ESPACIOS VECTORIALES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ESPACIOS VECTORIALES"

Transcripción

1 MATEMÁTICA I - - Capítulo ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío, cuyos elementos - llamados vectores se pueden sumar entre sí, y multiplicar por escalares (números reales) de tal manera que la suma de dos elementos de V también pertenece a V, el producto de un escalar por un elemento de V también pertenece a V, y se cumplen las siguientes propiedades: EV. Asociatividad Dados u, v, w V, (u + v) + w = u + ( v + w ) EV. Existencia de neutro El elemento 0 (vector nulo) tiene la propiedad 0 + v = v + 0 para todos vector v V EV. Todo vector tiene su opuesto Para todo v V, - v V tiene la propiedad: v + (-v)= v v EV. Conmutatividad Para todo par de vectores u, v V, u + v = v + u EV5. Si c es un escalar y u, v V, entonces c.(u+v) = c.u + c.v EV6. Si a, b son escalares y v V, entonces (a+b).v = a.v + b.v EV7. Si a, b son escalares y v V, entonces (a.b).v= a.(b.v) EV8. Para todo u V,.u = u La existencia del opuesto permite definir la resta de vectores: u + ( -v ) = u - v m n R Ejemplo. Dados los naturales fijos m y n, el conjunto de las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales con las operaciones suma y producto por escalares (números reales) es un espacio vectorial porque tiene todas las propiedades EV a EV8 (citadas en el Capítulo Matrices).

2 n R de las n-uplas x = Ejemplo. Dado el natural fijo n, el conjunto ( x, x, x,..., x n) de números reales, con la suma definida de la siguiente manera: Dadas dos n-uplas x = ( x, x, x,..., x n) y u = ( u, u, u,..., u n ), x + u = ( x + u, x + u, x + u,..., xn + un), y el producto por un escalar c definido así: c. u = (c. u, c. u, c. u,..., c. u n ), también cumple todas las propiedades EV a EV8 y por lo tanto es un espacio vectorial. En particular para n= y n= los elementos de los espacios vectoriales respectivos R, R (pares y ternas de números reales), se pueden representar gráficamente como segmentos orientados con su extremo inicial en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas (con dos ejes x e y en R, tres ejes x, y, z en R ) y su extremo final en el punto cuyas coordenadas son las componentes de los vectores correspondientes. Existen otros espacios vectoriales, algunos de ellos son: el conjunto de todos los polinomios, el de los polinomios de grado menor o igual que un n fijo, el conjunto de partes de un conjunto, el de funciones reales, fuera del contenido requerido para esta materia. Si se considera un subconjunto U de un espacio vectorial V, éste será un subespacio de V si U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir si U tiene las propiedades dadas en.. con las mismas operaciones definidas en V. No cualquier subconjunto de V es un subespacio de V. Para que lo sea el vector nulo debe estar en él y las operaciones definidas en V deben ser cerradas en ese subconjunto.... Definición. Un conjunto S incluido en un espacio vectorial V es un subespacio (o subespacio vectorial) de V si satisface las siguientes condiciones: () El vector nulo 0 S () Si v y w S entonces v + w también pertenece a S () Si c es cualquier escalar y v cualquier vector de S, entonces c.v S Ejemplo. Dado el conjunto U = { A R ; a = a a + a Probar que U es un subespacio del espacio vectorial R. Hay que probar que U cumple las tres propiedades de la definición... () El vector nulo en R 0 0 es el vector (o la matriz) O = que efectivamente cumple 0 0 las dos condiciones que definen al conjunto U. Por lo tanto O U y queda probada la propiedad () de subespacio: El vector nulo del espacio grande R donde está incluido U también es elemento de U () Sean A, B U, hay que probar que A + B U. A U a = a a + a B U b = b b + b

