Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado:

Transcripción

1 Orígenes El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta menor Ceres, siendo capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria en base a las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler del movimiento, es complicado). La mayoría de evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para permitir al astrónomo alemán Zach, reencontrar a Ceres al final del año, fue el de Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años). En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito de este procedimiento: simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov. El método de los mínimos cuadrados. El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes: Es nula la suma de las desviaciones de los puntos a partir de la recta de ajuste: Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado: (Mínima). El procedimiento consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos Diagrama de dispersión con muchas observaciones Navegación Astronómica - Claudio López Página 1

2 Ecuación cartesiana de la Recta de Altura Si son los elementos determinantes de una Recta de Altura (RA), su ecuación en coordenadas cartesianas es: Si realizamos varias observaciones simultáneamente, todas ellas compartirán la misma situación estimada, aunque distintos pares de valores, procediendo cada par de una observación diferente. Si es el número de observaciones realizadas, sustituyendo cada observación en la ecuación de la Recta de Altura anterior, tendremos un sistema de ecuaciones (una por observación) con dos incógnitas ; si realizamos tres o más observaciones, tendremos más ecuaciones que incógnitas. Tomamos las ecuaciones de dos en dos y las resolvemos, obteniendo pares en los que podría encontrase nuestro barco. Pero dado que nuestro barco no puede hallarse simultáneamente en cada uno de los puntos, hemos de encontrar un punto que sea la mejor estima. Aquí es donde entra en juego el método de los mínimos cuadrados y se trata de encontrar el par que minimiza el error cuadrático. El diagrama de dispersión es el constituido con los pares, entonces llamando a la suma de los cuadrados de los residuos: Ver el gráfico siguiente. Navegación Astronómica - Claudio López Página 2

3 Empleamos los procedimientos del análisis matemático para calcular el mínimo de la función, para lo cual hallamos sus derivadas respecto de y respecto de igualándolas a cero. Ordenando los términos. Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Llamando: Además: Tenemos: Navegación Astronómica - Claudio López Página 3

4 Despejando las incógnitas obtenemos: ; El punto representa la mejor estimación (en el sentido de los mínimos cuadrados) del punto de intersección de todas las RRAA con respecto a. Teniendo en cuenta que es una variación de latitud: y que es una apartamiento: (Oeste +), tendremos que la mejor situación observada es: ; Diferencia de latitudes (Norte + y Sur -) ; Apartamiento (Oeste + y Este -) ; ; ; Se calcula la distancia entre la situación estimada inicial en el momento de las observaciones y la posición mejorada, en millas náuticas. ó Si > se sustituye la estima inicial por la situación mejorada y se repiten los cálculos hasta que, la distancia entre la situación estimada anterior y la situación mejorada, sea menor que. La ecuación del movimiento del observador Una forma común de contabilizar el movimiento del observador, es ajustar cada altura observada, teniendo en cuenta el cambio en la posición del observador durante el tiempo de navegación. Esta corrección del movimiento del observador, en minutos de arco, es: Donde está en nudos y está en minutos de tiempo; entonces, que está en minutos de arco, se añade a la altura verdadera. La cantidad representa la altura que el astro observado tendría, si fuera observado en el mismo instante, pero desde una posición de diferente, una posición avanzada desde en, a lo largo de la derrota de la embarcación. En esencia, el uso de esta fórmula mantiene la posición Navegación Astronómica - Claudio López Página 4

5 geográfica ( ) del astro observado (el en el instante ), pero define un nuevo círculo de posición para la observación; para positivo, el círculo tiene un radio mayor si el rumbo de la embarcación se aleja del astro o un radio menor si el rumbo de la embarcación es hacia el astro. Para una extensión pequeña en la superficie de la tierra alrededor de la derrota de la embarcación, esto es esencialmente equivalente a avanzar (o retirar) la RA de la observación. Aplicado la ecuación del movimiento del observador a todas las observaciones, cada una con un diferente, se obtiene un conjunto de RRAA que se intersecan cerca de, definiendo una posición para el instante. Cuando se utiliza la ecuación del movimiento del observador, los valores de y se calculan para los instantes individuales de cada observación, pero para la posición común. La ecuación es una aproximación, pero funciona bastante bien para las observaciones tomadas con pocos minutos de diferencia. Incluso para distancias de 20 MN, el error propio de la fórmula, es por lo general sólo de unas pocas décimas de minuto de arco. Ejemplo: Se observan 3 astros en un crepúsculo vespertino. Las observaciones se reducen con la 35º20,3'N 064º22,0'W obteniéndose los siguientes determinantes: 19:25; 200,4º; - 4,6' 19:30; 019,0º; +1,7' 19:35; 053,0º; +4,5' Calcular la situación observada a la hora de la 3º observación, sabiendo que navega al 250º y 10 nudos. Calculamos las correcciones debidas al movimiento del observador. 1-4,6 200,4º 10 m - 3,5 2 +1,7 019,0º 5 m +1,2 3 +4,5 053,0º 0 m +4,5 10 nudos 250º Ayudándonos de la calculadora, obtenemos los coeficientes A, B, C, D y E, almacenándolos en las memorias del mismo nombre. 0,865 2,135 7,123 5,205 1,115 Navegación Astronómica - Claudio López Página 5

6 ; Diferencia de latitudes ; Apartamiento ; ; 35º20,3 N 0,6 N 35º20,9 N ; 35º20,6 N 5,2 E 6,4 E - ; 064º22,0'W + 064º15,6 W ; 35º20,9'N ; Latitud observada 064º15,6'W ; Longitud observada 5,3MN ; Distancia entre y ; Comparar este el resultado analítico, con el obtenido gráficamente en la página 239 del libro Navegación Astronómica 2ª edición. Solución gráfica Navegación Astronómica - Claudio López Página 6