E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Soluciones Tema 2 Aproximación e interpolación

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1 E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Soluciones Tema 2 Aproximación e interpolación Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Septiembre 2006, Versión 1.3 Ejercicio 1 Queremos aproximar el valor 1 de sin(0.1). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 y calcula p 4 (0.1). (b) Calcula una cota superior de error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos sin(0.1) mediante p 4 (0.1). (c) Verifica el resultado comparando con el valor de sin(0.1) que proporciona la calculadora o Maple. Realiza los cálculos con 10 decimales. (a) ElpolinomiodeMcLaurindeorden4esp 4 = x x3 6. Valor aproximado p 4 (0.1) = (b) Cota superior de error absoluto f (5) (ξ) R 4 (0.1) (0.1) = (ξ entre 0 y 0.1). 5! 5! Tenemos, por lo tanto, al menos 6 decimales exactos en la aproximación. Cota superior de error relativo Tenemos 6 dígitos significativos. (c) Error absoluto δ ' R 4(0.1) p 4 (0.1) = e = sin(0.1) p 4 (0.1) = En los sucesivo, los ángulos están en radianes 1

2 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 2 Error relativo r = sin(0.1) p 4(0.1) sin(0.1) = Vemos que los errores reales son, en efecto, inferiores a las cotas de error obtenidas. Ejercicio 2 Consideramos la función sin(x). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 4 usando Maple. (b) Representa conjuntamente la función seno y el polinomio en el intervalo [ 2, 2]. (c) Construye la expresión del valor absoluto del error absoluto e 4 (x) = R 4 (x) = sin(x) p 4 (x) y represéntala en[ 2, 2]. A partir del gráfico, determina una cota superior de error absoluto. (d) Construye la función del valor absoluto del error relativo r 4 (x) = sin(x) p 4 (x) sin(x) represéntala en [ 1, 1]. A partir del gráfico, determina una cota superior de error relativo. (a) El polinomio de McLaurin de orden 4 se construye con las órdenes > s4:=series(sin(x),x,5); p4:=convert(s4,polynom); (b) La representación conjunta de sin(x) y p 4 (x) puede hacerse con > plot([sin(x),p4],x=-2..2); (c) La definición de e 4 (x) y su representación puede hacerse con las órdenes > e4:=abs(sin(x)-p4); plot(e4,x=-2..2); Unacotagráfica de error es e 4 (x) 0.25 (d) Unacotagráfica de error relativo es δ 4 (x)

3 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 3 Ejercicio 3 Consideramos la función cos(x). (a) Construye el polinomio de McLaurin de orden 6. (b) Determina una cota superior del error absoluto que se comente cuando aproximamos cos(x) mediante el p 6 (x) en el intervalo [0, π 4 ]. (a) Polinomio de McLaurin p 6 (x) =1 x2 2 + x4 24 x (b) Cota de error en [0, π/4] sin (π/4) ³ π 7 e 6 (x) = R 6 (x) = ! 4 Cota mejorada. En el caso de f(x) =cos(x) se cumple y, por lo tanto, Podemos tomar la cota de error f (7) (0) = sin(0) = 0 p 6 (x) =p 7 (x). e 6 (x) = cos(x) p 6 (x) = cos(x) p 7 (x) f (8) (t) = R 7 (x) = x 8 = cos(t) 8! x 8 8! (π/4)8 = ! ElpolinomiodeMcLaurindeorden6paracos(x) proporciona 5 decimales exactos en el intervalo [0, π 4 ]. Ejercicio 4 Queremos aproximar e 0.5. (a) Calcula el polinomio de McLaurin de orden 5. (b) Calcula un cota superior del error absoluto y del error relativo que se produce cuando aproximamos e 0.5 mediante p 5 (0.5). Verifica los resultados comparando los valores que se obtienen con la calculadora oconmaple.

