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1 CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse demasiado con preguntas como qué es un cuerpo ya que normalmente trabajaremos con o. Sea un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por Diremos que es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: 1) Existe una ley interna en que llamaremos suma y que denotaremos originalmente por +, respecto de la cual se verifican las siguientes propiedades: a) se tiene que b) se tiene que c) se tiene que d) existe un elemento de que denotaremos por 0 (elemento neutro) tal que e) existe un elemento de que denotaremos por (elemento opuesto) tal que. 2) Existe una ley de composición externa sobre que denominaremos producto y a la que denotaremos (también originalmente) por a) se tiene que b) se tiene que c) se tiene que d) se tiene que 1 respecto de la cual se verifica: Veamos algunos ejemplos: es un espacio vectorial sobre el cuerpo. El conjunto de matrices de orden es un espacio vectorial sobre el cuerpo El conjunto de polinomios de grado menor o igual que por un escarlar es un espacio vectorial sobre el cuerpo con las operaciones suma de polinomios y producto - Observación: no hay que preocuparse demasiado con esta definición, lo importante en los exámenes es saber si algo que nos dan es un subespacio vectorial de un espacio vectorial dado. Esto lo veremos más adelante y es más intuitivo (basta con aplicar teoremas). Pedro_CC 1

2 Propiedades Dado un espacio vectorial se verifican las siguientes propiedades: a) se tiene que 0 b) se tiene que c) si se tiene que entonces necesariamente o d) se tiene que Sistemas de vectores Denominaremos sistema de vectores a un conjunto de vectores que supondremos finito: Un ejemplo de sistema de vectores en es Combinación lineal Sea un vector de. Diremos que es combinación lineal de los vectores de si existen vectores y escalares tales que: Sistemas libres y ligados. Un sistema es libre si los vectores del mismo son linealmente independientes, es decir, si los únicos que verifican que son. Si un sistema no es libre decimos que es ligado. Ejemplo: estudiar si el sistema es libre o ligado Propiedades de los sistemas libres y ligados. a) con se tiene que es libre. b) Si, entonces es ligado. c) Si un sistema es libre entonces cualquier sistema es libre. d) Si un sistema es ligado entonces cualquier sistema es ligado. e) Si un sistema es ligado entonces al menos uno de los vectores del sistema es combinación lineal de los demás. Pedro_CC 2

3 f) Si un sistema es libre y el sistema es ligado entonces es combinación lineal de los vectores de Definición Se denomina al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de. Ejemplo: si entonces Sistemas equivalentes. Dos sistemas y son equivalentes si. Para obtener sistemas equivalentes podemos realizar las siguientes operaciones: a) Añadir al sistema un vector que sea combinación lineal de los vectores del sistema. b) Cambiar el orden de los vectores del sistema c) Multiplicar un vector por un escalar d) Sumar a un vector una combinación lineal del resto de vectores del sistema. Con estas propiedades podemos triangular un sistema, lo cual es particularmente importante al trabajar con sistemas de ecuaciones. - Ejemplo: dado el sistema, estudiar si es libre o ligado Subespacios vectoriales Definición Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo y sea un subconjunto de que tenga estructura de espacio vectorial. Entonces, diremos que es un subespacio vectorial de. En la práctica, lo que se usa para ver si algo que nos dan es un subespacio vectorial es el apartado siguiente: Teorema de caracterización de subespacios vectoriales. La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto de sea un subespacio vectorial es que: se tiene que En realidad, es suficiente con ver que y que. Ambas formas son igualmente válidas para ver que algo es subespacio vectorial. En concreto, de aquí se deduce que el vector nulo está en cualquier subespacio vectorial de. Pedro_CC 3

4 Otra forma de ver que es un subespacio vectorial es calcular el sistema de vectores libre que verifica puesto que dado un sistema de vectores siempre se verifica que es subespacio vectorial. Para ver que un que nos dan no es subespacio vectorial lo primero que se mira es si. Si esto no se cumple entonces no es un subespacio vectorial ya que pertenece a todo subespacio vectorial. Si a pesar de todo tenemos se suelen buscar dos vectores tales que alguna combinación lineal de ellos no pertenezca a lo que implicaría que no es subespacio vectorial por el teorema de caracterización de subespacios vectoriales. - Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de es un subespacio vectorial: Es inmediato ver que el cero está contenido en, por lo que parece que es un subespacio con vectorial (además las ecuaciones que aparecen en la definición de son lineales). Podemos usar el teorema de caracterización de subespacios vectoriales para ver que, efectivamente, es un subespacio vectorial (se aconseja hacerlo) aunque es más sencillo ver que: que claramente es de la forma y por tanto esto prueba que es subespacio vectorial. - Ejemplo: estudiar si el siguiente sistema de es un subespacio vectorial: Es inmediato ver que el cero está contenido en. Sin embargo, en este caso la ecuación que aparece en la definición de no es lineal lo que lleva a pensar que no es subespacio vectorial. En efecto, si tomamos y tenemos que ambos vectores pertenecen a y sin embargo por lo que se deduce del teorema de caracterización de subespacios vectoriales que no puede ser un subespacio vectorial Sistema de generadores Diremos que un sistema es un sistema de generadores de si. Ver que un sistema es un sistema de generadores para un subespacio equivale a ver que todo vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de Base de un espacio vectorial. Una base de un espacio vectorial es todo sistema libre de generadores de. Por ejemplo, la base canónica de viene dada por Todo espacio vectorial admite, al menos, una base. Pedro_CC 4

