Cálculo en varias variables para Ciencias Químicas y Ambiental

Transcripción

1 Cálculo en varias variables para Ciencias Químicas y Ambiental Andrés Durán Poblete Concepción, Enero de 008

2 PROLOGO Este texto es para ser usado como apoyo por los alumnos de Ciencias Químicas e Ingeniería Ambiental, que cursan las asignaturas de Cálculo o Matemática III que dicta el Departamento de Ingeniería Matemática de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Concepción. Los diferentes contenidos involucrados en el curso al igual que los ejercicios son desarrollados en un lenguaje simple y de una manera directa, lo que facilita la comprensión a los alumnos. También, para cada capítulo desarrollado en este libro, se incluye una sección donde se desarrollan algunos ejercicios computacionalmente, situación que resultará muy interesante para el alumno, sobre todo con lo que tiene que ver con la parte gráfica; lo cual se da mucho en los capítulos y 3. El lenguaje de computación que se ha elegido para tales efectos es el lenguaje Maple, que es de un manejo relativamente fácil; dado que dispone de librerias para distintos temas que facilitan mucho la programación. Aparte de lo anterior, se incluye un disco compacto con un software para varias materias desarrolladas en los cursos, en que cada programa puede ser usado en forma directa e interactiva por el alumno. Deseo hacer notar que todo este trabajo es un Proyecto de Docencia que nació de la idea en conjunto con el Profesor Francisco Cheuquepán (q.e.p.d.) y por lo tanto deseo dedicarle en parte a él dicho trabajo. Deseo expresar también, mis agradecimientos a mis ex-alumnas, ahora ingenieros matemáticos, Marcela Torrejón y Fabiola Lobos, por sus apoyos en el área computacional y aporte de ideas. Andrés Durán P.

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4 Índice general 1. ALGEBRA LINEAL ESPACIOS VECTORIALES Introducción Definición y Propiedades Subespacios Bases y Dimensión de un Espacio Vectorial TRANSFORMACIONES LINEALES Definiciones y Ejemplos Representación Matricial de una Transformación Lineal VALORES Y VECTORES PROPIOS APLICACION DE MAPLE EJERCICIOS PROPUESTOS FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES INTRODUCCION LIMITES Y CONTINUIDAD DERIVADAS PARCIALES GRADIENTE Y DIFERENCIAL TOTAL ROTOR Y DIVERGENCIA REGLA DE LA CADENA VALORES EXTREMOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE APLICACION DE MAPLE EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRALES MÚLTIPLES INTEGRALES DOBLES INTEGRALES TRIPLES CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES APLICACION DE MAPLE EJERCICIOS PROPUESTOS SERIES INFINITAS SUCESIONES INFINITAS SERIES INFINITAS SERIES DE POTENCIAS SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN i

5 ii ÍNDICE GENERAL 4.5. APLICACION DE MAPLE EJERCICIOS PROPUESTOS

6 Capítulo 1 ALGEBRA LINEAL 1.1. ESPACIOS VECTORIALES Introducción Los conjuntos IR de puntos en el plano y IR 3 de puntos en el espacio pueden representar vectores en el plano y en el espacio, respectivamente. Así, un punto (a, b) en IR representa a un vector v en el plano si es definido como v = (a, b) y geométricamente corresponde a un segmento de recta dirigido que va desde el origen, el punto (0, 0), al punto (a, b). Análogamente, el punto (a, b, c) de IR 3 representa un vector v en el espacio si es definido como v = (a, b, c) y geométricamente corresponde a un segmento de recta dirigido que va desde el origen, el punto (0, 0, 0), al punto (a, b, c). y z b c v v 0 a x 0 b y a x De acuerdo a lo anterior, los conjuntos IR y IR 3 pueden ser definidos como el conjunto de vectores en el plano y el conjunto de vectores en el espacio, respectivamente. Dados estos conjuntos, se pueden definir algunas operaciones. Definición 1.1. Sean u = (a, b) y v = (c, d) dos vectores de IR y α un número real, entonces se define la suma de u y v, denotada por u + v, como: u + v = (a + c, b + d) 1