3 a + b + b A + B = a b a b + + a a a + b = a b porque A, B U, factorenado el queda ( + a b + b ) + ( a + b )= (a a ) + ( b + b ) =( a + b ). luego A + B U. () Si c es cualquier escalar y A U, hay que probar que c. A U y ( ) c. a c. a c. A = c. a c. a Como a =a entonces c. a =.c. a c. a + c. a = c. a + a = c.0=0, entonces c. A U. Quedó probado que U cumple las tres propiedades de.., luego U es un subespacio de R. Ejemplo. Probar que el conjunto S = {( x, x, x, x ) ; x x =0 x =5 x es un subespacio del espacio vectorial. () El vector nulo 0 = (0, 0, 0, 0) de R R cumple las condiciones que definen al conjunto S. () Sean u= ( u, u, u, u) y v=( v, v, v, v ) dos vectores pertenecientes a S, hay que probar que el vector u + v S. u u=0 u=5u porque u S y v v =0 v =5 v porque v S u + v=( u + v, u + v, u + v, u + v ) ( u + v ) ( u + v) convenientemente)= u u + v v = (distribuyendo el y agrupando De u=5u, v=5v sumando miembro a miembro se obtiene que u + v=5 u+5v = 5( u+ v) O sea que u + v cumple las condiciones requeridas para pertenecer a S. () Si c es cualquier escalar y v S, hay que probar que c. v S. c. v = (c. v, c. v, c. v, c. v ) c. v c. v = c.( v v ) = c.0 (porque como v S vale que v v ) y de v=5v se obtiene c. v =5.c. v. Luego c. v S Quedaron probadas las tres propiedades, entonces S es un subespacio de R.

4 Ejemplo. Determinar si T = ( x, x, x ) ; x. x es o no un subespacio de R, justificando la respuesta. { () El vector nulo de R es (0,0,0) y 0.0=0, luego pertenece a T. () u = (, 5,0) T porque.0=0, y v = (0,, 9) T porque 0.9=0, sin embargo en la suma u + v = (, -, 9) resulta.9 0. Tomando dos vectores de T su suma no está en T, entonces T no es un subespacio de Ejemplo. El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones y n n incógnitas, es un subespacio del espacio vectorial R (Ejercicio5). Cumple las tres propiedades de subespacio. Si tal sistema es determinado, el subespacio es el conjunto unitario {(0,0,...,0) el subespacio nulo, que es el menor subespacio posible. R... Combinación lineal. Vectores generadores... Definición. Un vector v de un espacio vectorial V es una combinación lineal de los vectores v, v,..., v V si existen escalares c,c,...,c no necesariamente distintos tales que k k v = c. v + c. v ck. vk = c j. v j j= k Ejemplo. Dadas las matrices: A, B, D = = = del espacio vectorial R, la matriz D es una combinación lineal de las matrices A y B porque se puede escribir D = 5. A +. B. Ejemplo. En el espacio R :. ( 8, 8 ) 9. (, - ) = (-9, ), luego ( 9,) es una combinación lineal de los vectores (8, 8) y (,-) ; y (, -) es una combinación lineal de los vectores (, -), (5, ) y (, ) pues (, ) =.(, ) +.(5, ) 6.(, ). Ejemplo. En el espacio vectorial R sean v = (, 8,, ), u = (,,5,), w = (,,,0) y z = (,,8, ). El vector v es combinación lineal de los otros, se puede escribir v = u w z. También es posible escribir v = u w z. Cuando un vector es combinación lineal de otros, ésta no es necesariamente única. Dado un conjunto de vectores no siempre uno de ellos es una combinación lineal de los otros.