4 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 4 (a) Polinomio de McLaurin p 5 (x) =1+x x x x x5. Valor de la aproximación p 5 (0.5) = (b) Cotas de error f (6) (t) e 5 (0.5) = R 5 (0.5) = 6! usamos la aproximación obtenida y tomamos e 0.5 ' 1.7 (0.5) 6 e0.5 6! (0.5) 6, entonces e 5 (0.5) 1.7 6! (0.5)6 = Tenemos 4 decimales exactos, el valor de la aproximación es La cota de error relativo es e 0.5 = e 0.5 6! (0.5) 6 r 5 (0.5) e 0.5 = (0.5)6 6! Tenemos 5 dígitos significativos. Los errores exactos son: error absoluto = e 5 (0.5) = e 0.5 p 5 (0.5) = Error relativo e 0.5 p 5 (0.5) r 5 (x) = e 0.5 = Ejercicio 5 Consideramos la función e x. (a) Construye los polinomios de McLaurin de orden 3,4 y 5 usando Maple. (b) Representa conjuntamente la función e x y los polinomios obtenidos en el intervalo [0, 1]. (c) Construye las funciones de error absoluto e j (x) = R j (x) = exp(x) p j (x), j =3, 4, 5 y represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso, una cota superior de error absoluto.

5 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 5 (d) Construye las funciones de error relativo r j (x) = exp(x) p j exp(x), j =3, 4, 5 represéntalas en [0, 1]. A partir del gráfico determina, para cada caso, una cota superior de error relativo. (e) Amplía el cálculo de cotas de error al intervalo [ 2, 2] Sigue siendo bueno el comportamiento de los polinomios como aproximantes de e x? Cotas de error estimadas gráficamente en el intervalo [0, 1] n =3 n =4 n =5 cota e n (x) cota r n (x) Ejercicio 6 Consideramos la siguiente tabla de datos x y (a) Plantea el sistema de ecuaciones que permite determinar el polinomio interpolador de la tabla. (b) Resuelve el sistema y determina el polinomio interpolador. (c) Verifica los resultados con Maple. (a) El polinomio interpolador es de la forma p 2 (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2, el sistema es (b) El sistema tiene solución a 0 = 1 a 0 + a 1 + a 2 =1 a 0 +2a 1 +4a 2 =3. de donde obtenemos el polinomio a 0 = 1, a 2 =0, a 1 =2, p 2 (x) =2x 1.

6 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 6 (c) Puedes construir el interpolador con las órdenes > xx:=[0,1,2]; yy:=[-1,1,3]; p2:=interp(xx,yy,t); obtendrás como resultado un polinomio en la variable t. La orden para obtener el polinomio con la variable x es > p2:=interp(xx,yy,x); Ejercicio 7 Consideremos la tabla de datos x x 0 x 1 x 2 y y 0 y 1 y 2. Puede demostrarse que el polinomio interpolador de la tabla p(x) queda determinado por la siguiente expresión 1 x x 2 p(x) 1 x 0 x 2 0 y 0 1 x 1 x 2 1 y 1 =0. 1 x 2 x 2 2 y 2 (a) Usando la fórmula anterior, determina el interpolador de la tabla x y (b) Resuelve el apartado (a) con Maple. (a) calculando el determinante, resulta 1 x x 2 p(x) =0 y despejando 2+4x 2p(x) =0 p(x) = 1+2x. (b) Solución con Maple. Cargamos la librería de álgebra lineal linalg > with(linalg);

7 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 7 construimos la matriz > m:=matrix([[1,x,x^2,p],[1,0,0,-1],[1,1,1,1],[1,2,4,3]]); calculamos el determinante > d:=det(m); yresolvemosenp > solve(d=0,p); Ejercicio 8 Consideramos la siguiente tabla de datos x y (a) Determina un polinomio p(x) de grado menor o igual que 3 que interpole los valores de la tabla. (b) Hay algún polinomio de grado 3 que pase por los puntos de la tabla? Y de grado 4? (c) Calcula el polinomio interpolador de la tabla con Maple. (a) Si calculamos las diferencias divididas, resulta x 0 =0 f [x 0 ]=0 x 1 =1 f [x 1 ]=1 f [x 0,x 1 ]=1 x 2 =2 f [x 2 ]=3 f [x 1,x 2 ]=2 f [x 0,x 1,x 2 ]= 1 2 x 3 = 1 f [x 3 ]=0 f [x 2,x 3 ]=1 f [x 1,x 2,x 3 ]= 1 2 f [x 0,x 1,x 2,x 3 ]=0 El polinomio interpolador es p 2 (x) =x + 1 x (x 1), 2 si operamos (no es necesario) obtenemos p 2 (x) = 1 2 x x2. (b) No hay ningún polinomio de grado 3 que pase por los cuatro puntos, los puntos están sobre una parábola. Hay infinitos polinomios de grado 4 que interpolan los puntos de la tabla. (c) Las órdenes son > xx:=[0,1,2,-1]; yy:=[0,1,3,0]; p2:=interp(xx,yy,x);

