Práctica 5: Interpolación y ajuste.

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1 Práctica 5: Interpolación y ajuste. 1 Tablas de diferencias. La interpolación se usa para obtener datos intermedios a partir de una tabla de valores, construyendo un polinomio que pasa por el conjunto de datos conocidos, llamados nodos de interpolación; este polinomio suele expresarse en términos de la diferencias i f. Para introducir estas diferencias, consideramos la tabla formada por un conjunto de valores de una función f(x) en el conjunto de N puntos equiespaciados {x 0, x 1,..., x N 1 } con x i = x i 1 + h. Llamamos f k a f(x k ) y definimos: y en general: f k = f k+1 f k 2 f k = f k+1 f k = (f k+2 f k+1 ) (f k+1 f k ) (1) i+i f k = i f k+1 i f k (2) En MATLAB existe el comando diff(y,n) que calcula estas diferencias; en concreto: Sea y es un vector de p componentes (y 1, y 2,..., y p ), diff(y,1) es un vector con p 1 componentes que son las primeras diferencias y 1, y 2,..., y p 1. diff(y,n) es un vector cuyas p n componentes son: n y 1, n y 2,..., n y p n. Además de ser un paso intermedio en la interpolación, las diferencias n y k son útiles a la hora de buscar la dependencia funcional de datos experimentales. En particular, si se tabulan los valores y k de un polinomio de grado m, en un conjunto de puntos {x k }, las diferencias de orden m + 1, m+1 y k, se anulan. Cuando la tabla contiene datos experimentales que corresponden a una función polinómica de grado m, estas diferencias toman valores del orden del error de la medida y alternando signos positivos y negativos. Entonces, emplear un polinomio de orden mayor que m para interpolar estos valores conduce a peores aproximaciones. Como ejemplo, consideremos una reaccion química 2A A (3) Se han medido las siguientes concentraciones de A en función del tiempo: 1

2 t, min [A], mmol dm Tabla 1 Construyamos las diferencias diff(y,k) con k=1, 2, 3 de los datos de esta tabla, para ello escribamos los datos en forma de vectores: x = [ etc.]; y = [ etc. ]; y calculemos: d1 = diff(y, 1) d2 = diff(y, 2) d3 = diff(y, 3) Comprobamos, construyendo la tabla de la seccion de resultados, que los datos de la tabla 1 no se aproximan adecuadamente con polinomios de orden m = 0, 1, 2. Repetimos el cálculo de diferencias para las funciónes 1/y y log y. Sabiendo que para reacciones de primer orden la concentración depende del tiempo en la forma: mientras que para reacciones de segundo orden se cumple: [A] = [A] 0 exp( kt), (4) [A] = [A] k[a] 0 t (5) Decidir el orden de la reacción considerada 2

3 2 Interpolación. 2.1 Interpolación de Gregory-Newton. El polinomio de grado n que pasa por un conjunto de n + 1 puntos (x k, f k ) equiespaciados puede expresarse (fórmula de Gregory-Newton) como: p n (x) = f 0 + n i=1 [ i 1 ] (x x j ) j=0 i f 0 i!h i (6) En la práctica se dispone del programa gn.m(x, y, b, p) que proporciona valores interpolados mediante la fórmula (6), donde x: vector que contiene las abscisas de los datos. y: vector que contiene las ordenadas de los datos. b: punto en el que se desea evaluar el polinomio interpolante. p: grado del polinomio interpolante. 2.2 Interpolacion con funciones spline. Para interpolar un conjunto grande de puntos suelen emplearse las funciones spline; estas funciones son polinomios, normalmente de tercer orden, que interpolan subconjuntos de puntos. En el caso concreto del spline cúbico, dados un conjunto de n + 1 datos, éstos definen un conjunto de n intervalos y en cada uno de ellos se construye el polinomio: f i (x) = a i (x x i ) 3 + b i (x x i ) 2 + c i (x x i ) + d i (i = 1, 2,..., n) (7) Necesitamos por tanto 4n condiciones para determinar las constantes a i, b i, c i y d i ; éstas son: 1. La primera y la última función deben pasar por los puntos extremo (2 condiciones). 2. Las funciones deben igualarse en los nodos internos: f i (x i+1 ) = f i+1 (x i+1 ) = y i+1 (2n -2 condiciones). 3. Las primeras derivadas son iguales en los puntos interiores (n-1 condiciones) 4. Las segundas derivadas son iguales en los puntos interiores (n-1 condiciones). 5. Las segundas derivadas en los puntos extremos se anulan (2 condiciones). 3

