Parciales Matemática CBC Parciales Resueltos - Exapuni.

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1 Parciales Matemática CBC 2012 Parciales Resueltos - Exapuni

2 Compilado de primeros parciales del 2012 Parcial 1 1) Sea. Hallar todos los puntos de la forma, tales que la distancia entre sea. La distancia de y se obtiene con la formula: Resolvemos: ( ) Aplicamos factor común Para que se cumpla la igualdad debe ser 0 ó 5. Por lo tanto existen dos puntos que en los que la distancia entre y es. Reemplazamos los posibles valores de en el punto : Si : 2

3 2) Sean y. Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los vértices de los gráficos de. Podemos obtener una función lineal teniendo únicamente dos puntos por los que pasa la función. En principio tenemos que obtener esos puntos, el enunciado nos informa que dos puntos por los que pasa la recta se encuentran en los vértices de. Por lo tanto calculamos los vértices. Primero obtenemos el vértice de. Por lo tanto: Obtenemos el vértice de. Tenemos que llevar la ecuación a la estructura para obtener el vértice. Por lo tanto: 3

4 Ahora que tenemos dos puntos podemos obtener la función lineal. La misma tiene la forma:. Utilizamos los puntos para generar dos ecuaciones así tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Restamos las ecuaciones para obtener una única ecuación (notar que al restar se cancelan las ) Reemplazamos m en cualquiera de las dos ecuaciones: Por lo tanto la función que responde a la consigna es: 3) Sea. Hallar de modo que la recta sea asíntota horizontal. Para el valor de encontrado, dar las ecuaciones de todas las asíntotas de. Para obtener una asíntota horizontal de una función hay que aplicar el límite tendiendo a infinito. En el enunciado nos dicen que la asíntota horizontal es igual a 8. Por lo tanto: 4

5 ( ) ( ) Ahora buscamos asíntotas verticales: Primero determinamos el dominio de la función. El denominador no puede ser igual a 0. Procedemos a obtener los valores de para los que el denominador resulta 0. Por lo tanto el denominador se anula en y Vemos si en esos puntos existen asíntotas verticales: Existe asíntota vertical en Existe asíntota vertical en 4) Sea. Calcular y dar su dominio. Para que una función tenga inversa debe ser inyectiva, esto significa que para cada valor del dominio existe un único valor en la imagen (para cada valor de existe un único valor de ) Para calcular la inversa invertimos la posición de las variables e dentro de la función. 5

6 Por lo tanto Ahora obtenemos el dominio e imagen de ambas funciones: Notar que la imagen de es el dominio de. Parcial 2 1) Sea, y. Calcular la distancia entre el vértice del gráfico de y el punto en el que se cortan los gráficos. Primero obtenemos el punto en el que ecuaciones: interesectan. Para obtenerlo igualamos las Reemplazamos el valor de en la función El primero punto es. Obtenemos el segundo punto, el enunciado dice que es el vértice de la función. 6

7 La distancia de y se obtiene con la formula: 2) Determinar el conjunto de ceros y el conjunto de positividad de. El enunciado nos pide que obtengamos los puntos donde la función se intercepta con el eje. Eso sucede cuando. Por lo tanto: La expresión se puede dividir en 3 ecuaciones: i) ii) iii) En la ecuación i) no existe valor de que satisfaga en los números reales. 7

8 En la ecuación ii) el valor de se obtiene directamente. En la ecuación iii) obtenemos los valores de x que satisfacen. Por lo tanto: Graficamos la función para simplificar el cálculo del conjunto de positividad. Del gráfico se obtiene: El gráfico es a modo ilustrativo, en el parcial por una cuestión de tiempo recomendamos no hacer el gráfico y determinar el conjunto de positividad o el de negatividad analíticamente. Para hacerlo tomamos valores diferentes a lo de los ceros, los aplicamos en el valor de la función y determinamos el signo de. Por ejemplo, tomamos el valor, el mismo lo reemplazamos en la ecuación inicial: 8