7 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL y la multplicación por escalar de α y u, denotada por αu, como: αu = (αa, αb) Observación 1.1. En forma totalmente análoga estas dos operaciones pueden ser definidas para vectores en IR 3. Las operaciones de suma y multiplicación por escalar para vectores de IR y IR 3 tienen muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, se puede verificar fácilmente que, con respecto a la suma, los vectores de IR cumplen las leyes conmutativa y asociativa. Si u es un vector de IR entonces u + θ = θ; donde θ = (0, 0), llamado el vector nulo o vector cero. También, u + ( u) = θ; donde u es el llamado vector inverso del vector u. Así, si u = (a, b), entonces u = ( a, b). Con respecto a la multiplicación por escalar, se pueden obtener leyes distributivas. Las propiedades para la suma y multiplcación por escalar en IR, también son cumplidas por los vectores en IR 3. Los conjuntos IR y IR 3, con las operaciones de suma y multiplicación por escalar definidas, constituyen lo que se llama un espacio vectorial Definición y Propiedades Antes de definir un espacio vectorial, se hacen algunos alcances: i) En general, los espacios vectoriales están definidos sobre conjuntos de elementos que deben cumplir ciertas propiedades para constituirse en lo que se denomina un cuerpo. Los elementos de un cuerpo generalmente reciben el nombre de escalares. En este libro, los espacios vectoriales serán referidos sobre el cuerpo de los números reales IR y que por ende serán llamados espacios vectoriales reales. ii) En la definición de un espacio vectorial hay involucradas dos operaciones: suma y mutiplicación por escalar, de tal manera que para dos elementos u y v de un espacio vectorial y α un escalar, entonces la suma de u y v se escribirá como u + v y la multiplicación por escalar de α y u se escribirá como αu. Definición 1.. Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío de elementos, llamados vectores, que junto con las operaciones suma y multiplicación por escalar satisfacen las siguientes propiedades: 1.-) u y v V u + v V.

8 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 3.-) u y v V u + v = v + u. 3.-) u, v y w V (u + v) + w = u + (v + w). 4.-) En V existe un único vector θ, llamado vector cero, tal que para todo u en V, u + θ = u. 5.-) Si u está en V existe un único vector u en V, llamado el inverso aditivo de u, tal que u + ( u) = θ. 6.-) Si u está en V y α es un escalar, entonces el producto por escalar αu está en V. 7.-) Si u y v están en V y α es un escalar entonces α(u + v) = αu + αv. 8.-) Si u está en V, α y β son escalares entonces (α + β)u = αu + βu. 9.-) Si u está en V, α y β son escalares entonces α(βu) = (αβ)u. 10.-) Para todo vector u que está en V, 1u = u. Observación De la propiedad 4.-), el conjunto V no debe ser vacío (V φ)..- Para todo par de vectores u y v de un espacio vectorial V, u + ( v) se escribe como u v y se denomina diferencia entre u y v. Ejemplo 1.1. Sea V = IR 3 el conjunto que representa los puntos (o vectores) en el espacio; es decir, IR 3 = {(x, y, z) : x IR, y IR, z IR} Entonces, IR 3 con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes: - Si u = (x 1, y 1, z 1 ) y v = (x, y, z ) son dos elementos de IR 3, entonces: u + v = (x 1, y 1, z 1 ) + (x, y, z ) = (x 1 + x, y 1 + y, z 1 + z ) - Si α es un número real y u = (x, y, z) es un elemento de IR 3, entonces: αu = α(x, y, z) = (αx, αy, αz) es un espacio vectorial. Aquí, el vector cero es el elemento (0, 0, 0) y para cualquier elemento u = (x, y, z) de IR 3, el inverso aditivo de u es u = ( x, y, z). Con estos elementos es fácil verificar las propiedades 1.-) a 10.-) de los espacios vectoriales.

9 4 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Ejemplo 1.. En general, el conjunto V = IR n, n IN, que denota el conjunto de las n-uplas de números reales; IR n = {(x 1, x,..., x n ) : x 1 IR, x IR,..., x n IR}, IR n constituye un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes: - Si u = (x 1, x,..., x n ), v = (y 1, y,..., y n ) son dos elementos de IR n entonces: u + v = (x 1 + y 1, x + y,..., x n + y n ) - Si α es un número real, u = (x 1, x,..., x n ) es un elemento de IR n entonces: αu = (αx 1, αx,..., αx n ). Las operaciones recién definidas sobre IR n son las llamadas operaciones usuales. De manera similar al ejemplo anterior, se tiene que el vector cero es θ = (0, 0,..., 0) y para cualquier elemento u = (x 1, x,..., x n ) el inverso aditivo de u es u = ( x 1, x,..., x n ). Dados estos elementos, es sencillo verificar las propiedades de espacios vectoriales. Ejemplo 1.3. Sea V = P n, n IN, el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n; es decir, si p P n entonces: p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, donde a 1, a,..., a n son números reales. Sobre el conjunto V se definen las siguientes operaciones de suma y producto por escalar: - Si p = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 y q = b n x n +b n 1 x n b 1 x+b 0 son dos elementos de V, entonces: p + q = (a n + b n )x n + (a n 1 + b n 1 )x n (a 1 + b 1 )x + a 0 + b 0 - Si α es un número real y p = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 es un elemento de V, entonces: αp = (αa n )x n + (αa n 1 )x n (αa 1 )x + αa 0