4 MATLAB dispone de una subrutina para efectuar interpolación con splines cubicos. spline (x, y, xi), que proporciona el valor interpolado en el punto xi mediante un spline que pasa por los puntos cuyas abscisas vienen dadas por el vector x y ordenadas por el vector y. Veamos un ejemplo de interpolación: Un reactor está térmicamente estratificado con los valores de la siguiente tabla: Profundidad,m Temperatura, o C Tabla 2 Comparamos los resultados de interpolar estos valores con un polinomio de orden 6 y empleando spline: Prof = [0: 0.5 :3]; Temp = [70, 68, 55, 22, 13, 11, 10]; P1 = [0 : 0.1 : 3]; T1= gn(prof, Temp, P1, 6); T2= spline(prof, Temp, P1); plot(prof, Temp, xr, P1, T1, b ); plot(prof, Temp, xr, P1, T2, b ); 3 Ajustes. Regresión por el método de mínimos cuadrados. Dado un conjunto de datos (x i, y i ) se pretende encontrar una función f(x) que aproxime estos puntos, minimizando las distancias de estos puntos a la línea y = f(x). En el método de mínimos cuadrados se parte de una forma funcional que depende de una serie de parámetros {c 1, c 2,..., c n }. Para determinar estos parámetros, se define el vector residuo, r, cuyas componentes son: r i = y i f(x i ) (8) y cuya norma euclídea es: r = r 2 i = [y i f(x i )] 2 (9) i Los parámetros c i se determinan imponiendo que r 2 sea mínimo. Por ejemplo, si la función f(x) es un polinomio de grado m: i f(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m, (10) 4

5 la condición de mínima norma conduce a un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones son los coeficientes c i. En MATLAB disponemos de los siguientes comandos: p=polyfit (x,y, n): ajusta un polinomio p de grado n a los datos x i, y i, que son, respectivamente, las componentes de los vectores x, y. yy=polyval (p,xx): evalúa el polinomio p en el punto xx. norm (v): calcula la norma del vector v. Como ejemplo de aplicación, consideremos los siguientes datos de presión de vapor del benceno en función de la temperatura: T, K P, mm Hg Tabla 3 Primero ajustamos estos datos a un polinomio de cuarto grado: T=[ ] ; Pv=[ ]; pol4=polyfit(t, Pv, 4 ); Evaluamos el polinomio y representamos gráficamente los datos y el ajuste: Paj=polyval(pol4,T); plot(t, Paj, b, T, Pv, or ) title ( ajuste polinomio, n=4 ) xlabel ( T, K ) ylabel ( Presion de vapor, mm Hg ) Otra alternativa es ajustar los datos a la ecuación (Clapeyron): P v = A exp B T (11) 5

6 Tomando logaritmos: log P v = C + B T (12) con C = log A. El procedimiento en MATLAB es: lp=log(pv); it=1./t; lr=polyfit(it,lp,1); PCl=polyval(lr,iT); PvCl= exp(pcl); plot(t, PvCl, b, T, Pv, or ) title ( ajuste ecuacion Clapeyron ) xlabel ( T, K ) ylabel ( Presion de vapor, mm Hg ) Para discutir qué ajuste es más adecuado, calculamos los residuos y las normas de los vectores residuo en cada caso: r1= Pv-Paj; r2= Pv-PvCl; n1=norm(r1) n2=norm(r2) 6

7 4 Resultados. 1. Completar las siguientes tablas (datos de la sección 1): x y y 2 y 3 y x y (log y) 2 (log y) 3 (log y)

8 x y (1/y) 2 (1/y) 3 (1/y) Determinar el orden de la reacción. 3. Decidir si es más adecuado emplear la interpolación de Gregory- Newton o el spline cúbico para interpolar los datos de temperatura del reactor de la sección Imprimir las gráficas de los ajustes de la sección 3. Copiar las expresiones obtenidas. 8

9 5. Representar gráficamente los residuos y comparar las normas calculadas en la sección 3. Qué ajuste es más apropiado? Qué expresión emplearías para estimar la presión de vapor a T=700K? 6. Explicar brevemente cómo ajustarías un conjunto de datos experimentales (x k, y k ) a la expresión A exp[ α(x x 0 ) 2 ], donde A, α y x 0 son parámetros. 9

10 5 Complemento: Empleo de Excel para ajuste. El programa Excel puede utilizarse para ajustar curvas, empleando la opción linea de tendencia del menú grafico. Consideremos un ejemplo sencillo: Se dispone de los siguientes datos (en unidades arbitrarias) de la resistencia a la tensión de un plástico: Tiempo Resistencia Para ajustar estos datos a una línea recta, abrimos el programa Excel y escribimos los valores de tiempo y resistencia en las columnas A y B respectivamente. A continuación seleccionamos estas dos columnas con el ratón y elegimos la opción Insertar Gráfico. A la pregunta tipo de gráfico que aparecerá, respondemos eligiendo el tipo XY dispersión. Completamos el gráfico respondiendo Siguiente y Finalizar en los paneles sucesivos. Una vez construido el gráfico, se emplea la opción Agregar línea de tendencia del menú Gráfico; entonces aparecerá un panel que nos permite seleccionar el tipo de ajuste deseado. En este caso concreto, elegiremos el ajuste lineal; además, el panel opciones nos permite incluir en el gráfico la función obtenida y el coeficiente de correlación. Como primer ejercicio, obtengamos una regresión polinomial de cuarto orden para los siguientes datos de concentración de oxígeno disuelto en agua al nivel del mar frente a la temperatura: T, 0 C C,mg/l Obtener el polinomio correspondiente y el coeficiente de correlación del ajuste. Como segundo ejercicio, consideremos los siguientes valores de corriente en un alambre en funcin del voltaje aplicado: V, V I, A Obtener la resistencia del conductor, mediante un ajuste lineal de estos datos, pero dar un peso 8 veces mayor a los puntos con V < 15V donde las desviaciones de la ley de Ohm son menores 10