8 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 8 Ejercicio 9 Calcula los polinomios de grado 2 que para x =1y x = 1 toman el valor 1. Interpolamos con los datos, donde hemos añadido un nodo y le hemos dado el valor arbitrario a x y 1 1 a. Construimos la tabla de diferencias x 0 =1 f [x 0 ]=1 x 1 = 1 f [x 1 ]=1 f [x 0,x 1 ]=0 x 2 =0 f [x 2 ]=a f [x 1,x 2 ]=a 1 f [x 0,x 1,x 2 ]= a 1 1 =1 a de donde resulta el interpolador Ejercicio 10 Aproxima 2 log(4). p 2 (x) = 1+(1 a)(x 1)(x +1) = (1 a) x 2 + a. (a) Mediante interpolación lineal a partir de los valores log(3) = , log(5) = (b) Mediante interpolación parabólica usando los valores del apartado anterior y, además, log(4.5) = (c) Determina cotas superiores para el error absoluto y relativo. (d) Compara los valores obtenidos con el valor de log(4) que proporciona la calculadora. Calcula el error absoluto y relativo correspondientes a cada caso y verifica la corrección de las cotas superiores de error. Este ejercicio está resuelto en las páginas del libro de Dominguez, Gilibets y Puente. (a) Interpolación lineal p 1 (4) = (b) Interpolación cuadrática p 2 (4) = log(x) representa el logaritmo decimal. Recuerda que d dx log(x) = 1 x ln(10) donde ln(x) representa el logaritmo neperiano.

9 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 9 (c) Cotas error interpolación lineal e 1 (4) , r 1 (4) , cotas error interpolación cuadrática e 2 (4) , r 2 (4) (d) Errores interpolación lineal e 1 (4) = , r 1 (4) = , errores interpolación cuadrática e 2 (4) = , r 2 (4) = Ejercicio 11 Consideramos la siguiente tabla de datos x y a. (a) Calcula el polinomio p(x) que interpola los cuatro primeros puntos de la tabla. (b) Qué valor debe tener a para que el polinomio que interpola los cinco puntos coincida con el del apartado anterior? (c) Determina con Maple el polinomio que interpola los 4 primeros puntos de la tabla. (d) Determina con Maple todos los polinomios de grado 4 que interpolan los valores de la tabla. (a) En forma de Newton, el polinomio interpolador es p 3 (x) =1+3(x +2)+2(x +2)(x +1) (x +2)(x +1)x si operamos (no es imprescindible), resulta p 3 (x) =11+7x x 2 x 3. (b) Debe cumplirse a = p 3 (2) a =13. (c) Podemos obtener el interpolador con las siguientes órdenes > xx:=[-2,-1,0,1]; yy:=[1,4,11,16]; p3:=interp(xx,yy,x);

10 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 10 (d) Añadimos un punto con una nodo x 4 quenoestéenlatabla,porejemplo, x 4 =2y un valor arbitrario y 4 = a > xx:=[-2,-1,0,1,2]; yy:=[1,4,11,16,a]; p4:=interp(xx,yy,x); Ejercicio 12 Consideramos las siguientes tablas de datos x y x y (a) Calcula los polinomios que interpolan las tablas. (b) Qué relación hay entre ellos? A qué se debe esta relación? (c) Calcula los polinomios con Maple. (a) Para la primera tabla, obtenemos las diferencias el interpolador es x 0 =0 f [x 0 ]=1 x 1 =1 f [x 1 ]= 2 f [x 0,x 1 ]= 3 x 2 =2 f [x 2 ]= 3 f [x 1,x 2 ]= 1 f [x 0,x 1,x 2 ]= 1 p 2 (x) = 1 3x + x (x 1) = 1 4x + x 2. Si añadimos x 3 = 1 y f[x 3 ]=6y completamos la tabla de diferencias, resulta f [x 0,x 1,x 2,x 3 ]=0 por lo tanto p 3 (x) =p 2 (x). (b) Los polinomios son iguales, esto se debe a que el polinomio p 2 (x) pasa por el punto adicional (x 4,y 4 ). (c) Ordenes Maple > xx:=[0,1,2]; yy:=[1,-2,-3]; p2:=interp(xx,yy,x);