10 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 5 El conjunto V con estas dos operaciones cumple las propiedades de la Definición 1. y es un espacio vectorial. Notemos que tanto la suma de dos polinomios de grado menor o igual que n como el producto por escalar de un número real por un polinomio de grado menor o igual que n son también polinomios de grado menor o igual que n. El vector cero corresponde al polinomio nulo θ = 0x n +0x n x+0. Además si p = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 es un elemento de V, entonces el inverso aditivo p está dado por p = a n x n a n 1 x n 1... a 1 x a 0. Las operaciones definidas son las llamadas operaciones usuales para los polinomios de orden menor o igual que n Ejemplo 1.4. Sea V = M mxn (IR), m IN y n IN; el conjunto de las matrices de orden m por n con elementos reales. Con las operaciones de suma y producto por escalar conocidas, V es un espacio vectorial para todo entero positivo m y n. En este caso, el vector cero es la matriz de orden m por n con todos sus elementos iguales a cero. Si A = (a ij ), entonces el inverso aditivo de la matriz A es A = ( a ij ). En el siguiente resultado se enuncian, sin demostración, algunas propiedades básicas que cumplen los espacios vectoriales y que se utilizan regularmanete. Teorema 1.1. Sea V un espacio vectorial, entonces: 1. Para todo escalar α y θ, el vector cero de V, se tiene que αθ = θ.- Sea u un vector cualquiera de V, entonces 0u = θ. 3.- Sea α un escalar y u un elemento de V, se tiene que: Si αu = θ, entonces α = 0 o u = θ. 4.- Sea α un escalar y u un vector de V, se tiene que ( α)u = (αu). 5.- Dados los vectores u, v y w de V,entonces u + v = u + w = v = w.

11 6 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Subespacios En muchas situaciones puede darse que un subconjunto de un espacio vectorial también sea un espacio vectorial. Por ejemplo, de la subsección anterior, se sabe que el conjunto M x (IR) es un espacio vectorial. Ahora, si se toma el conjunto D (IR), que denota el conjunto de las matrices diagonales de x con elementos reales; es decir, D (IR) = {( a 0 0 b ) } : a y b son números reales ; D (IR) es un subconjunto de M (IR). Es claro también que sumar dos matrices diagonales de por da una matriz diagonal e igualmente al multiplicar un escalar por un matriz diagonal de por. Tanto el vector cero (matriz nula) como el vector inverso aditivo de cualquier elemento de S son obtenidos a partir del caso general del espacio vectorial M (IR). Con estos alcances, se puede verificar que el conjunto D (IR) cumple las diez propiedades de espacio vectorial. De acuerdo a lo anterior, se tiene la siguiente definición respecto de estos subconjuntos. Definición 1.3. Un subconjunto S, no vacío, de un espacio vectorial V, se dice que es un subespacio vectorial o subespacio de V si, S es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y producto por escalar definidas en V. De esta manera se puede decir entonces que que el conjunto de las matrices diagonales de por es un subespacio vectorial de M x (IR) Observación 1.3. Para todo espacio vectorial V, el subconjunto S que contiene sólo el vector cero de V ; es decir S = {θ}, y el mismo espacio vectorial V son subespacios vectoriales de V llamados subespacios triviales. A continuación se presenta un resultado, sin demostración, que hace relativamente sencillo averiguar cuando un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial. Teorema 1.. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto S no vacío de V es un subespacio vectorial de V sí y sólo si: 1.- Si u S, v S, entonces u + v S..- Para cualquier escalar α y cualquier vector u en S, entonces αu S. Observación 1.4. Del resultado anterior se tiene que todo subespacio S de un espacio vectorial contiene al vector cero; ya que si u es un elemento de S entonces por el punto, del Teorema 1.1, se tiene que 0u = θ y por el punto, del Teorema 1., este debe ser un elemento de S. Es decir, para que un subconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio, éste debe contener el vector cero.