5 Ejemplo. Se quiere saber si el vector (5,6) es combinación lineal de (,) y (,6). Se plantea la igualdad (5,6) = c.(, ) + c.(,6) = (c + c, c + 6c ), ésta conduce al sistema lineal c + c = 5 que resulta incompatible, por lo tanto el vector (5,6) no es c + 6c = 6 combinación lineal de (,) y (,6). En cambio se puede escribir (, 6).(5, 6) +.(, ).... Definición. Si v, v,..., v m son vectores de un espacio vectorial V, el conjunto S de todas las combinaciones lineales de esos vectores, m = ci. vi ; ci es un subespacio de V i= S = u R llamado subespacio generado por los vectores propiedades citadas en... y que S es el menor de todos los subespacios que contienen a los vectores v, v,..., v m ). A los vectores v, v,..., v m se los llama generadores de S. Se suele indicar al subespacio S = v, v,..., v m. v, v,..., v m. (Se puede probar que S cumple las v, v,..., v m = V, se v, v,..., v m generan V o que constituyen un conjunto generador de V. En ese caso v, v,..., v m. En caso que un conjunto de vectores genere todo el espacio V, es decir dice que todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de los Ejemplo. En R consideramos el siguiente subespacio generado S S= (,0,0),(0,,0) = u=c (,0,0) + c (0,,0); c, c R = (c,c,0); c, c R { Ejemplo. Los vectores (, 0) y (0, ) generan el espacio R. (,0),(0,) = c (,0) + c (0,); c, c R = c (,0) + c (0,); c, c R = { { R R { = (c,c ); c, c que es todo el espacio. {.. Dependencia e Independencia lineal de vectores.... k Un conjunto de vectores v, v,..., v V es linealmente dependiente si se verifica una de las dos condiciones siguientes (I) o (II) que son equivalentes entre sí: (I) Alguno de los vectores v, v,..., v k es una combinación lineal de los demás. (II) Existen escalares c,c,...,c k que no son todos nulos tales que c. v + c. v c. v = c. v k k j j j= k 5

6 Ejemplos: El vector (, 6) es combinación lineal del vector (, ) porque (, 6)=.(, ); en forma equivalente:.(, ) + (-).(, 6) = (0, 0), entonces los vectores (, ) y (, 6) son linealmente dependientes. En cada uno de los Ejemplos,, y de.. los vectores dados son linealmente dependientes.... Definición. Los vectores v, v,..., v k de un espacio vectorial V son linealmente independientes si la relación c. v + c. v ck. v = c j. v j se cumple sólo si c, c,..., ck. k k j= c k k Observación: Si los escalares c j, j =,..., k, son todos ceros, la relación c. v +. v c. v se cumple siempre. La Definición.. dice que los vectores son linealmente independientes si se cumple únicamente en ese caso. Si la relación c. v + c. v ck. vk =0 se cumple también cuando algún escalar es distinto de 0, de acuerdo con.., los vectores son linealmente dependientes. En los ejemplos que siguen se muestran dos métodos distintos para establecer si dado un conjunto de vectores, estos son linealmente dependientes o independientes. Ejemplo. Determinar si los vectores u = (,.0), v = (,0,), w = (0,,) de linealmente independientes. R, son o no c Sea c. u+. v + c. w = (0,0,0) = ( c c, c + c, c + c) = (0,0,0) Se obtiene el siguiente sistema homogéneo : c c c + c cuya única solución es la trivial c = c = c. c + c Conclusión: los tres vectores dados son linealmente independientes. Otro método equivalente es el siguiente: Formar la matriz (sea cuadrada o rectangular) cuyas filas son los vectores dados, llevarla a la forma escalonada mediante operaciones elementales. Si la escalonada no tiene filas nulas, entonces los vectores son linealmente independientes. Si se obtiene una fila nula los vectores son dependientes. Ejemplo. Determinar si los vectores u = (,.), v = (,, ), w = (7,,) de linealmente independientes. R, son o no F F 0 5 F F 0 5 F 7F Como al escalonar se obtuvo una fila nula los tres vectores son dependientes. 6