11 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 11 Ejercicio 13 Consideramos la siguiente tabla de datos x y Calcula valores aproximados para f(3.5) usando polinomios de Newton de orden 1,2,3,4, escogiendo, en cada caso, los puntos más adecuados. Debemos tomar, en cada caso, los nodos que mejor encajan el valor x =3.5. Interpolación lineal, x 0 =3,x 1 =5. Interpolación cuadrática, x 0 =3,x 1 =5,x 2 =2. Interpolación cúbica, x 0 =3,x 1 =5,x 2 =2,x 3 =6. Interpolación orden 4, x 0 =3,x 1 =5,x 2 =2,x 3 =6,x 4 =1. Si construimos la tabla de diferencias con ese orden de nodos, resulta f[x 0 ]=5.25, f[x 0,x 1 ]=7.25, f[x 0,x 1,x 2 ]=2, f[x 0,x 1,x 2,x 3 ]=0.25, f[x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ]=0. Usando esos valores, obtenemos: Interpolación lineal, x 0 =3,x 1 =5 p 1 (x) = (x 3) p 1 (3.5) = (3.5 3) = Interpolación cuadrática, x 0 =3,x 1 =5,x 2 =2 p 2 (x) =p 1 (x)+2 (x 3) (x 5) p 2 (3.5) = p 1 (3.5) + 2 (3.5 3) (3.5 5) = Interpolación cúbica, x 0 =3,x 1 =5,x 2 =2,x 3 =6 p 3 (x) =p 2 (x)+0.25 (x 3) (x 5) (x 2) p 3 (3.5) = p 2 (3.5) (3.5 3) (3.5 5) (3.5 2) = Interpolación orden 4, x 0 =3,x 1 =5,x 2 =2,x 3 =6,x 4 =1.Como f[x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ]=0 p 4 (x) =p 3 (x), p 4 (3.5) = p 3 (3.5).

12 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 12 Ejercicio 14 Para una función f(x), conocemos los siguientes valores x f(x) (a) Cual es la mejor elección de nodos para aproximar f(3) mediante interpolación cuadrática? (b) Aproxima f(3) mediante interpolación cuadrática usando una elección de nodos distinta a la del apartado anterior. (c) Aproxima f(3) usando el polinomio interpolador de grado máximo. (a) Los dos primeros nodos son x 0 =2y x 1 =4. Como tercer nodo, podemos tomar x 2 =1,obien,x 2 =5pues d(3, 1) = d(3, 5) = 2. En este primer apartado, tomamos x 0 =2, x 1 =4,x 2 =1. x 0 =2 f [x 0 ]=2 x 1 =4 f [x 1 ]=12 f [x 0,x 1 ]=5 x 2 =1 f [x 2 ]=0 f [x 1,x 2 ]=4 f [x 0,x 1,x 2 ]= 1 Si operamos es p 2 (x) = 2+5 (x 2) + (x 2) (x 4) p 2 (3) = =6. p 2 (x) =x 2 x. (b) Con la elección de nodos x 0 =2, x 1 =4, x 2 =5, resulta x 0 =2 f [x 0 ]=2 x 1 =4 f [x 1 ]=12 f [x 0,x 1 ]=5 x 2 =5 f [ x 2 ]=21 f [x 1, x 2 ]=9 f [x 0,x 1, x 2 ]= 4 3 p 2 (x) = 2+5 (x 2) + 4 (x 2) (x 4). 3 p 2 (3) = = 17 = Si operamos, resulta p 2 (x) = 8 3 3x x2.

13 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 13 (c) Si tomamos los nodos x 0 =1,x 1 =2,x 2 =4,x 3 =5,x 4 =6, y formamos la tabla de diferencias, resulta resulta f[x 0 ]=0, f[x 0,x 1 ]=2, f[x 0,x 1,x 2 ]=1, f[x 0,x 1,x 2,x 3 ]= 1 12, f[x 0,x 1,x 2,x 3,x 4 ]= 1 30, p 4 (x) = 2(x 1) + (x 1) (x 2) + 1 (x 1) (x 2) (x 4) 12 1 (x 1) (x 2) (x 4) (x 5) 30 p 4 (3) = =5.7 Ejercicio 15 Consideramos la integral v = Z 1 0 e x2 dx Es bien sabido que la función f(x) =e x2 no tiene primitivas que puedan expresarse como combinación sencilla de funciones elementales. Para aproximar el valor de la integral, podemos construir un polinomio interpolador y calcular su integral. (a) Calcula el polinomio p 2 (x) que interpola a f(x) en los nodos x 0 =0,x 1 =0.5, x 2 =1. (b) Construye con Maple una representación conjunta de f(x) y p 2 (x). (c) Calcula el valor v = Z 1 0 p 2 (x) dx. (d) Calcula con Maple un valor aproximado de v. Determina el error absoluto que se produce cuando aproximamos v mediante la integral del polinomio interpolador. (e) Repite todo el ejercicio tomando ahora 5 puntos igualmente repartidos en el intervalo y un polinomio de grado 4. Para obtener 5 nodos igualmente espaciados en [a,b], hacemos x j = a + jh, j =0, 1, 2, 3, 4. h = b a 4. Ennuestrocasoes,h =0.25 y resulta x 0 =0,x 1 =0.25, x 2 =0.50, x 3 =0.75, x 4 =1.