9 Debido a que el resultado es negativo la función a la izquierda de el primero cero ( ) se encuentra debajo del eje (lo mismo se puede constatar en el gráfico). Ahora elegimos un número entre el -3 y el 0, por ejemplo el -1, y lo reemplazamos en la función como hicimos anteriormente. De este resultado obtenemos que entre los valores -3 y 0 la función se encuentra sobre el eje, por lo tanto el intervalo (-3,0) es parte del conjunto de positividad. Realizamos el mismo procedimiento con un valor entre el 0 y 2, por ejemplo el 1. Debido a que el valor es negativo el intervalo (0,2) no es parte del conjunto de positividad. Finalmente tomamos un número mayor a 2. Por ejemplo el valor 3. Debido a que el valor es positivo el intervalo positividad. pertenece al conjunto de 3) Sea. Dar el dominio de y las ecuaciones de todas sus asíntotas. Comenzamos buscando asíntota horizontal: 9

10 ( ) ( ) Por lo tanto es asíntota horizontal. Antes de obtener las asíntotas verticales obtenemos el dominio. El denominador no puede ser igual a 0. debe ser diferente a y. Para obtener las asíntotas verticales debemos hacer el limite tendiendo a los valores que no puede tomar el dominio. No hay asíntota vertical en Probamos ahora con Por lo tanto hay asíntota vertical el -1 La ecuación es 10

11 4) Sea ( ). Encontrar todos los que verifican ( ) ( ) ( ) Parcial 3 1) Sean la función lineal tal que y y. Escribir como intervalo el conjunto Debido a que nos dan dos puntos de obtener su ecuación. y nos dicen que es una función lineal podemos Restamos las ecuaciones: Reemplazamos m en cualquiera de las dos ecuaciones: 11

12 Por lo tanto Hay que obtener el conjunto solución de la inecuación: Por lo tanto el conjunto solución es: 2) Hallar la función cuadrática cuyo gráfico tiene vértices y pasa por el punto. Determine los ceros y el conjunto de negatividad de. Sabemos que la función del vértice en x es Sabemos que pasa por el punto También pasa por el punto Restamos las ecuaciones: Sabemos la relación que existe entre a y b debido a que nos dan el vértice. Lo reemplazamos en la ecuación obtenida: 12

13 Al obtener a automáticamente obtenemos b: Y reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales obtenemos la variable faltante: Por lo tanto la ecuación cuadrática es: El enunciado también nos solicita los ceros de la función, para obtenerlos debemos igualar la ecuación a 13

14 Por lo tanto Debido a que el vértice se encuentra en el punto, notar que el valor de es positivo, sabemos que el conjunto de positividad se encuentra en el intervalo, el resto al ser una función cuadrática se corresponde con el conjunto de negatividad. Entonces: Realizamos el gráfico para que se aprecie bien el análisis realizado, debido a que es un gráfico sencillo recomendamos realizarlo en el parcial para evitar equivocaciones. 3) Sea. Hallar b para que la recta de ecuación sea una asíntota vertical de. Para el valor de hallado, dar las ecuaciones de todas las asíntotas de. Para que sea asíntota vertical se tiene que cumplir que: Para que se cumpla el denominador debe ser igual a 0. Resolvemos: debe ser igual a para que sea asíntota vertical. Por lo tanto tenemos una asíntota vertical en y la ecuación resultante es: 14

15 Buscamos asíntotas verticales (buscamos valores de que anulen el denominador): Sabemos que en existe una asíntota vertical, buscamos asíntota en También hay una asíntota vertical en Buscamos asíntota horizontal: ( ) ( ) Por lo tanto es asíntota horizontal. 4) Sea Hallar los ceros de f pertenecientes al intervalo Resolvemos: 15

16 ( ) Parcial 4 1) Sea. Hallar la distancia entre los puntos donde el gráfico de corta los ejes coordenados. Obtenemos los puntos donde corta con los ejes coordenados. Cuando : El primer punto es Cuando : El segundo punto es ( ) La distancia de y se obtiene con la formula: 16

