Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

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1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios: 1) Sea la ecuación ), donde g satisface ) 1,,. a) Probar que también se cumple ) ),,. b) Demostrar que si se cumple la condición en a), la ecuación ), tiene a lo mas, una solución en el intervalo,. Se tiene que ) ), y que la función gx) satisface la condición de ) 1,,. a) Del problema de punto fijo ) se desprende que: ) ) Si se restan queda: ) ) Ocuparemos el T.V.M. Teorema de Valor Medio), el cual está dado por: ) ) ) ) ) ) Se sabe por el enunciado que ), por lo que podemos relacionar la resta entre 2 problemas de punto fijo con el T.V.M., entonces se tendría que: ) ) ) Por lo tanto ) ),,. Queda probado. b) Se desea demostrar que ) tiene 1 sola solución en,. Suponiendo que existen en gx) 2 puntos fijos o soluciones), entonces: ) ) Al ser restados queda: ) ), ahora aplicamos TVM ) ) ) ). ) que:, y por el enunciado principal ) ), se tiene ) Siendo que L está entre 0,1, la ecuación anterior resulta ser una contradicción Entonces, se concluye que para gx) existe un único punto fijo en el intervalo,, siempre y cuando se cumpla la condición de que ) 1,,.

2 2) La ecuación tiene dos raíces cerca de 0.1 ( ; ), encuéntrelas mediante el método de Newton- Raphson. El método de N-R, es el método iterativo que requiere de la función, su derivada y un punto de inicio, la formula está dada por: ( ) ( ) ; n0, 1,2,. Entonces: () () Con 0.1 Al reemplazar los datos, se obtiene: Entonces las iteraciones son: ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ Aproximación a la raíz buscada ( ) Ahora buscaremos la otra raíz, tomando como punto de inicio 0.13 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ Aproximación a la raíz buscada ( )

3 3) Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el reciproco de un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa 2 ),0,1 Calcular usando el algoritmo. El algoritmo de N-R, esta dado por ) ) El reciproco de un número S, es: ) 0 ) 1 Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de N-R ) ) 2 2 ) Entonces: 2 ) Para calcular 1/17, por el algoritmo encontrado, se considera S17, por lo tanto, la ecuación quedaría: 217 ) Se sabe que 1/17 está entre 0 y 0.1. Por lo que consideraremos como punto de inicio 0.05 Las iteraciones queda igual a: ₁ ₂ ₃ ₄ El error absoluto de ₃ es: ₃) ₄₃ *10 ₃) *10 < E10 Después de 4 iteraciones se llego a ₄ que es una aproximación de con un <E10. f ₄ ) 0 ₄ es raíz de fx) con S17

4 4) Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función )2 Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene: )2 1 3 )2 ln2 Derivada implícita) Entonces: ) )1 2 ln22 ln ln2) 2 ln2) 1 Según la propiedad ) 1 Entonces: > 2 >0 /*Ln ln6>ln2>ln0/*-1 ln0 [, ] Por lo tanto el intervalo de convergencia es [, ]

5 5) Encuentre el punto positivo donde la función ) alcanza su valor mínimo calculando los ceros de ) con el método de Newton-Raphson. Calcule dicho valor mínimo. Se necesita saber la función a la cual se le aplicará el método de N-R, su derivada y el punto de inicio del algoritmo dentro de un intervalo, para disminuir la cantidad de iteraciones). Entonces: ) ) ) ) Función buscada para aplicar el algoritmo ) ) Derivada de la función a analizar Ahora sustituimos los datos en la formula de N-R, la cual en nuestro casi es así: ) ) 6 tan 1 (cos ) 2tan 4 cos ) 2sin cos ) El intervalo para obtener el punto de inicio del algoritmo) lo podemos obtener por medio de un barrido entre 0 y 2 aplicando el TVI), de sugerencia [0.9;1]. Al tener el intervalo, elegimos algún punto que esté en su interior, como 0.9. Las iteraciones son: ₁ ₂ = ₃ = ₄ = El error absoluto de ₃ es: (₃)= ₄₃ = (₃)0 Después de 4 iteraciones se llego a ₄ = que es una aproximación a la raíz de (), con un (₃)0. Esta aproximación es el punto mínimo de la función ()=. (₄ = )= *10 0 (₄ = )= El valor mínimo de la función es