7 .. Base y dimensión.... Definición. Sean v, v,..., v n vectores no nulos de un espacio vectorial V. El conjunto { v, v,..., v n es una base de V, y a la vez se dice que V tiene dimensión n, si cumple las siguientes condiciones: () v, v,..., v n son linealmente independientes. () v, v,..., v n generan V. { { { Ejemplo. (,0),(0,), (,0,0),(0,,0),(0,0,), (,0,0,0),(0,,0,0),(0,0,,0),(0,0,0,) son bases (llamadas canónicas) de, respectivamente, los espacios R, R y R. Las dimensiones de estos espacios son: dim R =, dim R = y dim R = ,,, es la base canónica del espacio R y dim R =. Ejemplo. Probar que B= {(,0),(,) es una base de R. 0 0 F F entonces los vectores son independientes, se cumple la condición () de la 0 definición de base. x, x un vector cualquiera de R, hay que ver que se Para ver que se cumple la condición (): Sea ( ) puede escribir como combinación lineal de (,0) y (,). x, x = c (,0) + c (,) = c + c, c entonces x = c + c y x = c, luego c = x c = x x, ( ) ( ) y ( x, x ) ( x x ).(,0) x.(,) = +. (por ejemplo el vector (5,)= (,0)+(,) ) B= {(,0),(,) es una base de R.... Propiedades Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces: La base de V no es única. Todas las bases de V tienen exactamente n elementos. Cualquier subconjunto de V que contenga n+ vectores es linealmente dependiente. Si un conjunto de V tiene n vectores linealmente independientes, entonces es una base de V. Por las propiedades mencionadas se puede afirmar que: ) los vectores u = (,.0), v = (, 0, ), w = (0,,) de R, que son independientes según lo probado en el Ejemplo de.., constituyen una base de R porque su dimensión es. ) los vectores u = (,.0), v = (, 0, ), w = (0,,) y z = (0, 0,5) de R, son linealmente dependientes. 7

8 ) {(,0),(,) es una base de R sólo con probar que son independientes pues ) los vectores u = (,.), v = (,, ), w = (7,,) no forman base de Ejemplo de.. se probó que son linealmente dependientes. dim R =. R pues en el... Un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión n es en sí mismo un espacio vectorial contenido en V, por consiguiente S tiene base y dim S n. Se mostrará a continuación como hallar una base y la dimensión, considerando los subespacios de los Ejemplos y de... Ejemplo. Encontrar una base y la dimensión de U = { A R ; a = a a + a subespacio de R. Por las condiciones dadas a = a y a + a (esta equivale a a = a ), es posible escribir a a a a 0 0 = = a. + a. a, a a a a a 0 0 R (*) 0 0 El conjunto B=, genera U y las matrices son linealmente independientes, 0 0 luego B es una base de U y la dimu=. Con (*) quedó probado que B genera U, la independencia lineal se muestra de inmediato como k k 0 0 sigue: k. + k. = = k = k k k 0 0. Ejemplo. Encontrar una base y la dimensión de S = {( x, x, x, x ) ; x x =0 x =5 x subespacio de R.. De las condiciones x x=0 y x =5x que definen a S, se puede escribir: ( x, x, x, x ) = ( x, x, 5 x, x) = x.(,,0,0) + x.(0,0,5,), x, x R. Como x, x son libres (varían en todo R ) todo vector de S está generado por los vectores (,,0,0) y (0,0,5,), y es inmediato probar que son independientes: c. (,,0,0) + c.(0,0,5,) = (0,0,0,0) c. (,,0,0) + c.(0,0,5,) = (c,c,5c,c ) = (0,0,0,0) c = c (,,0,0) (0,0,5,) es una base del subespacio S y la dims=. Luego B= {,. EJERCICIOS ) Establecer si (,,, ) es o no una combinación lineal de los vectores (0,,,), (-,,,0). Esos vectores son dependientes o independientes? Justificar la respuesta 8