12 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 7 Anteriormente, se dijo que el conjunto de las matrices diagonales de por era un subespacio de M x (IR) y se mostró que la suma de dos matrices diagonales de por también era una matriz diagonal de por y lo mismo sucede al multiplicar un escalar por una matriz de este tipo. Las dos afirmaciones anteriores tienen que ver con las condiciones 1 y del Teorema 1., respectivamente. A continuación se presentan otros ejemplos de subespacios. Ejemplo 1.5. Sea S un subconjunto de IR 3 definido por S = {(a, b, b) : a IR, b IR} Entonces, S es un subespacio vectorial con las operaciones de suma y producto por escalar usuales en IR 3. En efecto, 1.- Sean u = (a, b, b) y v = (r, s, s) dos elementos cualesquiera de S, entonces u + v = (a, b, b) + (r, s, s) = (a + r, b + s, b s) Si se denota a = a + r y así u + v S. = (a + r, b + s, (b + s)) y b = b + s, se tiene que: u + v = (a, b, b ),.- Sea α un número real cualquiera y u = (a, b, b) un elemento cualquiera de S, entonces: αu = α(a, b, b) = (αa, αb, αb) Denotando a = αa y y así αu es un elemento de S. b = αb, se tiene que αu = (a, b, b ) De esta manera, el subconjunto S de IR 3 satisface las dos condiciones del Teorema 1. y por lo tanto S es un subespacio vectorial de IR 3. Ejemplo 1.6. Consideremos el espacio vectorial P, el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que con coeficientes reales; es decir, si p P entonces p = ax + bx + c; donde a, b y c son números reales. Sea S el subconjunto de P definido como S = {ax + bx + b a : a y b IR} Entonces, S es un subespacio de P con las operaciones de suma y producto por escalar conocidas.

13 8 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL En efecto, 1.- Sean p y q dos elementos de S, entonces p = ax + bx + b a y q = cx + dx + d c; a, b, c y d números reales. p + q = (ax + bx + b a) + (cx + dx + d c) = (a + c)x + (b + d)x + (b a) + (d c) = (a + c)x + (b + d)x + (b + d) (a + c), Denotando a = a + c, b = b + d, entonces a y b IR y se tiene que: Luego, p + q S. p + q = a x + b x + b a.- Sea α un escalar y p un elemento de S; esto es, p = ax + b + b a; a y b números rales, entonces: αp = α(ax + bx + b a) = (αa)x + (αb)x + α(b a) = (αa)x + (αb)x + αb αa, Si se denota a = αa y b = αb, entonces a y b son números reales y y αp S. αp = a x + b x + b a Dado que S cumple las condiciones 1 y del Teorema 1., S es un subespacio de P. Ejemplo 1.7. El conjunto de puntos en el plano, representado por IR, es un espacio vectorial. Si consideramos el conjunto de puntos de una recta en el plano que pasa por el origen, entonces dicho conjunto de puntos constituye un subespacio vectorial de IR. Este conjunto puede ser definido como: S = {(x, y) IR : y = mx, m número real fijo} Fácilmente pueden ser verificadas las dos condiciones del Teorema 1. y así concluir que el conjunto S es un subespacio de IR. Observación 1.5. De acuerdo al ejemplo anterior, se puede analizar que pasa con el conjunto de puntos de una recta del plano que no pasa por el origen; es decir, el subconjunto S de IR defnido como: S = {(x, y) IR : y = mx + b, m y b números reales fijos, b 0}. Si la recta no pasa por el origen no va a contener al vector nulo y por lo tanto no puede ser subespacio vectorial.