17 ( ) ( ) 2) Determinar el conjunto de positividad de. Aplicamos factor común : Se obtienen dos ecuaciones: i) ii) De la primera ecuación se obtiene que uno de los ceros es En la segunda ecuación es necesario desarrollar: 17

18 Por lo tanto el conjunto de ceros es: { } Es necesario determinar el conjunto de positividad, para hacerlo tomamos valores diferentes a lo de los ceros, los aplicamos en el valor de la función y determinamos el signo de. Por ejemplo, tomamos el valor, el mismo lo reemplazamos en la ecuación inicial: Debido a que el resultado es negativo la función a la izquierda del primero cero ( ) se encuentra debajo del eje (pertenece al conjunto de negatividad). Ahora elegimos un número entre el y el 0, por ejemplo el, y lo reemplazamos en la función como hicimos anteriormente. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De este resultado obtenemos que entre los valores y la función se encuentra sobre el eje, por lo tanto el intervalo ( ) es parte del conjunto de positividad. Realizamos el mismo procedimiento con un valor entre el 0 y 3, por ejemplo el 1. Debido a que el valor es negativo el intervalo (0,3) no es parte del conjunto de positividad. 18

19 Finalmente tomamos un número mayor a 3. Por ejemplo el valor 4. Debido a que el valor es positivo el intervalo positividad. pertenece al conjunto de Por lo tanto: ( ) 3) Sean y. Calcular el dominio y las asíntotas de. Sabemos que el numerador no puede ser igual a 0. Utilizamos este dato para determinar el dominio. Vemos en que valores de se anula la función: Simplificamos la función para facilitar los cálculos: Sabemos que es una función holográfica por su estructura (en su forma más simplificada tiene una en su numerador y una en su denominador), por lo tanto 19

20 sabemos que tiene asíntota horizontal. La obtenemos por medio del límite tendiendo a infinito. ( ) Por lo tanto: El dominio y la imagen de son todos los reales, ya que es una función lineal. Ahora aplicamos la composición de funciones: ( ) ( ) A esta nueva función le damos el nombre de Determinamos si es una asíntota vertical. Lo que significa que es una asíntota vertical. Ahora buscamos asíntota horizontal: 20

21 ( ) ( ) Lo que significa que es una asíntota horizontal. 4) Sea. Determinar el valor mínimo de y hallar todos los en los cuales alcanza dicho valor. Para determinar lel mínimo de f tenemos que basarnos en el conocimiento que tenemos de la función. Debido a que a la función se le suma el punto medio se encuentra en. A su vez tambien sabemos que el numero que acompaña a la función. es la amplitud, en este caso es. Conociendo estos dos datos sabemos que la función en va desde (se obtiene restando ) a 5 (se obtiene sumando ). Por lo tanto: De esto se obtiene que el valor mínimo es. Ahora vemos en que valores, cuando, la función alcanza dicho valor: Nota: si escribimos en la calculadora la misma nos va a dar el resultado más cercano a 0. En este caso sería. Sin embargo existe más de un 21

22 resultado en el conjunto correcta de expresarlo es.. Para obtener el resto de los valores la forma -2 Solo son correctos los valores, y Por lo tanto: { } Parcial 5 1) Escribir el conjunto { } como un intervalo o una unión de intervalos. Resolvemos el ejercicio: 22

23 Para que sea menor a es necesario que tanto el denominador como el numerador tengan signo diferente, para que esto suceda existen dos posibilidades. En el primer caso se obtiene la intersección En el segundo caso se puede ver que no existe intersección, por lo tanto la solución es el conjunto vacío. Por lo tanto el conjunto solución es: 2) Sean y la función cuadrática tal que; su gráfico tiene vértice y. Determinar todos los puntos en que se cortan los gráficos de y. El enunciado nos da el vértice de la cuadrática y un punto de la misma que se obtiene a partir de Sabemos que la función del vértice en x es Sabemos que, por lo tanto reemplazamos el valor en ya que el ese punto el valor de es el mismo. Ahora sabemos que la función cuadrática pasa por el punto. 23