9 ) Determinar si los siguientes vectores de R son linealmente independientes o dependientes: a) (,, ) (, 6, ) (0, 0, ) b) (,, 0) (0, 6, ) (, 8, 0) En algún caso puede afirmar que formen una base de R? Justificar. ) Determinar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes. a) u = (-, 5), v = (, 7) b) u = (, 5, -), v = (-, 0, ), w = (,, ). ).) Establecer si los siguientes conjuntos son o no subespacios del respectivo espacio vectorial indicado justificando la respuesta (probar las propiedades de subespacio en caso que sea, o bien dar un contraejemplo que muestre la propiedad que falla en caso que no lo sea)..)en los casos que sea subespacio encontrar una base del mismo. a) R= {( x, x ) R ; x = x b) W= {( x, x, x ) R ; x x c) U= {( x, x ) R ; x. x = 9 d) V= {( x, x ) R ; x = 5 e) {( x, x ) R ;. x. x f) S= {( x, x, x, x, x 5 ) R 5 ; x = x x, x = x g) T= {( x, x, x, x, x 5 ) R 5 ; x5 = x +7 x, x + x h) U= {( x, x, x, x ) R ; x = x + x, x = x + 5 i) V= {( x, x, x, x ) R ; x + x + x ; x = 6. x j) W= {( x, x, x ) R ; x + x + x k) Y = {( x, x, x ) R ; x + 8x l) Z= {( x, x, x ) R ; x + x ; x =. x m) S = {( x, x, x ) R ; x. x n) T = {( x, x, x ) R ; x ; x + x = 5 a a x o) M= R ; a a, a + a a a a a x p) N= R ; a + a + a, a = 5a a a a a a x q) O= R ; a + a a, a =. a a a a a a x r) P= a a R ; a + a 9a, a = 6a a a a a x s) Q= R ; a. a a a 9

10 5) Probar que el conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo A. x de m ecuaciones y n n incógnitas, es un subespacio del espacio vectorial R. (Ver Sistemas lineales homogéneos en el capítulo ). BIBLIOGRAFÍA - Serge Lang, Introducción al Álgebra Lineal, Ed Addison- Wesley Íberoamericana. - Ángel Rafael Larrotonda, Álgebra Lineal y Geometría, Ed Universitaria de Buenos Aires (EUDEBA). - Howard Anton, Introducción al Álgebra Lineal, Ed Limusa, Grupo Noriega Editores, Argentina, Venezuela, México, Colombia, España. - Juan De Burgos, Álgebra Lineal, Ed McGraw-Hill Interamericana-española. 5- Seymour Lipschutz, Álgebra Lineal, Teoría y Problemas Resueltos, Serie de Compendios Schawn, Ed McGraw Hill de México. 6- Keneth Hoffman, Ray Kunze, Álgebra Lineal, Ed Prentice-Hall Internacional. 0

Tema 2: Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.

Más detalles

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21

Espacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

Introducción a los espacios vectoriales

Introducción a los espacios vectoriales 1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial

Más detalles

Espacios vectoriales

Espacios vectoriales Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación

Más detalles

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero

CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Problemas de Espacios Vectoriales

Problemas de Espacios Vectoriales Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Algebra Lineal y Geometría.

Algebra Lineal y Geometría. Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 6: Subespacios Vectoriales. Algebra Lineal y Geometría Esp. Liliana Eva Mata 1 Contenidos. Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios: Intersección, unión,

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

Espacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:

un conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades: CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse

Más detalles

como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:

como el número real que resulta del producto matricial y se nota por: Espacio euclídeo 2 2. ESPACIO EUCLÍDEO 2.. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:,

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO

TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo

Más detalles

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal.