5 Si un espacio vectorial admite un número finito de generadores se dice que es finito o finitamente generado. Veamos algunos ejemplos: Una base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que ( ) es: Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 ( ) es: Una base del espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden 2 ( ) es: Teorema En un espacio vectorial finito todas las bases son finitas y tienen el mismo número de elementos Dimensión Al número de elementos de una base de un espacio vectorial se le denomina dimensión del espacio y se denota por. Algunos ejemplos son: siendo el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a, el espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden y el espacio vectorial de las matrices cuadradas antisimétricas de orden. Se aconseja intentar demostrar las dos últimas igualdades Coordenadas de un vector en una base. Las coordenadas de un vector dependen de la base. Un vector tiene tantas coordenadas como el número de elementos de una base. Pedro_CC 5

6 Diremos que son las coordenadas de si respecto a la base si se verifica - Ejemplo: respecto de la base el vector tiene como coordenadas (1,2,0) Rango de un sistema El rango de un sistema es la dimensión de, pues todos los vectores de son combinación lineal de los vectores de y supondremos que es libre Ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio. Las ecuaciones paramétricas e implícitas de un subespacio vectorial son la relación (paramétrica e implícita) que deben verificar las coordenadas de un vector para pertenecer a un subespacio. Si tenemos un subespacio vectorial se verifica que: número de ecuaciones implícitas de independientes. - Ejemplo: consideremos el subespacio vectorial en. Respecto de la base de podemos poner por lo que unas ecuaciones paramétricas vendrán dadas por. Si despejamos el parámetro obtenemos que las ecuaciones implícitas de son. Nótese que si consideramos como subespacio vectorial de las ecuaciones paramétricas e implícitas son diferentes. - Ejemplo: vamos a obtener unas ecuaciones paramétricas e implícitas respecto de la base canónica de para el subespacio vectorial. Sean las coordenadas de un elemento de respecto de la base canónica. Teniendo en cuenta la definición de se debe verificar que: por lo que las ecuaciones paramétricas en dicha base serán y como ya tenemos despejados los parámetros en las ecuaciones de se sigue que las ecuaciones implícitas de en la base canónica serán { } Para encontrar unas ecuaciones paramétricas teniendo las implícitas es suficiente con resolver el sistema (normalmente compatible determinado), y las variables que pasan a la columna de términos independientes son los parámetros. Ejemplo: encontrar las ecuaciones paramétricas del subespacio: Pedro_CC 6

7 Sustituyendo tenemos que los elementos de serán de la forma, o lo que es lo mismo: por lo que las ecuaciones paramétricas que buscamos vendrán dadas por: Para encontrar unas ecuaciones implícitas a partir de las paramétricas se resuelve el sistema y se sustituyen las coordenadas de las ecuaciones sin usar. Ejemplo: calcular las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial cuyas ecuaciones paramétricas son Despejando en las dos últimas ecuaciones resulta y sustituyendo en las dos primeras se obtienen las ecuaciones implícitas. Nótese que en este caso resulta que las tres últimas ecuaciones paramétricas son linealmente dependientes (podemos obtener la segunda ecuación multiplicando por dos la segunda y restándole la tercera) y por eso obtenemos dos ecuaciones implícitas. Si todas las ecuaciones fueran linealmente independientes despejaríamos los parámetros de tres de ellas y los sustituiríamos en la otra obteniendo una única ecuación paramétrica Intersección de subespacios vectoriales Si y son dos subespacios vectoriales se define su intersección como y se denota por. siempre es subespacio vectorial si lo son y. Si o no son subespacios vectoriales no podemos afirmar a priori que no sea subespacio vectorial, ya que podría serlo. La forma más sencilla de calcular la intersección entre dos subespacios vectoriales es sustituir las ecuaciones paramétricas de uno en las ecuaciones implícitas del otro y calcular las relaciones que deben verificar los parámetros. También se puede calcular la intersección resolviendo el sistema de ecuaciones que verifican las ecuaciones implícitas de ambos subespacios vectoriales. -Ejemplo: calcular la intersección de y. Unas ecuaciones implícitas de son y unas ecuaciones paramétricas de son. Sustituyendo las paramétricas de en las implícitas de obtenemos y por Pedro_CC 7