14 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 14 (a) Usamos la función f(x) =e x2 para calcular los valores La tabla de diferencias es x y x 0 =0 f [x 0 ]=1 x 1 =0.5 f [x 1 ]= f [x 0,x 1 ]= x 2 =1 f [x 2 ]= f [x 1,x 2 ]= f [x 0,x 1,x 2 ]= Interpolador p 2 (x) = x x (x 0.5). (b) La representación conjunta se puede construir como sigue > f:=x->exp(-x^2); xx:=[0,0.5,1]; yy:=map(f,xx); yy:=map(evalf,yy); p2:=interp(xx,yy,x); plot([f(x),p2],x=0..1,colour=[black,red]); La orden yy:=map(evalf,yy); aplica evalf sobre la lista de valores y la guarda con el mismo nombre. La opción colour=[black,red]asigna ordenadamente colores a las gráficas. (c) Para integrar, escribimos el polinomio en la forma v = Z 1 0 p 2 (x) = x x 2 p 2 (x)dx = = (d) Si tenemos definida f(x) =e x2 como función con la orden > f:=x->exp(-x^2); calculamos la integral con > v:=int(f(x),x=0..1); vf:=evalf(v); El resultado es vf :=

15 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 15 Error e 2 = Z 1 (e) Con los nodos 0 e x2 dx se obtiene el interpolador Z 1 0 p 2 (x)dx = = x 0 =0,x 1 =0.25, x 2 =0.50, x 3 =0.75, x 4 =1 p 4 (x) = x x x x +1 la aproximación con p 4 (x) es e 4 = Z 1 0 e x2 dx Z 1 0 v 4 = Z 1 Tenemos 4 decimales exactos. Ejercicio 16 Consideramos los valores 0 p 4 (x)dx = , p 4 (x)dx = = x 0 1 y 1 2 y (a) Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el polinomio de grado 3 que interpola los valores de la tabla. (b) Resuelve el sistema y verifica que, efectivamente, el polinomio cumple las condiciones exigidas. Es un polinomio de grado 3 la derivada es Condiciones de interpolación H 3 (0) = 1 H 0 3 (0) = 1 H 3 (1) = 2 H3 0 (1) = 1 H 3 (x) =a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 H 0 3(x) =a 1 +2a 2 x +3a 3 x 2 a 0 =1 a 1 =1 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 =2 a 1 +2a 2 +3a 3 = 1 a 0 =1 a 1 =1 a 2 + a 3 =0 2a 2 +3a 3 = 2

16 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 16 Obtenemos El polinomio es a 0 =1 a 1 =1 a 2 =2 a 3 = 2 H 3 (x) =1+x +2x 2 2x 3. Ejercicio 17 Calcula el interpolador de Hermite de la tabla x 0 1 y 1 3 y usando diferencias divididas. Verifica que el polinomio obtenido toma los valores adecuados. La tabla de diferencias divididas es, inicialmente x 0 =0 f [x 0 ]=1 x 0 =0 f [x 0 ]=1 f [x 0,x 0 ]=0 x 1 =1 f [x 1 ]=3 f [x 0,x 1 ]= f [x 0,x 0,x 1 ] x 1 =1 f [x 1 ]=3 f [x 1,x 1 ]= 1 f [x 0,x 1,x 1 ] f [x 0,x 0,x 1,x 1 ] de donde obtenemos x 0 =0 f [x 0 ]=1 x 0 =0 f [x 0 ]=1 f [x 0,x 0 ]=0 x 1 =1 f [x 1 ]=3 f [x 0,x 1 ]=2 f [x 0,x 0,x 1 ]= 2 x 1 =1 f [x 1 ]=3 f [x 1,x 1 ]= 1 f [x 0,x 1,x 1 ]= 3 f [x 0,x 0,x 1,x 1 ]= 5 El polinomio de Hermite es H 3 (x) = 1+0x +2x 2 5x 2 (x 1) = 1+7x 2 5x 3. Ejercicio 18 Consideramos los valores x x 0 x 1 y y 0 y 1 y 0 y0 0 y1 0

