Espacios Vectoriales

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1 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

2 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

3 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

4 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

5 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

6 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

7 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Bases y Bases Canónicas Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

8 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios Vectoriales Sub Espacios Vectoriales Combinación Lineal Dependencia e Independencia Lineal Espacio Generado Bases y Bases Canónicas Dimensión. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

9 Consideramos... Definición: Sea V un conjunto no vacío y sea K un cuerpo (los cuerpos que consideraremos en este curso serán el cuerpo de los números reales R o el cuerpo de los números complejos C o inclusive el cuerpo de los números racionales Q Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

10 Consideramos... Definición: Sea V un conjunto no vacío y sea K un cuerpo (los cuerpos que consideraremos en este curso serán el cuerpo de los números reales R o el cuerpo de los números complejos C o inclusive el cuerpo de los números racionales Q Obs: Supongamos que en V se han definido dos operaciones, que verifican: ADICIÓN + u, v V entonces w = u + v V PRODUCTO POR ESCALAR u V, α K entonces w = α v V Esto es, V es cerrado para la adición y producto por escalar. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

11 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

12 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

13 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

14 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

15 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

16 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

17 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

18 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) 1 u = u Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

19 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) 1 u = u Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

20 Espacios Vectoriales (V, +, ) es un Espacio Vectorial sobre K, si u, v, w V, α, β K. Se verifica: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 0 V V tal que u + 0 V = u, u V u V, u V tal que u + ( u) = 0 V α(u + v) = αu + αv (α + β)u = αu + βu (α β) u = α(β u) 1 u = u Los elementos de V se llaman vectores. Los elementos de K se llaman escalares. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

21 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

22 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

23 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

24 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

25 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. (M n m (R), +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

26 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. (M n m (R), +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C([a, b]), +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

27 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: (R n, +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n, +, ) es un espacio vectorial sobre C. (Q n, +, ) es un espacio vectorial sobre Q. (R n [x], +, ) es un espacio vectorial sobre R. (M n m (R), +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C([a, b]), +, ) es un espacio vectorial sobre R. (C n ([a, b]), +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

28 Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

29 Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

30 Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues = 2 / V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

31 Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues = 2 / V. además, 0 V no pertenece a V. (R, +, ) no es un espacio vectorial sobre C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

32 Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues = 2 / V. además, 0 V no pertenece a V. (R, +, ) no es un espacio vectorial sobre C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

33 Ejemplos: V = {1} no es un espacio vectorial. pues = 2 / V. además, 0 V no pertenece a V. (R, +, ) no es un espacio vectorial sobre C. porque R debe ser cerrado para el producto por escalar. Sea λ = i, entonces λx = ix / R. (C, +, ) es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

34 Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

35 Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (α 2 x, α 2 y). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

36 Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (α 2 x, α 2 y). (N, +, ) no es un espacio vectorial sobre R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

37 Ejercicios Propuestos: Demostrar que: (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (αx, 0). (R 2, +, ) no es un espacio vectorial sobre R, si el producto por escalar se define: α(x, y) = (α 2 x, α 2 y). (N, +, ) no es un espacio vectorial sobre R. (N, +, ) no es un espacio vectorial sobre N. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

38 Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

39 Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

40 Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Es válida la ley de cancelación para la adición de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

41 Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Es válida la ley de cancelación para la adición de vectores. u V : 0 u = 0 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

42 Proposición Sea V un K- espacio vectorial: El neutro aditivo 0 V es único. Para cada v V el inverso aditivo v es único. Es válida la ley de cancelación para la adición de vectores. u V : 0 u = 0 V α K, u V : ( α)v = (αv). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

43 Sub Espacio Vectorial Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V, S. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ) es un espacio vectorial sobre K. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

44 Sub Espacio Vectorial Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V, S. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ) es un espacio vectorial sobre K. Si las operaciones + y están claramente definidas, entonces escribiremos V en lugar de (V, +, ) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