8 lo que sustituyendo la primera ecuación en las paramétricas de (la segunda ecuación no nos dice nada) obtenemos que por lo que la intersección tiene dimensión uno Suma de subespacios vectoriales. Si y son dos subespacios vectoriales se define su suma como: con y se denota por es un subespacio vectorial formado por los vectores que son suma de vectores de. El subespacio está formado por la unión de un sistema de generadores de y otro de. Si y verifican entonces su suma se denomina suma directa y se denota por. Si además se verifica que se dice que y son complementarios o suplementarios. -Ejemplo: Ejemplo: calcular la suma de y. Un sistema de generadores de será. Sin embargo, el cuarto vector es combinación lineal de los otros tres (comprobarlo!) por lo que será y la suma tiene dimensión Teorema Si un espacio vectorial es suma directa de y entonces todo vector de se puede descomponer de forma única como suma de una vector de y otro Teorema (fórmula de Grassmann) Si y son dos subespacios vectoriales se verifica que: y Subespacios vectoriales y matrices Rango de una matriz. Se denomina rango de una matriz al número de filas o columnas linealmente independientes de dicha matriz. Dadas dos matrices A y B se verifica que: Matrices de cambio de base. Pedro_CC 8

9 Sea un espacio vectorial de dimensión n y, dos bases tales que tiene como coordenadas respecto de y respecto de. Entonces sí: Las ecuaciones de cambio de base (de a ) serán: Es decir, la i-sima columna de la matriz viene dada por las coordenadas del i-simo elemento de la base respecto de la base Para obtener el cambio de coordenadas inverso (de a ) podemos calcular directamente con, o también podemos calcular la matriz cuya i- sima columna viene dada por las coordenadas del i-simo elemento de la base respecto de la base (que es ) En la práctica basta con recordar que el cambio de base de a viene dado poniendo los elementos de respecto de los de. La regla mnemotécnica sería algo así como: cambio de a elementos de en -Ejemplo: consideremos las bases y de. Entonces la matriz de cambio de base de a será: y la matriz de cambio de base de a será. -Resumen capítulo 2 Este tema es el más importante del examen intercuatrimestral y, junto con el tema de la forma canónica de Jordan, el más importante del primer cuatrimestre. En el examen intercuatrimestral podéis esperar un par de problemas de unos 3.5 puntos cada uno sobre subespacios vectoriales de polinomios o matrices y quizás alguna cuestión, y en el examen cuatrimestral suele caer un problema de 2 o 3 puntos. Generalmente los enunciados de estos problemas suelen dar varios subespacios vectoriales y piden calcular sumas, intersecciones, ecuaciones paramétricas e implícitas, valores de ciertos Pedro_CC 9

10 parámetros que hacen que algo sea un subespacio vectorial, por lo que se aconseja encarecidamente tener muy claro todo el apartado 2.2. Veamos algunos problemas de otros años, que son del estilo de los que podéis esperar: PROBLEMA 1 (intercuatrimestral octubre 2011, 4 puntos) En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 se considera el subconjunto y los subespacios vectoriales Se pide: a) Demostrar que es un subespacio vectorial de y calcular una base del mismo. b) Calcular unas ecuaciones implícitas de en la base canónica de. c) Son y suplementarios en? Razonar la respuesta. d) Es un subespacio vectorial de? Razonar la respuesta. En caso afirmativo calcular unas ecuaciones implícitas de en la base de calculada en el primer apartado. a) Si es una matriz simétrica que verifica entonces la matriz se puede poner en la forma lo que implica que es subespacio vectorial y que es una base del mismo. b) Las matrices de serán de la forma y las matrices de serán de la forma por lo que las matrices de serán de la forma y en la base canónica de unas ecuaciones implícitas de son: c) Del apartado anterior se sigue que (el espacio tiene dimensión y como tiene dos ecuaciones implícitas su dimensión es ) y del apartado a) se deduce que (pues la base tiene dos matrices). Por la fórmula de Grassmann tenemos que: Pedro_CC 10