17 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 17 puede demostrarse que el polinomio de Hermite que interpola la tabla anterior queda determinado por la expresión 1 x x 2 x 3 p(x) 1 x 0 x 2 0 x 3 0 y x 0 3x 2 0 y0 0 =0 1 x 1 x 2 1 x 3 1 y x 1 3x 2 1 y1 0 Usando la expresión anterior, determina el interpolador de Hermite para la tabla x 0 1 y 1 2 y Obtenemos el determinante 1 x x 2 x 3 p(x) =0 como se trata de un determinante de orden 5, es preferible operar con las filas y columnas para simplificarlo (1 a 2 a ) 0 x x 2 x 3 p(x) =0 (4 a 2 a ) Desarrollamos por la primera columna y obtenemos x x 2 x 3 p(x) = Operamos ahora por columnas, restando la primera a la cuarta columna x x 2 x 3 p(x) 1 x =

18 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 18 desarrollamos por 2 a filā x 2 x 3 p(x) 1 x =0 restamos la primera columna a la segunda x 2 x 3 x 2 p(x) 1 x =0 y desarrollamos por 2 a fila x3 x 2 p(x) 1 x 1 2 =0 finalmente 2x 3 +2x 2 p(x)+1+x =0 de donde obtenemos p(x) = 2x 3 +2x 2 +1+x. Ejercicio 19 Para un objeto móvil, conocemos la posición (en metros) y la velocidad (en m/s) en los instantes t =4s y t =5s. Estima el valor de la posición y la velocidad para t =4.5 s. t e(t) v(t) 1 1 La tabla de diferencias divididas es t 0 =4 f [t 0 ]=40 t 0 =4 f [t 0 ]=40 f [t 0,t 0 ]=1 t 1 =5 f [t 1 ]=65 f [t 0,t 1 ]=25 f [t 0,t 0,t 1 ]= 24 t 1 =5 f [t 1 ]=65 f [t 1,t 1 ]= 1 f [t 0,t 1,t 1 ]= 26 f [t 0,t 0,t 1,t 1 ]= 50 Polinomio interpolador H 3 (t) =40+(t 4) + 24 (t 4) 2 50 (t 4) 2 (t 5). Estimación de la posición, representamos por e(t) la posición Derivada e(4.5) ' H 3 (4.5) = H 0 3(t) =1+48(t 4) 100 (t 4) (t 5) 50 (t 4) 2 Estimación de la velocidad, representamos por v(t) la velocidad v(4.5) ' H 0 3(4.5) = 37. 5

19 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 19 Ejercicio 20 Demuestra que el máximo absoluto de la función h(x) =(x x 0 ) 2 (x x 1 ) 2 sobre el intervalo [x 0,x 1 ] se produce en y que el valor del máximo es x M = x 0 + x 1 2 M = max h(x) =(x 1 x 0 ) 4. x [x 0,x 1 ] 16 La función objetivo es h(x) =(x x 0 ) 2 (x x 1 ) 2 Queremos obtener el máximo absoluto sobre [x 0,x 1 ]. Se trata de un problema de extremos absolutos sobre intervalo cerrado. Observemos que h(x) es continua en todo R. Los posibles extremos se pueden producir en x = x 0, x = x 1 y en los puntos críticos interiores. h 0 (x) = 2(x x 0 )(x x 1 ) 2 +2(x x 0 ) 2 (x x 1 ) = 2(x x 0 )(x x 1 )(x x 1 + x x 0 ) = 2(x x 0 )(x x 1 )(2x x 1 x 0 ) El único punto crítico interior es El valor en x c es x c = x 1 + x 0 2 µ x1 + x 2 µ 0 x1 + x 2 0 h(x c ) = x 0 x µ x1 x 2 µ 0 x0 x 2 1 = 2 2 = (x 1 x 0 ) 4 16 Como h(x 0 )=h(x 1 )=0y h(x c ) > 0, h(x) toma el máximo absoluto sobre [x 0,x 1 ] en x c. Ejercicio 21 Consideramos la función f(x) =sinx.