6 6) Determinar algoritmos de punto fijo para obtener una solución aproximada de la ecuación 1))1. Ordenamos la ecuación ) ) ) 1 0 Ahora le sumamos en ambos lados de la ecuación, quedando: ) ) 1 Despejando una de las x, para formar el algoritmo de punto fijo )) ) ) 1 Algoritmo de punto fijo Evaluamos la función en algunos puntos, para obtener un intervalo que contenga la raíz que buscamos. Por lo que nos queda un intervalo después del barrido ), 2.85; 2.9. Elegimos un punto de inicio, Las iteraciones del algoritmo son: ₁ ₁₁ ₂ ₁₂ ₃ ₁₃ ₄ ₁₄ ₅ ₁₅ ₆ ₁₆ ₇ ₁₇ ₈ ₁₈ ₉ ₁₉ ₁₀ ₂₀ El error absoluto de ₁₉ es: ₁₉) ₂₀ ₁₉ *10 ₁₉) 7.47*10 < E10 Después de 20 iteraciones se llego a ₂₀ que es una aproximación a la raíz de ) ) ) 1, con un ₁₉) < E10 f ₂₀ )1.697*10 0 f ₂₀) 0

7 7) Obtener un algoritmo de punto fijo para calcular log / 5. La ecuación es log5, que es igual a ) 5,entonces ) ) 5. Trabajamos un poco la ecuación, para pasarla a un problema de punto fijo. 1 3 ) 5 / 1=3 5 /x Problema de punto fijo 1 ) Algoritmo de punto fijo Para aplicar el algoritmo, necesitamos un punto de inicio, este punto se obtiene de un intervalo, el cual responde al TVI. Este intervalo es [1.5;1.4] entre más pequeño mejor), y el punto de inicio será Las iteraciones quedan: ₁ ₆ = ₂ = ₇ = ₃ = ₈ = ₄ = ₉ = ₅ = ₁₀ = El error absoluto de ₉ es: (₉)= ₁₀₉ = = *10 (₉)= *10 < E=10 Después de 10 iteraciones se llego a ₁₀ = que es una aproximación a la raíz de la función, con un (₉) < E=10 f (₁₀ = )= *10 0 f (₁₀) 0 (La raíz exacta es ) = ln5 ln3 = ₁₀ = *10 Dígitos Significativos (₁₀) / =8 (8 dígitos significativos)

8 8) La ecuación 2 4 5=0 tiene una raíz cercana a x1. Obtener tres algoritmos iterativos de la forma ), siendo ) un radical, tales que converjan a la raíz, comenzando con 1.Encontrar la solución indicando cual es el algoritmo que más rápidamente converge. La función es ) Tres problemas de punto fijo podrían ser: a) despejando () b) despejando () c) Aplicamos N-R (es un tipo de problema de punto fijo) (2 4 25) (6 8 2) Las iteraciones para (a), son: ₁ = ₂ = ₃₀ = Las iteraciones para (b), son: ₁ = ₂ = ₃ = ₄ = ₅ = Converge muy lentamente Las iteraciones para (c), son: ₁ = ₂ = ₃ = ₄ = =() Este es el algoritmo que converge más rápidamente a la raíz de f(x).

9 9) Resolver usando un algoritmo de punto fijo. Para poder usar un algoritmo de punto fijo, necesitamos pasar la ecuación a algo más trabajable, entonces: / ln ) ln ln 6 ln ln 6 ) ln ln 6 0 Ahora hacemos un barrido para ver en que intervalo esta la raíz de la función fx). 0) 0 x0 es raíz de la función 3) ) ) ) El intervalo donde se encuentra la raíz de fx) es 3.4; 3.5, y el punto de inicio será El problema de punto fijo con que se trabajara será: ) ₁ ₇ ₂ ₈ ₃ ₉ ₄ ₁₀ ₅ ₁₁ ₆ ₁₂ El error absoluto de ₁₁ es: ₁₁) ₁₂ ₁₁ *10 ₁₁) *10 < E10 Después de 12 iteraciones se llego a ₁₂ que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ₁₁) < E10 f ₁₂ ) *10 0 f ) 0