45 Sub Espacio Vectorial Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea S un subconjunto de V, S. Se dice que S es un subespacio vectorial de V si (S, +, ) es un espacio vectorial sobre K. Si las operaciones + y están claramente definidas, entonces escribiremos V en lugar de (V, +, ) Notación: S V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

46 Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

47 Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

48 Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: 1 u, v S entonces u + v S Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

49 Teorema Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S V y S. S es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes dos condiciones: 1 u, v S entonces u + v S 2 u S, α K entonces α v S Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

50 Observación Todo espacio vectorial tiene en forma trivial dos sub espacios vectoriales: {0 V } y V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

51 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

52 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 W = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x n = 0}, W R n Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

53 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 W = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x n = 0}, W R n W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R}, W R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

54 Ejemplos: Con las operaciones usuales, se tiene que: W = {(x, y) R 2 : y = 0}, W R 2 W = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : x n = 0}, W R n W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R}, W R 2 W = {(x, y, z) R 3 : 2x + y = 1} no es un s.e.v. de R 3 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

55 Ejercicios Propuestos: Verificar que: a) S {[ M 2 2 ] (R) para: } a b S = M c d 2 2 (R) : a = b, c = d {[ ] } a b b)t M 2 2 (R) donde: T = M c d 2 2 (R) : a = 1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

56 Ejercicios Propuestos: Verificar que: a) S {[ M 2 2 ] (R) para: } a b S = M c d 2 2 (R) : a = b, c = d {[ ] } a b b)t M 2 2 (R) donde: T = M c d 2 2 (R) : a = 1 Sea el subespacio vectorial T = {(x + y + 2z, 3x + y, 2x + y + z) : x, y, z R, T S? Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

57 Ejercicios Propuestos: Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W 1 = {f F : f (3) = 0} W 2 = {f F : f ( x) = f (x)} W 3 = {f F : f (2) = 1 + f ( 2)} son sub espacio vectorial de F. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

58 Ejercicios Propuestos: Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W 1 = {f F : f (3) = 0} W 2 = {f F : f ( x) = f (x)} W 3 = {f F : f (2) = 1 + f ( 2)} son sub espacio vectorial de F. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden n es un s.e.v. de las matrices de orden n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

59 Ejercicios Propuestos: Sea F el e.v. de todas las funciones reales. Estudiar si: W 1 = {f F : f (3) = 0} W 2 = {f F : f ( x) = f (x)} W 3 = {f F : f (2) = 1 + f ( 2)} son sub espacio vectorial de F. Demostrar que el conjunto de las matrices diagonales de orden n es un s.e.v. de las matrices de orden n. n m = C n [a, b] C m [a, b] Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

60 Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

61 Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

62 Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

63 Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V donde: W 1 + W 2 = {u + v : u W 1, v W 2 } Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

64 Proposición Sea (V, +, ) un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W 1, W 2 V. Luego: W 1 W 2 V W 1 + W 2 V donde: W 1 + W 2 = {u + v : u W 1, v W 2 } Obs: Si además, W 1 W 2 = {0 V } entonces este conjunto se llama suma directa y se denota: W 1 W 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

65 Ejercicios Propuestos En R 2, sea: W 1 = {(x, y) R 2 : x + y = 0} W 2 = {(x, y) R 2 : x y = 0} Mostrar que W 1 W 2 no es un s.e.v. en R 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

66 Ejercicios Propuestos En R 2, sea: W 1 = {(x, y) R 2 : x + y = 0} W 2 = {(x, y) R 2 : x y = 0} Mostrar que W 1 W 2 no es un s.e.v. en R 2. Demostrar que: W 1 W 2 V ssi W 1 W 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

67 Ejercicios Propuestos En R 2, sea: W 1 = {(x, y) R 2 : x + y = 0} W 2 = {(x, y) R 2 : x y = 0} Mostrar que W 1 W 2 no es un s.e.v. en R 2. Demostrar que: W 1 W 2 V ssi W 1 W 2 Sea S = {A M n m (R) : A = A t }; T = {A M n m (R) : A = A t } Probar que: a) S, T M n m (R) b) S T = M n m (R) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