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal. Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx

Más detalles

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: 4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X,

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES

MATEMÁTICASII Curso académico BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES MATEMÁTICASII Curso académico 2015-2016 BLOQUE GEOMETRÍA. TEMA 1: VECTORES 1.1 VECTORES DEL ESPACIO. VECTORES LIBRES DEL ESPACIO Sean y dos puntos del espacio. Llamaremos vector (fijo) a un segmento orientado

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 5 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se

Más detalles

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios

Espacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios , Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA U.N.R. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL Código L2.07.1 PLAN DE ESTUDIOS: 2002 CARRERA: Licenciatura en Matemática DEPARTAMENTO:

Más detalles

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial

Base y Dimensión de un Espacio Vectorial Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un

Más detalles

Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017

Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Algebra Lineal Tarea No 9: Espacios vectoriales Maestra Dora Elia Cienfuegos, Enero-Mayo 2017 Grupo: Matrícula: Nombre: Tipo:-1 1. Suponga que V = R 2 y que se definen las operaciones: y Si Calcule: 1.

Más detalles

Tema 11.- Autovalores y Autovectores.

Tema 11.- Autovalores y Autovectores. Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica

Más detalles

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO.

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo)

Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo) Construcción de bases en la suma y la intersección de subespacios (ejemplo) Objetivos Aprender a construir bases en S + S y S S, donde S y S están dados como subespacios generados por ciertos vectores

Más detalles

Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos

Capítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos

Más detalles

SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES

SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre un campo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será

Más detalles

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal

Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Clase 8 Matrices Álgebra Lineal Código Escuela de Matemáticas - Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Matrices Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas

Más detalles

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos

Más detalles

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS

LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES

MATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno

Más detalles

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291)

Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) Combinación lineal, Independencia Lineal, y Vectores que generan (Sección 6.3 pág. 291) I. Combinación Lineal Definición: Sean v 1, v 2, v 3,, v n vectores en el espacio vectorial V. Entonces cualquier

Más detalles

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.

Más detalles

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se

Más detalles

PROGRAMA DE EXAMEN. Unidad Nº1: Matrices y Función Determinante

PROGRAMA DE EXAMEN. Unidad Nº1: Matrices y Función Determinante Ministerio de Cultura y Educación Universidad Nacional de San Juan Fac. de Ciencias Exactas Físicas y Naturales Ciclo Lectivo 2016 PROGRAMA DE EXAMEN Cátedra: ALGEBRA LINEAL Carrera: Licenciatura en Geofísica

Más detalles

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con

Más detalles

PAIEP. Complemento Ortogonal

PAIEP. Complemento Ortogonal Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Complemento Ortogonal Veamos ahora una aplicación de los vectores ortogonales a la caracterización de subespacios

Más detalles

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios

MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales. 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Curso 2007-2008. 1 MATEMÁTICAS I TEMA 1: Espacios Vectoriales 1 Definición de espacio vectorial. Subespacios Dados dos conjuntos V y K se llama ley de composición externa

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES 1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal

Más detalles

DISEÑO CURRICULAR ALGEBRA LINEAL

DISEÑO CURRICULAR ALGEBRA LINEAL DISEÑO CURRICULAR ALGEBRA LINEAL FACULTAD (ES) CARRERA (S) Ingeniería Computación y Sistemas CÓDIGO HORAS TEÓRICAS HORAS PRÁCTICAS UNIDADES DE CRÉDITO SEMESTRE 122443 02 02 03 II PRE-REQUISITO ELABORADO

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES 01 de Junio de 2011 ESPACIOS VECTORIALES (Clase 02) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela 1 Puntos a tratar 1. Combinación lineal 2. Subespacio vectorial

Más detalles

TEST DE MATRICES. Dadas A = (-3 4 1/2) y B = (1/3 0-2), cuál es el resultado de multiplicar la matriz A por la traspuesta de B?