10 10) Resolver usando un algoritmo de punto fijo. Al ordenar la ecuación igualándola a 0), queda expresado de la siguiente forma: ) 0 la idea es obtener la raíz de fx)) Para poder obtener esa raíz, tomaremos la ecuación inicial, como nuestro problema de punto fijo. El algoritmo de punto fijo queda: Y el punto de inicio será: Las iteraciones quedan: Cantidad de a: 3) Cantidad de a: 5) Cantidad de a: 7). Cantidad de a: 2n1) El error absoluto de es: ) 0 Después de n iteraciones se llego a que es la raíz de de la función ), con un ) 0 ) 0 Recomendación: compruebe con a3 la raíz es x1), y con a7 la raíz es x2).

11 11) Cuando a>1 y 0<b<1/2 la ecuación 1)0 tiene una / raíz positiva. Demostrarlo y calcularla, con cuatro cifras decimales exactas, para a5 y b1/4. La ecuación al multiplicarla por / 1) 1) queda: 1) / 1)1) / 1) 1)0 1 / 1) )/ / 1)0 Al evaluar en la ecuación a5 y b1/4, se tiene: 15 / 515) / / 1)0 5 / 4 / / 10 )2 4 / / 30 Al hace un barrido con números positivos, se puede obtener el intervalo en donde se encuentra la raíz, este intervalo es 2.8;2.9. Ocuparemos el método de N-R, para encontrar la raíz positiva de la función. ) ) Entonces el algoritmo es: 2 4 / / 3) 6/ 5 4/ 5 2 ) Tomando como punto de inicio 2.85 ₁ ₂ ₃ El error absoluto de ₂ es: ₂) ₃₂ ₂) *10 < E ; 1 ₃ *10 ) log )1 7 Después de 3 iteraciones se llego a ₃ que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ₂ ) < E10, y con 7 cifras significativas. f ₃ )-3*10 0 f ₃) 0

12 12) Resolver la ecuación , usando un algoritmo de punto fijo, partiendo con 1.5, operar con cinco decimales. Al ordenar la ecuación queda: 1 ln2 1.24) /*) 1ln ) ) 1 ln ) 0 De esta función se desprende el problema de punto fijo. 1 ln ) El algoritmo de punto fijo queda: 1 ln ) Las iteraciones son: 1.5 ₁ ₆ = ₂ = ₇ = ₃ = ₈ = ₄ = ₉ = ₅ = ₁₀ = El error absoluto de ₉ es: (₉)= ₁₀₉ = =1.1707*10 (₉)= *10 < E=10 Después de 10 iteraciones se llego a ₁₀ = que es una aproximación a la raíz de de la función, con un (₉ ) < E=10 f (₁₀= )= *10 0 f (₁₀) 0

13 13) En qué valor de tiene la curva ln un punto de inflexión? Para calcular el punto de inflexión de una curva se necesita la segunda derivada de esta, entonces: ln ln ln 2 La idea es obtener la raíz de, ya que esta es el punto de inflexión de la función. Entonces la segunda derivada se iguala a cero y se aplica algún método iterativo. = ln = 0 /* () ln El intervalo donde se encuentra la raíz es 2.5;2.6, el cual fue obtenido por medio del T.V.I. Usando un algoritmo de punto fijo: = 2 1 ln Con el punto de inicio 2.55 Las iteraciones son: ₁ = ₂ = ₃ = ₄ = ₅ = ₆ = El error absoluto de ₅ es: (₅)= ₆₅ = = *10 (₅)= *10 < E=10 Después de 6 iteraciones se llego a ₆ = que es una aproximación al punto de inflexión de la curva = ln, con un (₅ ) < E=10 f (₆ = )= *10 0 f (₆ ) 0