68 Ejercicios Propuestos Considere los subespacios vectoriales de R 3 : E = {(x, y, 0) : x, y R} F = {(0, 0, z) : z R} G = {(0, y, z) : y, z R} Determine: E F, E G, G F, E + F, E + G, G + F. Haga una descripción geométrica y dibuje cada uno de estos subespacios. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

69 Combinación Lineal Definición: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

70 Combinación Lineal Definición: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

71 Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

72 Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Entonces, la expresión: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

73 Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Entonces, la expresión: n α i u i se llama Combinación Lineal de los vectores u 1, u 2,..., u n. i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

74 Combinación Lineal Definición: Sean α i K y u i V, i = 1,..., n donde V es un espacio vectorial. Entonces, la expresión: n α i u i se llama Combinación Lineal de los vectores u 1, u 2,..., u n. Observación: 0 V es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

75 Ejemplos: El vector (1, 2, 3) R 3, es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) α = 1, β = 2, γ = 3. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

76 Ejemplos: El vector (1, 2, 3) R 3, es una combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) α = 1, β = 2, γ = 3. El vector (1, 2, 3) R 3, es combinación lineal de los vectores (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). En efecto: (1, 2, 3) = α(1, 0, 0) + β(1, 1, 0) + γ(1, 1, 1) Debemos encontrar α, β, γ R tal que: 1 = α + β + γ 2 = β + γ 3 = γ Por tanto, γ = 3, β = 1 y α = 1. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

77 Observación Notar que... No todos los vectores son combinación lineal. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

78 Observación Notar que... No todos los vectores son combinación lineal. Ejemplo: (1, 2, 3) no es combinación lineal de (1, 1, 0) y (1, 1, 1). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

79 Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

80 Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Escribir el polinomio 1 2x + 3x 2, como combinación lineal de 1, 1 + x y 1 + x + x 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

81 Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Escribir el polinomio 1 2x + 3x 2, como combinación lineal de 1, 1 + x y 1 + x + x 2. Considere los vectores u = (2, 1, 2), v = (1, 1, 1) R 3. Escriba, si es posible, los vectores a = ( 4, 5, 8) y b = (4, 1, 5) como combinación lineal de u y v. Determine los valores de x para los cuales el vector (x, 4, 7) es una combinación lineal de u y v. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

82 Ejercicios Propuestos: Escribir el polinomio x, como combinación lineal de 1 x, 1 + x 2 y x x 2. Escribir el polinomio 1 2x + 3x 2, como combinación lineal de 1, 1 + x y 1 + x + x 2. Considere los vectores u = (2, 1, 2), v = (1, 1, 1) R 3. Escriba, si es posible, los vectores a = ( 4, 5, 8) y b = (4, 1, 5) como combinación lineal de u y v. Determine los valores de x para los cuales el vector (x, 4, 7) es una combinación lineal de u y v. Dados u 1 = (1, 2, α, 1), u 2 = (α, 1, 2, 3), u 3 = (0, 1, β, 0) R 4, determine los valores de α y β para que uno de los vectores sea combinación lineal de los otros dos. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

83 Ejercicios Propuestos: Decidir si p(t) = t 2 t + 1 es combinación lineal de p 1 (t) = (t 1) 2 y p 2 (t) = t Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

84 Ejercicios Propuestos: Decidir si p(t) = t 2 t + 1 es combinación lineal de p 1 (t) = (t 1) 2 y p 2 (t) = t [ ] [ ] [ ] Decidir si es combinación lineal de y Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

85 Ejercicios Propuestos: Decidir si p(t) = t 2 t + 1 es combinación lineal de p 1 (t) = (t 1) 2 y p 2 (t) = t [ ] [ ] [ ] Decidir si es combinación lineal de y Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

86 Dependencia e Independencia Lineal Definición Sea u 1, u 2,...u n V. Se dice que: {u 1, u 2,...u n } es un conjunto: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