14 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 9 Dados dos subespacio de un espacio vectorial, sería interesentante preguntarse que pasa con la unión e intersección de estos subespacios; serán subespacio?. Para contestar a esta interrogante se considera el siguiente resultado y más adelante una observación. Teorema 1.3. Sean S 1 y S dos subespacios de un espacio vectorial V, entonces S 1 S es un subespacio de V. Demostración En primer lugar se sabe que la intersección de S 1 y S, es un subconjunto de V, dado que cada uno de estos conjuntos está incluido en V. Ahora veamos que se cumplen las dos propiedades de Teorema 1.: 1.- Sean u y v dos elementos de S 1 S, entonces u S 1, u S y también v S 1, v S. Ahora, u S 1 y v S 1 entonces u + v S 1, S 1 es un subespacio. También, u S y v S entonces u + v S, S es un subespacio. De lo anterior, se concluye que u + v S 1 S..- Si α es un escalar y u es un elemento de S 1 S entonces u S 1 y u S. Ahora, como tanto S 1 y S son subespacios entonces αu S 1 y αu S lo que se concluye que αu S 1 S De 1.- y.- S 1 S es un subespacio vectorial de V. Ahora, con repecto a la unión de dos subespacio de un espacio vectorial se tiene la siguiente observación. Observación 1.6. Si S 1 y S son dos subespacios de un espacio vectorial V, no necesariamente S 1 S es un subespacio de V. En efecto, consideremos los conjuntos S 1 y S, ambos subconjuntos de IR, definidos por, S 1 = {(x, y) : y = x} S = {(x, y) : y = x} Geométricamente, tanto S 1 como S son rectas en el plano que pasan por el origen y por lo tanto son subespacio de IR, con las operaciones de suma y producto por escalar usuales en IR. El punto (1, 1) es un elemento de S 1 y por lo tanto (1, 1) es un elemento de S 1 S. El punto (1, ) es un elemento de S y por lo tanto es un elemento de S 1 S. Ahora, (1, 1) + (1, ) = (, 3), pero (, 3) no es un punto ni de S 1 ni de S, con lo cual la suma entre los elementos (1, 1) y (1, ) no está en S 1 S y este último conjunto no estaría cumpliendo con la condición 1.- del Teorema 1.. Entonces S 1 S no es subespacio de IR.

15 10 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Bases y Dimensión de un Espacio Vectorial En el espacio vectorial IR, con las operaciones de suma y producto por escalar usuales, el elemento ( 8, 5) puede ser escrito como: ( 8, 5) = ( 1, 1) + ( 3)(, 1); con lo que se dice que ( 8, 5) es una combinación lineal de ( 1, 1) y (, 1). Esta situación origina la siguiente definición. Definición 1.4. Sea V un espacio vectorial y sean v 1, v,..., v n elementos de V. Si α 1, α,..., α n son escalares, entonces un elemento de la forma α 1 v 1 + α v α n v n se llama una combinación lineal de v 1, v,..., v n. A continuación se darán algunos ejemplos de combinaciones lineales. ( ) 5 10 Ejemplo 1.8. En el espacio vectorial M x (IR), el elemento es 7 0 ( ) ( ) ( ) combinación lineal de las matrices, y ; ya que: ( ) ( 1 = 4 1 ) ( ) ( Ejemplo 1.9. En el espacio vectorial P ; el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que, el polinomio 5 x x + 1 es combinación lineal de los polinomios x + 1 y x + x; ya que: ) 5 x x + 1 = 1 (x + 1) ( x + x) Observación 1.7. En cualquier espacio vectorial V, el vector cero θ es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. En efecto, si v 1, v,..., v n son elementos de V, entonces θ = 0v 1 + 0v v n En el siguiente ejemplo se muestra si un cierto vector puede ser una combinación lineal de un conjunto de vectores. Ejemplo Averiguar si en el espacio vectorial IR el vector ( 7, 7) es combinación lineal de los vectores ( 1, ) y (5, 3).

16 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 11 Si ( 7, 7) es combinación lineal de los vectores ( 1, ) y (5, 3), entonces deben existir escalares α 1 y α tales que es decir, o bien, de donde: ( 7, 7) = α 1 ( 1, ) + α (5, 3); ( 7, 7) = ( α 1, α 1 ) + (5α, 3α ) ( 7, 7) = ( α 1 + 5α, α 1 3α ) α 1 + 5α = 7 α 1 3α = 7 (1.1) El sistema (1.1) es un sistema de ecuaciones lineales en las variables α 1 y α cuya única solución es α 1 =, α = 1. Con esto se verifica que el vector ( 7, 7) es combinación lineal de los vectores ( 1, ) y (5, 3). Definición 1.5. Un grupo de vectores v 1, v,...,v n de un espacio vectorial V se dice que generan a V si todo elemento de V puede ser escrito como combinación lineal de ellos; es decir, para v un elemento cualquiera de V, existen escalares α 1, α,...,α n tal que: v = α 1 v 1 + α v α n v n Algunos ejemplos sencillos de conjuntos generadores de un espacio vectorial son. Ejemplo En el espacio vectorial IR 3, los vectores (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) generan IR 3. En efecto: Cualquiera sea el vector (a, b, c) en IR 3, se tiene que (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1). Notemos que los escalares involucrados en la combinación lineal corresponden a las coordenadas del elemento dado. Ejemplo 1.1. En el espacio vectorial P 3, conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales, los elementos x 3, x, x, 1, son polinomios de grado menor o igual que 3 y generan P 3 ; ya que para p = ax 3 + bx + cx + d vector de P 3, se tiene que