14 14) Considere la siguiente ecuación relativa a un conector de energía solar: ) ).()) En donde f=0.7, d=9 es el diámetro del colector, h=220 es la altura del colector, c=1350 es el factor de concentración geométrica y a es el ángulo del borde del campo de espejos planos que se enfocan sobre un colector central. Determine el ángulo a con 5 dígitos significativos, compruebe sus resultados. Reemplazamos los datos que nos dan en la ecuación. 1350= sec a) 9 1)0.5)) Ahora se trata de dejar de la forma fa)= )0.5))=67760*seca) /*cosa) *cosa)*1 )0.5))=67760 )=109350cos)1)0.5cos))67760=0 Para encontrar el ángulo, ocuparemos un algoritmo de punto fijo: cos)=67760/ )0.5cos))) =cos )0.5cos )) ) Comenzaremos nuestro algoritmo con un ángulo recto =90). Entonces las iteraciones son: = = = = = = = = El error absoluto de es: )= = = *10 Como es una aproximación de, por lo que = Para obtener la cantidad de dígitos significativos se tiene que: )0.5* *10 0.5*10 Log *10 /0.5) 2 5 Después de 7 iteraciones se llego a = que es una aproximación al del borde del campo de espejos planos, con un ) < E=10 y con 5 dígitos significativos. f = )= f ) 0

15 15) Encontrar el valor de H usando un método de punto fijo. Consideremos primero el problema de punto fijo 7 punto de inicio del método iterativo como 7 ( ) n0, 1,2, ) y el Usando el algoritmo de punto fijo, las iteraciones son: = = = = = = = = = = El error absoluto de es: ( )= ₁₀₉ = = ( )= =10 Después de 10 iteraciones se llego a = que es una aproximación a la solución de H con un =10

16 16) Encontrar las Raíces de P(x) = 1+ 3x +5x²+6x³ mediante el método de Horner. Para encontrar las raíces dell polinomio debemos primero ver en que intervalo se encuentran. El intervalo se puede encontrar por medio de un anillo, dado por la siguiente fórmula: a₀ /( a₀ am) x ( an +am)/ an Al aplicarla resulta: 1/(1+6) x (6+6)/6 1/7 x x 2 Entonces el intervalo que contiene a la raíces del polinomio es I = [-2; 1/7] U [1/7; 2] = I₁ U I₂ Ahora hacemos un barrido en los 2 sub intervalos. -Sub intervalo P (-2) = 33 P (-1.2) = P (-0.6) = P (-0.4) = P (-1/7) Sub intervalo P (1/7) P (0.4) =3.384 P (0.6) =5.896 P (1.2) = P (2) =75 Grafico del polinomio P(x) = 1+ 3x+5x²+6x³. Se puede ver que la raíz del polinomio es -0.5, pero la idea del ejercicio es calcular esa raíz por medio de un método iterativo. Según el análisis, hay una raíz real y está ubicada en el intervalo I= [-0.6;-0.4]. Ya que P (-0.6)*P(-0.4) <0 Según la derivada P (x) =3+ +10x+18x² P (x)>0, x I. La función es creciente en el intervalo I. En el intervalo existe una raíz α. Ahora aplicamos el método de Horner Considerado el punto inicial de iteración como x₀=-0.45

17 --Primera iteración: R S 0.45.).) = Segunda iteración: x =R x =S x = = x = Tercera iteración: x =R x =S x = = x = Cuarta iteración: x =R x =S

18 x = ).) = 0.5 x = 0.5 x₄=α 0.5 El error absoluto de x es: E x = x₄x₃ = =1.0083*10 E (x = *10 < E=10 Después de 4 iteraciones se llego a x₄=α 0.5 que es una aproximación a la primera raíz de P(x con un E <=10. P (α0.5 = 0 α= -0.5 es la raíz del polinomio Indicación: haga de nuevo el ejercicio pero comenzando el método iterativo con x₀=2. Se dará cuenta que el método converge a alguna raíz del polinomio independiente de la elección de x₀, por lo que sí se elije un punto de inicio muy lejano a la raíz, deberá hacer mas iteraciones. Es recomendable elegir un punto de inicio, que este dentro del intervalo elegido por el T.V.I., para acercarse de forma más rápida a la raíz.