87 Dependencia e Independencia Lineal Definición Sea u 1, u 2,...u n V. Se dice que: {u 1, u 2,...u n } es un conjunto: linealmente independiente (l.i.) ssi n α i u i = 0 V α i = 0, i = 1,..., n i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

88 Dependencia e Independencia Lineal Definición Sea u 1, u 2,...u n V. Se dice que: {u 1, u 2,...u n } es un conjunto: linealmente independiente (l.i.) ssi n α i u i = 0 V α i = 0, i = 1,..., n i=1 linealmente dependiente (l.d.) ssi α 1, α 2,..., α n K no todos nulos, tal que: n i=1 α iu i = 0 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

89 Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

90 Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

91 Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

92 Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. {e αx, e βx } es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

93 Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es l.i. {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} es l.d. {cos, sen} es l.i. {e αx, e βx } es l.i. Determine el valor de t R de manera que el conjunto B = {(1, 1, 2), (3, 1, 0), ( t 2, 0, 2)} sea un conjunto l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

94 Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

95 Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0 V } es l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

96 Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0 V } es l.d. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

97 Observaciones { v} es l.i. solo si v 0 V Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0 V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0 V } es l.d. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i. Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contenga a N será l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

98 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

99 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

100 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

101 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. 4 Un conjunto l.i. de R n contiene a lo sumo n vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

102 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. 4 Un conjunto l.i. de R n contiene a lo sumo n vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

103 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. 4 Un conjunto l.i. de R n contiene a lo sumo n vectores. NOTA: Si se tienen n vectores l.i. no es posible agregar mas vectores sin hacer que el conjunto obtenido sea l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

104 Teoremas 1 Dos vectores de un espacio vectorial V son l.d. ssi uno es multiplo del otro. 2 Un conjunto de n vectores es l.d. ssi al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. 3 Un conjunto de n vectores en R m es siempre l.d. si n > m. 4 Un conjunto l.i. de R n contiene a lo sumo n vectores. NOTA: Si se tienen n vectores l.i. no es posible agregar mas vectores sin hacer que el conjunto obtenido sea l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

105 Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

106 Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} {(1, 3, 7), (2, 0, 6), (3, 1, 1), (2, 4, 5)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

107 Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} {(1, 3, 7), (2, 0, 6), (3, 1, 1), (2, 4, 5)} {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, 1, 1)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

108 Ejercicios Propuestos Determinar si los siguientes vectores son l.i. {(1, 2, 1), (2, 1, 1), (7, 4, 1)} {(1, 3, 7), (2, 0, 6), (3, 1, 1), (2, 4, 5)} {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0, 1, 1)} {e t ; cosh(t); sinh(t)} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

109 Espacio Generado Definición Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

110 Espacio Generado Definición Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. El espacio generado por X, denotado < X > o G(X) corresponde a la intersección de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

111 Espacio Generado Definición Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. El espacio generado por X, denotado < X > o G(X) corresponde a la intersección de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X. Observación: G(X) V. Demostrar!!! Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

112 Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

113 Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

114 Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X. Como X es finito, podemos asumir X = {x 1, x 2,...x k } entonces { k } G(X) = α i x i : α i K i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

115 Espacio Generado Teorema Sea V un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, y sea X V, X y finito. Los elementos de G(X) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de los elementos de X. Como X es finito, podemos asumir X = {x 1, x 2,...x k } entonces Demostración: En la pizarra... { k } G(X) = α i x i : α i K i=1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

116 Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

117 Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

118 Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) OBSERVACIÓN Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, salvo el que contiene sólo a 0 V, tiene un subconjunto l.i. de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

119 Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) OBSERVACIÓN Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, salvo el que contiene sólo a 0 V, tiene un subconjunto l.i. de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

120 Teorema Teorema Sea X V, X, X {0 V }, X finito. Entonces, existe Y X tal que Y es l.i. y G(X) = G(Y ) OBSERVACIÓN Este teorema afirma que cualquier subconjunto finito de vectores, salvo el que contiene sólo a 0 V, tiene un subconjunto l.i. de vectores. OBSERVACIÓN Si X no es finito también es aplicable el teorema. En todo caso, en este curso en general trabajaremos con conjuntos finitos X de vectores. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