20 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 20 (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f(x) en los nodos x 0 =0y x 1 = π/4. (b) Usando el polinomio del apartado anterior, aproxima el valor de sin(0.5). Calcula una cota superior de error absoluto. (c) Calcula una cota superior de error absoluto válida para todo x [0, π/4]. (a) Tenemos La tabla de valores es f(x) =sinx, f 0 (x) =cosx la tabla inicial de diferencias es x x 0 =0 x 1 = y y x 0 =0 f [x 0 ]=0 x 0 =0 f [x 0 ]=0 f [x 0,x 0 ]=1 x 1 = f [x 1 ]= f [x 0,x 1 ]= x 1 = f [x 1 ]= f [x 1,x 1 ]= de donde obtenemos f [x 0 ]=0, f [x 0,x 0 ]=1, f [x 0,x 0,x 1 ]= , El interpolador es f [x 0,x 0,x 1,x 1 ]= H 3 (x) = x x x 2 (x ) = x x x 3 (b) Aproximación de sin(0.5) Cota superior de error f (4) (t) e 3 (0.5) = 4! sin( π 4 ) 24 H 3 (0.5) = (0.5 0) 2 ³ 0.5 π 4 2 ³0,, t π 4 (0.5) 2 ( ) 2 =

21 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 21 tenemos 2 decimales exactos. El error exacto es e 3 (0.5) = sin(0.5) H 3 (0.5) = (c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, π 4 ]. f (4) (t) e 3 (x) = (x x 0 ) 2 (x x 1 ) 2, t 4! sin t 24 (x x 0) 2 (x x 1 ) 2 según el ejercicio anterior se cumple (x x 0 ) 2 (x x 1 ) 2 (x 1 x 0 ) 4 16 entonces e 3 (x) sin π π4 4 4 = tenemos 2 decimales exactos en todo el intervalo. Ejercicio 22 Consideramos la función f(x) =e x. ³ 0, π 4 (a) Construye el polinomio de Hermite que interpola f(x) en los nodos x 0 =0y x 1 =0.5. (b) Usando el polinomio obtenido, aproxima el valor de e Calcula una cota superior de error absoluto. (c) Determina cotas superiores para el error absoluto válidas para cualquier x [0, 0.5]. (a) Tenemos La tabla de valores es f(x) =e x, f 0 (x) =e x x x 0 =0 x 1 =0. 5 y y la tabla inicial de diferencias es x 0 =0 f [x 0 ]=1 x 0 =0 f [x 0 ]=1 f [x 0,x 0 ]=1 x 1 =0.5 f [x 1 ]= f [x 0,x 1 ]= x 1 =0.5 f [x 1 ]= f [x 1,x 1 ]=

22 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 22 de donde obtenemos f [x 0 ]=1, f [x 0,x 0 ]=1, f [x 0,x 0,x 1 ]= , El interpolador es f [x 0,x 0,x 1,x 1 ]= H 3 (x) = 1+x x x 2 (x 0.5) = 1+x x x 3 (b) Aproximación de e 0.25 Cota superior de error f (4) (t) e 3 (0.25) = 4! H 3 (0.25) = (0.25 0) 2 ( ) 2, t (0, 0.5) e (0.25)2 (0.25) 2 = tenemos 3 decimales exactos. El error exacto es e 3 (0.25) = e0.25 H 3 (0.25) = (c) Cota superior de error en todo el intervalo [0, 0.5]. f (4) (t) e 3 (x) = (x x 0 ) 2 (x x 1 ) 2, t (0, 0.5) 4! e (0.5) 4 16 = Obtenemos 3 decimales exactos en todo el intervalo. Ejercicio 23 Para un objeto móvil, conocemos los siguientes datos Tiempo (s) Posición (m) Velocidad (m/s) (a) Construye un función a trozos que modelice la distancia recorrida en la forma p 1 (t) 0 t<2 x(t) = p 2 (t) 2 t<4 p 3 (t) 4 t 6 donde p j (t) es el polinomio de Hermite que interpola la tabla en los extremos del intervalo correspondiente..

23 Ejercicios: Aproximación e Interpolación 23 (b) Calcula el error absoluto y relativo que se produce cuando aproximamos la posición y la velocidad en t =3y t =5usando x(t).