11 como la suma de las dimensiones de y cuadra (notad que si la suma de estas dimensiones fuese distinta de la dimensión de ya sabríamos que no pueden ser suplementarios) la condición necesaria y suficiente para que dichos espacios sean suplementarios es que su intersección sea nula. Sin embargo, es sencillo ver que la matriz pertenece a ambos subespacios por lo que su intersección no es nula y no pueden ser suplementarios (si no vemos esto, lo más fácil sería calcular las ecuaciones paramétricas de en la base y sustituir dichas paramétricas en las implícitas de del apartado b) para calcular la intersección de ambos subespacios. Os aconsejo que lo hagáis y comprobéis que la intersección es el subespacio ). d) Tenemos que y por lo que y es un subespacio vectorial de. En la base la ecuación implícita de es. PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2009, 3.5 puntos) En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales se consideran los siguientes subespacios: Se pide: a) Calcular una base y una ecuaciones implícitas en le base canónica de de y. b) Calcular unas ecuaciones paramétricas y una base de. Pertenece el polinomio a? Y a? En caso afirmativo calcular sus coordenadas en las bases de y calculadas anteriormente. c) Encontrar una base de un subespacio suplementario de en y descomponer el polinomio como suma de un polinomio de y otro de. d) Puede ser un subespacio vectorial de? En caso afirmativo calcular unas ecuaciones implícitas de en la base de calculada anteriormente. a) Si tenemos un polinomio de grado menor o igual que tres entonces su derivada será de grado menor o igual que dos, por lo que en realidad podemos definir sin pérdida de generalidad como: Pedro_CC 11

12 y si tenemos integrando se sigue que por lo que una base de es y si consideramos la base canónica unas ecuaciones implícitas de en son siendo coordenadas en. Por otra parte, si un polinomio verifica la única posibilidad es que dicho polinomio sea en realidad una constante. Si no, tendríamos que el grado de es estrictamente mayor que el grado de lo que implicaría que la igualdad no se puede dar. Esto implica que una base de es y unas ecuaciones implícitas de en son siendo coordenadas en. b) Teniendo en cuenta que y es claro que la intersección de ambos subespacios es el subespacio, es decir,. Esto implica que una base de la intersección es y unas ecuaciones paramétricas de en son { } siendo coordenadas en. Teniendo en cuenta lo anterior es claro que el polinomio pertenece tanto a como a y sus coordenadas en son mientras que su coordenada en es (1). c) Como podemos tomar (si no veis claro que son suplementarios comprobar que la intersección es nula y la suma de las dimensiones de ambos subespacios es la dimensión de ). Tenemos que por lo que lo hemos descompuesto como la suma de un elemento de y otro elemento de (. d) Teniendo en cuenta que y es claro que por lo que es un subespacio vectorial de. Unas ecuaciones implícitas de en son siendo coordenadas en. PROBLEMA 1 (intercuatrimestral noviembre 2010, 3.5 puntos) En el espacio vectorial de los polinomios impares de grado menor o igual que 5, es decir, se consideran los subespacios siguientes: Pedro_CC 12

13 Se pide: a) Está contenido en? Razonar la respuesta. b) Calcular la dimensión de y una base de. c) Son y disjuntos? Razonar la respuesta. d) Son y suplementarios en? Razonar la respuesta. a) Si entonces, por lo que dicho polinomio también pertenece a por verificar. Esto implica que está contenido en. b) Como se tiene que y, por lo que basta con calcular la dimensión de y una base de. La condición es una ecuación implícita (podemos poner y dicha condición nos dará una ecuación con los coeficientes ) por lo que la dimensión de será la dimensión de los polinomios impares de menos uno, es decir: Por otra parte, si un polinomio impar de grado menor o igual que entonces dicho polinomio también verificará que que verifica por ser impar. Además, toda función impar se anula en el origen (esto deberíais saberlo de cálculo) por lo que se verificará que. Esto implica que es de la forma: por lo que una base de será - Observación: la forma estándar de calcular la base de es tomar el polinomio y obtener dos ecuaciones implícitas de haciendo y. De dichas ecuaciones implícitas se pasa a las paramétricas y de ahí es inmediato obtener una base. Así es como lo tenéis hecho en moodle. Esta solución es más rápida, pero hay que haber hecho unos cuantos problemas de examen para que se os ocurra. Podéis comprobar multiplicando la expresión que, como es de esperar, ambas soluciones dan el mismo resultado. c) Para que y sean disjuntos es necesario y suficiente con que ninguno de los polinomios pertenezca a. Sin embargo, es sencillo comprobar que el polinomio verifica por lo que se tiene que y ambos espacios no son disjuntos. Pedro_CC 13

14 d) Tenemos que y es fácil ver que puesto que la condición es una ecuación implícita por lo que la dimensión de será la dimensión de los polinomios impares de menos uno, es decir: Por tanto, las dimensiones de ambos subespacios cuadran en el sentido de que su suma es igual a la suma del espacio en el que estamos trabajando y podrían ser suplementarios. En este caso, los subespacios y serán suplementarios si y solo si su intersección es nula. Un polinomio de es de la forma. Veamos si dicho polinomio verifica : por tanto (la igualdad se tendría que dar para todo y solo se da para ) por lo que la intersección de ambos subespacios es nula y son suplementarios. Pedro_CC 14

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