17 1 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL p = a(x 3 ) + b(x ) + c(x) + d(1); donde, los escalares son los coeficientes de las potencias del polinomio dado. Ejemplo En el espacio vectorial D (IR) se tiene que las matrices ( ) ( ) y ( ) a 0 generan el mencionado espacio vectorial; ya que si es una matriz 0 b diagonal con elementos reales, entonces ( ) ( ) a = a 0 b 0 0 ( b 0 1 ) A partir del concepto de combinación lineal se pueden obtener subespacios de un espacio vectorial V. Se da antes la siguiente definición. Definición 1.6. Sean v 1, v,...,v r ; r vectores de un espacio vectorial V. Entonces el espacio generado por estos vectores, denotado por gen{v 1,v,...,v r }, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v 1, v,...,v r ; es decir, gen{v 1, v,..., v r } = {v : v = α 1 v 1 + α v α r v r, α 1, α,..., α r, escalares arbitrarios}; En relación a los espacios generados por un conjunto de vectores de un espacio vectorial se tiene el siguiente resultado, cuya demostración quedará para que sea realizada por el lector. Teorema 1.4. Dados los vectores v 1, v,...,v r de un espacio vectorial V, gen{v 1, v,..., v r } es un subespacio de V. En seguida, se muestran algunos ejemplos de subespacios generados. Ejemplo En el Ejemplo 1.13 se verificó que las matrices ( ) ( ) y generan las matrices diagonales de x con elementos reales. Pero se sabe que este conjunto es subespacio de M x (IR). Es decir, que las dos matrices mencionadas generan el subespacio de las matrices diagonales de dos por dos de M x (IR); esto es, si S es dicho subespacio, entonces: S = gen {( ), ( )}

18 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 13 Ejemplo Consideremos el espacio vectorial IR 3 y los vectores v 1 = (, 0, 4) y v = ( 1,, 0). La idea es buscar el subespacio generado por esos dos vectores. Sea v = (a, b, c) un elemento que está en el subespacio generado por los elementos v 1 y v, entonces existen escalares α 1 y α tales que (a, b, c) = α 1 v 1 + α v = α 1 (, 0, 4) + α ( 1,, 0) = (α 1 α, α, 4α 1 ) con lo cual se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales α 1 α = a + α = b 4α 1 = c De la segunda y tercera ecuación del sistema se tiene que α = b y α 1 = c 4, respectivamente. Reemplazando estos valores en la primera ecuación se llega a: o equivalentemente c b = a con lo cual se tiene finalmente que a + b c = 0 gen{(, 0, 4), ( 1,, 0)} = {(a, b, c) IR 3 : a + b c = 0} Se nota que, geométricamente, el conjunto gen{v 1,v } representa un plano en el espacio que pasa por el origen. Observación 1.8. Referente a este último ejemplo, se verifica que dos vectores no paralelos, en el espacio vectorial IR 3, generan un plano que pasa por el origen. Entre los conceptos más importantes y usados dentro de los espacios vectoriales, están los conceptos de dependencias lineal e independencia lineal. Para ir visualizando este tema veamos la siguiente situación: si en el espacio vectorial IR 3 se toman los vectores u 1 = (1, 1, 1), u = (1, 0, ) y u 3 = (1, 3, 1) entonces se verifica que 3u 1 u = u 3 o equivalentemente: 3u 1 u u 3 = θ;