TEST DE MATRICES. Dadas A = (-3 4 1/2) y B = (1/3 0-2), cuál es el resultado de multiplicar la matriz A por la traspuesta de B? file://:\mis documentos\u6mattest\u6mattesttodo.htm Página 1 de 7 TEST E MTRIES 1 eterminar la matriz opuesta de la siguiente matriz: 2 Si y son dos matrices de orden 3x2, de qué orden es la matriz resultante

Más detalles

Tema III. Espacios vectoriales

Tema III. Espacios vectoriales Tema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica

Más detalles

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades

Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades Números reales Conceptos básicos Algunas propiedades En álgebra es esencial manejar símbolos con objeto de transformar o reducir expresiones algebraicas y resolver ecuaciones algebraicas. Debido a que

Más detalles

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico

Más detalles

TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES

TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES TEMA 2. ESPACIOS VECTORIALES CÉSAR ROSALES GEOMETRÍA I En este tema comenzaremos el estudio de los objetos que nos interesarán en esta asignatura: los espacios vectoriales. Estos son estructuras básicas

Más detalles

TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA.

TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. TEMA 8. GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8..- El plano. Definimos el plano euclideo como el conjunto de puntos ( x, y) R. Así, cada punto del plano posee dos coordenadas. Para representar puntos del plano utilizaremos

Más detalles

Álgebra y Geometría Analítica I - LF 2016 Práctica 1: Algunos elementos de la Geometría Analítica

Álgebra y Geometría Analítica I - LF 2016 Práctica 1: Algunos elementos de la Geometría Analítica Álgebra y Geometría Analítica I - LF 2016 Práctica 1: Algunos elementos de la Geometría Analítica 1. a) Marcar en un eje los puntos a(1);b( 2) y c(4). b) Hallar los puntos simétricos respecto al origen

Más detalles

Tema 3. Espacios vectoriales

Tema 3. Espacios vectoriales Tema 3. Espacios vectoriales Estructura del tema. Definición y propiedades. Ejemplos. Dependencia e independencia lineal. Conceptos de base y dimensión. Coordenadas Subespacios vectoriales. 0.1. Definición

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales

Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales Problemas de Álgebra Lineal Espacios Vectoriales 1. Estudia cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios de R n para el n que corresponda: i) S 1 = {(x, y, z, t) R 4 x + y + z + t = b} siendo

Más detalles

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales.

Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. Álgebra Lineal V: Subespacios Vectoriales. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamanca.ugto.mx

Más detalles

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).

y cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy). UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES CONCEPTO MATRICES Se llama matriz de orden (dimensión) m n a un conjunto de m n elementos dispuestos en m filas y n columnas Se representa por A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn j=1,2,,n

Más detalles

Álgebra Lineal Ma1010

Álgebra Lineal Ma1010 Álgebra Ma1010 Departamento de Matemáticas ITESM Álgebra - p. 1/31 En este apartado se introduce uno de los conceptos más importantes del curso: el de combinación lineal entre vectores. Se establece la

Más detalles

. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO

. Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario. Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO . Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Rosario Álgebra y Geometría Analítica EL PLANO Autores: Lic. Martha Fascella Ing. Ricardo F. Sagristá 0 Contenido EL PLANO... 3.- Definición del plano

Más detalles

Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas

Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas Ejercicios del Tema 2: Estructuras algebraicas básicas En los ejercicios 1, 2, 8 y 9 se utilizará que si G = {g 1,...,g n } es un conjunto finito y * una operación interna definida en G, podemos utilizar

Más detalles

Tema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto)

Tema 4. Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: Vectores 75 Espacios vectoriales Tema 4 Vectores en el espacio (Productos escalar, vectorial y mixto) Definición de espacio vectorial Un

Más detalles

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES

Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Tema 2 ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Espacio vectorial Definición 1.1 Un espacio vectorial es una terna (V, +, ), donde V es un conjunto no vacío y +, son dos

Más detalles

Espacios vectoriales. Capítulo Espacios vectoriales y subespacios Preliminares

Espacios vectoriales. Capítulo Espacios vectoriales y subespacios Preliminares Capítulo 1 Espacios vectoriales En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo los de vectores en el plano o en el espacio (R 2 y R 3 ), o también el de los polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos

Más detalles

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas

Espacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra

Más detalles

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach

MMAF: Espacios normados y espacios de Banach MMAF: Espacios normados y espacios de Banach Licenciatura en Estadística R. Álvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Curso 2011/2012 Espacios vectoriales Definición Sea V un conjunto de elementos sobre el

Más detalles

1. ESPACIOS VECTORIALES

1. ESPACIOS VECTORIALES 1 1. ESPACIOS VECTORIALES 1.1. ESPACIOS VECTORIALES. SUBESPACIOS VECTORIALES Denición 1. (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial,

Más detalles

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión.

Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Universidad de Jaén Departamento de Matemáticas Ingeniería Técnica en Informática de Gestión. Algebra I I Relación de problemas 3. Espacios vectoriales. 1.-Estudiar si los siguientes conjuntos forman o

Más detalles

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas

Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas real de con Herramientas digitales de auto-aprendizaje para Matemáticas, Grupo de Innovación Didáctica Departamento de Matemáticas Universidad de Extremadura real de con Índice real de con real de con.

Más detalles

Capítulo 8: Vectores

Capítulo 8: Vectores Capítulo 8: Vectores 1. Lección 30. Operaciones con vectores 1.1. Vectores El concepto de vector aparece en Física para describir magnitudes, tales como la fuerza que actúa sobre un punto, en las que no

Más detalles

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.

Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por

Más detalles

MÓDULO 8: VECTORES. Física

MÓDULO 8: VECTORES. Física MÓDULO 8: VECTORES Física Magnitud vectorial. Elementos. Producto de un vector por un escalar. Operaciones vectoriales. Vector unitario. Suma de vectores por el método de componentes rectangulares. UTN

Más detalles

Objetivos formativos de Álgebra

Objetivos formativos de Álgebra Objetivos formativos de Álgebra Para cada uno de los temas el alumno debe ser capaz de hacer lo que se indica en cada bloque. Además de los objetivos que se señalan en cada tema, se considera como objetivo

Más detalles

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1

Matrices. José Vicente Romero Bauset. ETSIT-curso 2009/2010. José Vicente Romero Bauset Tema 1.- Matrices. 1 Matrices José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/2010 José Vicente Romero Bauset Tema 1- Matrices 1 Introducción Por qué estudiar las matrices? Son muchas las situaciones de la vida real en las que

Más detalles

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.

BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21

Más detalles

Álgebra Lineal Ma843

Álgebra Lineal Ma843 Álgebra Lineal Ma843 Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico Departamento de Matemáticas ITESM Principios de Desarrollo Discursivo/Didáctico Álgebra Lineal - p. 1/12 Problema Fundamental El problema

Más detalles

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.

BASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases. BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5

Determinantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5 DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno

Más detalles

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo:

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: 1 MATRICES CONCEPTOS BÁSICOS Definición: Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos. Por ejemplo: es una matriz de 3 x 2 (que se lee 3 por 2 ) pues es un arreglo rectangular de números con

Más detalles

(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales

(L. S. I. P. I.) Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO. Espacios Vectoriales ÁLGEBRA II (L.S.I P.I.) Guía de Trabajos Prácticos Nº ÁLGEBRA II (L. S. I. P. I.) Guíía de Trabajjos Prácttiicos Nºº Espacios Vectoriales.- Dados los vectores u v w r = s = verifique gráficamente: u v

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2.3

ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2.3 ÁLGEBRA LINEAL II Algunas soluciones a la práctica 2. Transformaciones ortogonales (Curso 2010 2011) 1. Se considera el espacio vectorial euclídeo IR referido a una base ortonormal. Obtener la expresión

Más detalles

Unidad 5: Geometría Analítica

Unidad 5: Geometría Analítica Unidad 5 Geometría Analítica 5. Ecuaciones de una recta Los planos y las rectas son objetos geométricos que se pueden representar mediante ecuaciones. Encontraremos la ecuación vectorial de una recta r

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades

Más detalles