MODELOS EMPIRICOS. Estimación de los coeficientes en un modelo lineal

Transcripción

1 MODELOS EMPIRICOS Si se conoce cuales son las variables importantes para el proceso, pero el modelo del proceso es desconocido, se requiere una aproximación empírica a la construcción del modelo. El desarrollo de modelos empíricos para representar un proceso continuo involucra: - postular un modelo; - realizar determinaciones experimentales para conseguir datos empíricos adecuados; - ajustar al modelo (determinar los coeficientes del modelo); - evaluar los resultados Estimación de los coeficientes en un modelo lineal Como ya dijimos, el término lineal se podría aplicar tanto a las variables independientes del modelo (aquellas que están bajo el control del experimentador) como a los coeficientes del mismo. Para las variables implicaría que cada término tiene una sola variable independiente y elevada a la primera potencia. Para los coeficientes a i implica que estos no dependan de las variables independientes y que exista un solo parámetro por término y que aparezca a la primera potencia. ESTA ES LA DEFINICION QUE IMPORTA ACA. Un caso general sería: Φ = a 0 u 0 (x) + a 1 u 1 (x) + a 2 u 2 (x) a m u m (x) Las u i (x) pueden ser distintos juegos de variables independientes entre sí o de funciones de las mismas: x 1, x 2, x 3,..., x m 1, x, x 2,..., x m 0, sen(x), sen(2x),..., sen(mx) 1, cos(x), cos(2x),..., cos(mx) e α0x, e α1x, e α2x,..., e αmx

2 UNA FORMA GENERAL PARA UN MODELO LINEAL EN EL SENTIDO USADO AQUÍ ES: Φ = a 0 f 0 (x 1, x 2, x 3,...) + a 1 u 1 (x 1, x 2, x 3,...) +... Claramente, la respuesta es lineal respecto a los parámetros si la derivada primera de la función respuesta respecto de cada parámetro no es una función de dicho parámetro. Como seleccionar una relación funcional lineal Supongamos por simplicidad estar trabajando con un sistema con sólo una variable independiente x y una variable dependiente y. Es decir: y = f(x) Si los datos experimentales, cuando los graficamos en coordenadas cartesianas, no se aproximan a una línea recta del tipo: y = a 0 + a 1 x y aún así queremos plantear un modelo lineal, debemos buscar una forma de transformar la información experimental a un sistema del tipo: y = a 0 + a 1 x que de un gráfico lineal. La tabla siguiente resume algunas de las posibles transformaciones que se pueden intentar:

3 Las figuras siguientes muestran los resultados de utilizar los modelos 1 a 5 para obtener los coeficientes, y después graficar la ecuación original, con distintos valores de los coeficientes

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6 LISTA DE CONTROL PARA LA EXPERIMENTACIÓN Manifestación de objetivos 1) Por qué hacemos este trabajo? Cuáles preguntas van a ser contestadas por el experimento? 2) Cuáles son las consecuencias de un fracaso en determinar un efecto o en decir que existe uno, cuando en realidad no lo hay? 3) Cuál es el rango de condiciones experimentales a ser cubierto? 4) Cuál es el cronograma a cumplir? 5) Cuál es el costo máximo permisible? 6) Qué información previa existe sobre el experimento o sus resultados? 7) Se busca un óptimo de las variables del proceso o sólo el efecto de cada variable? Tipo de modelo(s) a ser usado 1) Se usarán de tipo empírico o de fenómenos de transporte? 2) Es la forma del modelo correcta o ésta debe ser determinada? 3) Cuáles van a ser las variables dependientes e independientes? Programa experimental 1) Cuáles son las variables a ser medidas, como van a ser medidas y en qué secuencia? 2) A cuáles variables consideramos en primera instancia como más importantes y a cuáles como menos importantes? Puede ser detectado el efecto deseado? 3) Cuáles factores extraños o perturbaciones deben ser controlados, balanceados o minimizados? 4) Qué clase de control de las variables es deseable? 5) Son las variables independientes o función de otras variables? 6) Cuánta dispersión se puede esperar en los resultados de los ensayos? Será distinta a distintos niveles de las variables?

7 Replicación y análisis 1) Cuál es el equipo experimental y cómo van a ser replicados los experimentos: todos de una vez, secuencialmente o en grupo? 2) Cuál es el tipo y número de pruebas a ser realizadas? 3) Cómo se van a analizar e interpretar los datos? ESTRATEGIA PARA UNA EXPERIMENTACION EFICIENTE