19 14 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL lo que significa que el vector cero, θ, es escrito como una combinación lineal de los vectores u 1, u y u 3 sin que necesariamente los escalares correspondientes sean ceros. Al respecto, se entrega la siguiente la definición. Definición 1.7. Sea V un espacio vectorial y sean v 1, v,...,v n n vectores de V. Entonces se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen n escalares α 1, α,...,α n, no todos nulos, tales que α 1 v 1 + α v α n v n = θ (1.) Si dichos vectores no son linealmente dependientes se dicen que son linealmente independientes. Observación 1.9. Una forma alternativa de decir que los vectores son linealmente independientes es que si se tiene la ecuación (1.), entonces α 1 = α =... = α n = 0 Ejemplo En el espacio vectorial IR 3 los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) y (1, 0, 0) son linealmente independientes. En efecto: Sean α 1, α y α 3 tales que entonces: α 1 (1, 1, 1) + α (1, 1, 0) + α 3 (1, 0, 0) = (0, 0, 0) (1.3) (α 1 + α + α 3, α 1 + α, α 1 ) = (0, 0, 0). Se recuerda que dos elementos de IR 3 son iguales si son iguales componente a componente; es decir, de la igualdad anterior, debe tenerse que: α 1 + α + α 3 = 0 α 1 + α = 0 α 1 = 0 con lo que, resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se llega a la única solución: α 1 = 0, α = 0, α 3 = 0 Luego, la única posibilidad en obtener la ecuación (1.3) es que los escalares que intervienen sean todos iguales a cero; lo que verifica que los elementos (1, 1, 1), (1, 1, 0) y (1, 0, 0) son linealmente independientes. Ejemplo Consideremos el espacio vectorial P y el subconjunto {x 3x, 3x + 4, 11x 6x + 1} de este espacio. Entonces dicho subconjunto constituye un conjunto linealmente denpendiente de P.

20 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 15 En efecto: Si α 1, α y α 3 son escalares tales que: α 1 (x 3x) + α (3x + 4) + α 3 (11x 6x + 1) = 0t + 0t + 0 (1.4) o sea: (α 1 + 3α + 11α 3 )x + ( 3α 1 6α 3 )x + 4α + 1α 3 = 0t + 0t + 0 Ahora, utilizando el hecho de que dos polinomios son iguales si los coeficientes de las potencias correspondientes son iguales, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: α 1 + 3α + 11α 3 = 0 3α 1 6α 3 = 0 4α + 1α 3 = 0 De la segunda ecuación del sistema se tiene que α 1 = α 3, con lo cual reemplazando α 1 en la primera ecuación, el sistema de tres ecuaciones lineales anterior queda reducido al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales: 3α + 9α 3 = 0 4α + 1α 3 = 0 Claramente, las dos ecuaciones son iguales y se tiene que α = 3α 3. Entonces el sistema original tiene infinitas soluciones dadas por: α 1 = α 3, α = 3α 3 Así, por ejemplo, si α 3 = 1 entonces α 1 = y α = 3, con lo cual para que la ecuación (1.4) se satisfaga no todos los escalares involucrados deben ser nulos y por tanto el conjunto {x 3x, 3x +4, 11x 6x+1} es un conjunto linealmente dependiente. La noción de independencia lineal tiene especial importancia en lo que constituye una base de un espacio vectorial, que puede ser considerado como el conjunto que representa a un espacio vectorial. Por ejemplo, en el espacio IR 3 cualquier vector (a, b, c) puede ser escrito como (a, b, c) = ai + bj + ck; donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los llamados vectores unitarios. Estos vectores generan IR 3 y también se verifica, fácilmente, que son linealmente independientes. De la idea anterior surge la siguiente definición de base de un espacio vectorial.

21 16 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Definición 1.8. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto de vectores {v 1, v,..., v n }, subconjunto de V, se dice base de V si: i) {v 1, v,..., v n } es un conjunto linealmente independiente. ii) {v 1, v,..., v n } genera a V. Ejemplo En un ejemplo anterior (Ejemplo 1.11) se vio que en el espacio vectorial IR 3 el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera dicho espacio. Pues bien, si se tienen escalares α 1, α y α 3 tales que: lo que equivale a: α 1 (1, 0, 0) + α (0, 1, 0) + α 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) (1.5) obteniéndose que: (α 1, α, α 3 ) = (0, 0, 0) α 1 = 0, α = 0, α 3 = 0 Es decir, la única forma de que se cumpla la ecuación (1.5) es que los escalares involucrados sean todos nulos, lo que nos dice que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es un conjunto linealmente independiente. Dado que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera el espacio vectorial IR 3 y además es un conjunto linealmente independiente, entonces resulta ser una base de IR 3. Ejemplo Con relación al ejemplo anterior se tiene que, en general, si se define e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e = (0, 1, 0,..., 0), e 3 = (0, 0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0, 0,..., 1), elementos de IR n, entonces el conjunto {e 1, e,.., e n } constituye una base para el espacio vectorial IR n. El conjunto {e 1, e,.., e n } es la llamada base canónica de IR n. Ejemplo 1.0. En el espacio vectorial M (IR), el conjunto: {( ) ( ) ( ) ( )} ,,, es una base para dicho espacio vectorial. Se puede verificar de forma simple que es un conjunto generador de M x (IR) y que es un conjunto linealmente independiente.