24 También pasa por el punto (El mismo es el vértice) Restamos ambas funciones: Sabemos la relación que existe entre a y b debido a que nos dan el vértice. Lo reemplazamos en la ecuación obtenida: Al obtener a automáticamente obtenemos b: Y reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales obtenemos la variable faltante: Por lo tanto la ecuación cuadrática es: 24

25 Ya tenemos las dos funciones, ahora tenemos que hallar la intersección entre las mismas. Para eso es necesario igualarlas: 3) Sea. Dar el dominio de y las ecuaciones de todas sus asíntotas. Primero obtenemos el dominio, sabemos que el denominador no puede ser igual a. Vemos en que puntos se anula el denominador: La función se anula cuando o. Por lo tanto Ahora vamos a ver qué sucede con la función en estos puntos: 25

26 Hay asíntota vertical en. No hay asíntota en. Ahora procedemos a buscar asíntotas horizontales: ( ) ( ) Hay asíntota horizontal en. 4) Sean ; y. Calcular y encontrar todos los [ ] en los que alcanza su máximo valor. ( ) Para determinar la imagen tenemos que basarnos en el conocimiento que tenemos de la función. Debido a que a la función se le suman el punto medio se encuentra en. A su vez tambien sabemos que el numero que acompaña a la función es la amplitud, en este caso es. Conociendo estos dos datos sabemos que la función en va desde (se obtiene restando ) a 9 (se obtiene sumando ). Por lo tanto: 26

27 Para saber en que valor alcanza su máximo realizamos el mismo procedimiento que realizado recientemente. Sabemos que el punto medio es y la amplitud es, por lo tanto y el máximo valor que alcanza la función es. Parcial 6 1) Sea y el vértice el gráfico. Hallar la distancia entre y el punto. Tenemos que obtener dos puntos, el vértice y el punto. El vértice lo obtenemos por medio de la relación: Por lo tanto: Ahora obtenemos el punto. Del mismo nos falta el valor. La distancia de y se obtiene con la formula: 27

28 2) Sea. Hallar los intervalos de positividad y negatividad de. En principio es necesario obtener los ceros de la función: Se obtienen tres ecuaciones: i) ii) iii) De la primera ecuación se obtiene que uno de los ceros es De la segunda ecuación se obtiene que uno de los ceros es De la tercera ecuación se obtiene que uno de los ceros es Por lo tanto el conjunto de ceros es: Es necesario determinar el conjunto de positividad, para hacerlo tomamos valores diferentes a lo de los ceros, los aplicamos en el valor de la función y determinamos el signo de. Por ejemplo, tomamos el valor, el mismo lo reemplazamos en la ecuación inicial: Debido a que el resultado es positivo la función a la izquierda del primero cero ( encuentra encima del eje (pertenece al conjunto de positividad). ) se Ahora elegimos un número entre el y el 0, por ejemplo el, y lo reemplazamos en la función como hicimos anteriormente. 28

29 Debido a que el resultado es negativo la función se encuentra debajo del eje. Ahora elegimos un número entre el y el 2, por ejemplo el, y lo reemplazamos en la función como hicimos anteriormente. Debido a que el resultado es negativo la función se encuentra debajo del eje. Finalmente elegimos un número mayor al 2, por ejemplo el 3. Debido a que el resultado es positivo la función a la derecha del cero ( ) se encuentra encima del eje (pertenece al conjunto de positividad). Por lo tanto: 3) Sea. Hallar de modo que la recta de ecuación, sea una asíntota horizontal de. Para el valor encontrado, hallar el dominio de. Sabemos por el enunciado que es un asíntota horizontal, por lo tanto el limite de x teniendo a infinito debe ser igual a

30 Reemplazamos en la función para obtener el dominio. El denominador no debe ser igual a, determinamos en qué casos sucede eso. Por lo tanto: 4) Sea, y. Calcular. Primero debemos obtener : ( ) Para que una función tenga inversa debe ser inyectiva, esto significa que para cada valor del dominio existe un único valor en la imagen (para cada valor de existe un único valor de ) 30

31 Para calcular la inversa invertimos la posición de las variables e dentro de la función. Por lo tanto: 31

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