121 Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

122 Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} W = {v V : v = αu 0, α R} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

123 Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} W = {v V : v = αu 0, α R} G((1, 0), (0, 1)) = G((1, 0), ( 1, 2), (5, 3)) = R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

124 Ejemplos: W = {(x, y) R 2 : (x, y) = α(1, 2), α R} W = {v V : v = αu 0, α R} G((1, 0), (0, 1)) = G((1, 0), ( 1, 2), (5, 3)) = R 2 G( 1, 2) R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

125 Ejercicios Propuestos: Para qué valor de α el vector w = (2, α, 2) pertenece al s.e.v. de R 3 generado por: v 1 = (1, 2, 1) y v 2 = (0, 1, 2). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

126 Bases Definición Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

127 Bases Definición Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

128 Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

129 Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

130 Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V B es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

131 Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V B es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

132 Bases Definición Sea B V, B finito (y ordenado) B es una base (ordenada) de V, si: G(B) = V B es l.i. Teorema: Todo espacio vectorial tiene una base. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

133 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

134 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

135 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

136 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

137 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

138 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] B = {3, x 1, x 2 + x} es una base de R 2 [x] Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

139 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] B = {3, x 1, x 2 + x} es una base de R 2 [x] {( ) ( ) ( ) ( )} B =,,, es una base de M 2 2 (R) Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

140 Ejemplos B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R 2 B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R 3 B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base de R n [x] B = {3, x 1, x 2 + x} es una base de R 2 [x] {( ) ( ) ( ) ( )} B =,,, es una base de M 2 2 (R) {e αx, e βx } no es una base del espacio vectorial de todas las funciones continuas. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

141 Definiciones Base Canónica Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

142 Definiciones Base Canónica Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

143 Definiciones Base Canónica Una base canónica es la base mas sencilla posible, no hay definición general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan e i. Dimensión Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

144 Definiciones Base Canónica Una base canónica es la base mas sencilla posible, no hay definición general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan e i. Dimensión Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

145 Definiciones Base Canónica Una base canónica es la base mas sencilla posible, no hay definición general. Se caracteriza por estar formada por vectores de norma 1. Se simbolizan e i. Dimensión Sea V un espacio vectorial sobre K, B = {u 1, u 2,..., u n }, una base de V. Se dice que n es la dimensión de V sobre el cuerpo K. Se escribe: dim K V = n, o simplemente dimv = n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

146 Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

147 Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

148 Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

149 Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base canónica de R n [x], entonces dim(r n [x]) = n + 1 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

150 Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base canónica de R n [x], entonces dim(r n [x]) = n + 1 {( ) ( ) ( ) ( )} B =,,, es una base canónica de M 2 2 (R), entonces dim(m 2 2 (R)) = 4. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

151 Ejemplos En todos los ejemplos que siguen, suponemos que el e.v. se define sobre el cuerpo R. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base canónica de R 2, entonces dim(r 2 ) = 2 B = {(1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0), (0, 0,..., 1)} es una base canónica de R n, entonces dim(r n ) = n Notar que: e i = (0,.., 1, 0,..., 0), donde 1 se ubica en la posición i. B = {1, x, x 2, x 3,...x n } es una base canónica de R n [x], entonces dim(r n [x]) = n + 1 {( ) ( ) ( ) ( )} B =,,, es una base canónica de M 2 2 (R), entonces dim(m 2 2 (R)) = 4. En general, dim(m n m (R)) = n m. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

152 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

153 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

154 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

155 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

156 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

157 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. B = {(1, 0), (0, 1)} forma una base de C 2. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

158 Mas Ejemplos Sea C 2 espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C 2 ) = 4. B = {(1, 0), (i, 0), (0, 1), (0, i)} forma una base de C 2. Sea C 2 espacio vectorial sobre C. Se tiene que dim C (C 2 ) = 2. B = {(1, 0), (0, 1)} forma una base de C 2. En general, C n espacio vectorial sobre R. Se tiene que dim R (C n ) = 2n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

