este momento de punto de acumulación o punto límite. Esta discusion parece ser mas correcta en la definicion de f continua en un punto. MAT021 (Cálculo) 4

5 Ejercicios Tipo Comprobar que sen x x tiene una discontinuidad reparable en 0 (0 dom(f)) notando que f definida como sen x si x = 0 x 1 si x = 0 corresponde a una extensión continua de f. Verificar que x x Considere la función f(x) dada por: tiene una discontinuidad no reparable en x = 3, pues el límite respectivo no existe. 1 x 2 si x < 0 2 si 0 x 1 2 sen 2 x si 1 < x 2 a 2 si x > 2 x + 2 1) Es f(x) continua en x = 0? Respuesta: No es continua en x = 0 2) Es f(x) continua en x = 1? Respuesta: Sí es continua en x = 1 3) Determine a de modo que f(x) sea continua en el mayor subconjunto de R que sea posible. Respuesta: a = 2 4) Es posible hacer que f sea continua en R? Respuesta: No es posible pues en x = 0 los límites laterales son diferentes. Observación 2.2. Hacer notar que el análisis de una función continua involucra todo su dominio y no sólo los puntos de conflicto. 2.3 Teorema del valor intermedio Teorema 2.1 (Valor Intermedio). Sea f : [a, b] R continua en el intervalo cerrado [a.b]. Si f(a) = f(b), entonces para cada valor entre f(a) y f(b) existe un número c entre a y b tal que f(c) =. En particular, se tiene que conocido como el Teorema de Bolzano. f(a)f(b) < 0 c ]a, b[, f(c) = 0 A={t \in [a,b]: f(x)<=0, para todo x \in [a,t]}. Tomar c=sup(a). Observación 2.3. Interpretar geométricamente el resultado. Observación 2.4. No toda función que tiene la propiedad del valor intermedio es continua. Ver algún ejemplo. Ejercicios Tipo Sea x 5 x 3 + 2x 1 con f(0) = 1 y f(1) = 1. Verificar que existe una raíz de f(x). Probar que todo polinomio de grado impar tiene por lo menos una raíz real. Muestre que f : R R, x f (x) = x + sen x es sobreyectiva. Sea x + sen x 1. Probar que existe al menos una raíz real de la ecuación 0. Sugerencia: Notar que f es suma de funciones continuas, y evaluar en 0 y /2. Considere la curva definida por y = x 5 + x 2 Puede decir que la recta y = x intersecta a esta curva? Sugerencia: Notar que esto ocurre al menos 1 vez, con x en el intervalo ]0, 2[. MAT021 (Cálculo) 5

6 La función y = tan x toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [ /4, 3 /4] y sin embargo no se anula en él. Contradice esto el teorema de Bolzano? Sugerencia: Observar x = /2. Considere la función f definida por x 1 si 0 x 2 x 2 si 2 < x 3 Para k (3, 4), existe c [0, 3] tal que f(c) = k? Por qué no se cumple lo establecido en el teorema anterior? Verificar que 2x 3 2x 2 4x + 1 tiene tres ceros entre 2 y 2. Reinterpretar este problema en términos del teorema del valor intermedio. Sugerencia: Considerar los extremos de algunos intervalos, como [ 2, 1], [0, 1] y [1, 2]. Indicar, usando el Teorema del valor intermedio, un algoritmo para cazar ceros. MAT021 (Cálculo) 6

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