159 Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

160 Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. 2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

161 Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. 2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n. 3 W V dimw dimv Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

162 Teoremas 1 Sea V un espacio vectorial que tiene una base B con n vectores, es decir, la cardinalidad de B es n. Entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1, es l.d. 2 Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V tiene cardinalidad n. 3 W V dimw dimv 4 Completación de una base. Consideramos V un espacio vectorial sobre K, con dim K V = n, y W V, con dim K W = m. Sea B = {u 1, u 2,..., u m } una base del subespacio W. Entonces, existen vectores u m+1, u m+2,..., u n V, de modo que B {u m+1, u m+2,..., u n } es una base de V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

163 Ejercicios Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

164 Ejercicios Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3. Sea A = {1, 1 + x, x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3 [x]. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

165 Ejercicios Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3. Sea A = {1, 1 + x, x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R 3 [x]. {( ) ( ) ( )} Sea A =,, Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de M(2 2, R). Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

166 Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

167 Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

168 Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. 2 Para que valores de a el vector (1, a, 2) S? Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

169 Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. 2 Para que valores de a el vector (1, a, 2) S? 3 Calcular una base y la dimensión de S. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

170 Ejercicios Propuestos: Sea el subespacio vectorial: S = {(x, y, z) R 3 /(x, y, z) (1, 1, 2) = 0} 1 Dar 2 vectores de S. 2 Para que valores de a el vector (1, a, 2) S? 3 Calcular una base y la dimensión de S. Indicar (justificadamente) si los siguientes sistemas de vectores son o no una base de S. Es una base ortonormal de S? {(1, 1, 2)} ; {(0, 2, 1), (1, 1, 2)} ; {( 1, 1, 0), (1, 1, 1)} ; {( 1 1 3, 3 1, 3 2 ), 0, 5 1, 5 )} ; {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

171 Ejercicios Propuestos: Sea S = {(x, y, x, u) R 4 : x = u, y u = z} Se pide: a) Demostrar que S R 4 b) Obtener dos bases distintas B 1 y B 2 de S y hallar la dimensión de S. c) Hallar un conjunto generador G de S que no sea base de S. d) Hallar un conjunto generador G de S que no sea linealmente independiente. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

172 Importante Corolario Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

173 Importante Corolario Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

174 Importante Corolario Sea V un espacio vectorial, dim K V = n. Si B V y B = {u 1,..., u n } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

175 Importante Corolario Sea V un espacio vectorial, dim K V = n. Si B V y B = {u 1,..., u n } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V. Observación: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

176 Importante Corolario Sea V un espacio vectorial, dim K V = n. Si B V y B = {u 1,..., u n } es un conjunto l.i., entonces B es una base de V. Observación: El resultado anterior es muy importante, porque si se conocemos la dimensión de un espacio vectorial V, y queremos probar que un conjunto es base de V, basta probar que el conjunto es l.i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

177 Coordenadas de v Teorema Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

178 Coordenadas de v Teorema Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

179 Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

180 Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

181 Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si: Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

182 Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si: v V,!α i, i = 1,..., n : v = α 1 u 1 + α 2 u α n u n Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

183 Coordenadas de v Teorema Sea B = {u 1,..., u n } V. Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única como una combinacin lineal de los vectores u 1,..., u n. Observación: Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B, los coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si: v V,!α i, i = 1,..., n : v = α 1 u 1 + α 2 u α n u n Esto permite definir las coordenadas de v con respecto a la base ordenada B, usando los coeficientes α i que acompañan a los vectores u i. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

184 Coordenadas de v La matriz columna: α 1 α 2... α n Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

185 Coordenadas de v La matriz columna: α 1 α 2... α n se llama matriz de coordenadas de v con respecto a la base B. Usaremos la notación [v] B. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47

186 Ejemplos: En R 3, considere la base B = {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} y la base canónica de R 3, es decir, C = {e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)}. Determine la matriz de coordenadas del vector (2, 8, 6) con respecto a ambas bases, es decir, encuentre [(2, 8, 6)] B y [(2, 8, 6)] C. Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre / 47