22 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 17 En efecto, Si se tienen los escalares α 1, α, α 3 y α 4 tales que: α 1 ( ) o equivalentemente: + α ( ) ( α1 α + α 3 ( α 3 α 4 ) = ) ( α 4 ( ) ) = ( entonces, claramente α 1 = α = α 3 = α 4 = 0; lo que indica que se trata de un conjunto linealmente independiente. Por otro lado, cualquier elemento de M x (IR): ( ) a b c d puede ser escrito como ( ) ( a b 1 0 = a c d 0 0 ) ( b 0 0 ) ( c 1 0 ) ( d 0 1 lo que indica que el conjunto genera M (IR). Dicha base recibe el nombre de base canónica de M (IR). Ejemplo 1.1. En el Ejemplo 1.1 se verificó que el conjunto {x 3, x, x, 1} es un conjunto generador de P 3 ; el conjunto de polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes reales. También, en forma análoga se puede verificar que es un conjunto linealmente independiente. Por lo tanto, dicho conjunto constituye una base para P 3. En general se verifica que el conjunto {x n, x n 1,..., x, 1} es un base para P n ; el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales, con n un número natural. En forma análoga a los ejemplos anteriores, esta base recibe el nombre de base canónica de P n. A continuación se presentan ejemplos en la cual se verifica que existen bases en los espacios vectoriales en la cual no son conjuntos canónicos. Ejemplo 1.. Si se consideran el espacio vectorial IR 3 y el subconjunto de este espacio vectorial A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Entonces A es una base de IR 3. En efecto: i) En el Ejemplo 1.16 se probó que los elementos de IR 3 del conjunto A eran linealmente independientes; es decir, el conjunto A es linealmente independiente. ) )

23 18 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL ii) Sea (x, y, z) cualquier elemento de IR 3 y supongamos que existen α 1, α y α 3 tales que: o equivalentemente: α 1 (1, 1, 1) + α (1, 1, 0) + α 3 (1, 0, 0) = (x, y, z); (α 1 + α + α 3, α 1 + α, α 1 ) = (x, y, z); con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas α 1, α y α 3 : α 1 + α + α 3 = x α 1 + α = y α 1 = z Resolviendo este sistema se tiene que: α 1 = z, α = y z, α 3 = x y Esto prueba que el conjunto A genera a IR 3. i) y ii) verifican que A es base para el espacio vectorial IR 3 Ejemplo 1.3. En el espacio vectorial P 3, el conjunto {1, t +1, t 3 +t, t 3 +t} de elementos de P 3, es una base para este espacio vectorial. En efecto, i) Sean α 1, α, α 3 y α 4, tales que: α 1 (1) + α (t + 1) + α 3 (t 3 + t ) + α 4 (t 3 + t) = 0t 3 + 0t + 0t + 0, y operando en el primer miembro se tiene: (α 3 + α 4 )t 3 + (α + α 3 )t + α 4 t + α 1 + α = 0t 3 + 0t + 0t + 0 De la igualdad de polinomios, se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales: α 3 + α 4 = 0 α + α 3 = 0 α 4 = 0 α 1 + α = 0 De la tercera ecuación se tiene que α 4 = 0. Reemplazando este valor en la primera ecuación, α 3 = 0. Si los dos valores anteriores son reemplazados en la segunda y cuarta ecuación se obtiene: α = 0 y α 1 = 0. Lo anterior indica que el conjunto en cuestión es linealmente independiente.

24 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 19 ii) Sea at 3 +bt +ct+d cualquier elemento de P 3. Supongamos que existem escalares α 1, α, α 3 y α 4 tales que: α 1 (1) + α (t + 1) + α 3 (t 3 + t ) + α 4 (t 3 + t) = at 3 + bt + ct + d, y operando en el primer miembro se tiene: (α 3 + α 4 )t 3 + (α + α 3 )t + α 4 t + α 1 + α = at 3 + bt + bt + d Nuevamente, de la igualdad de polinomios se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales: α 3 + α 4 = a α + α 3 = b α 4 = c α 1 + α = d Resolviendo este sistema se obtiene: α 1 = a b c + d, α = a + b + c, α 3 = a c, α 4 = c Lo anterior indica que cualquier polinomio de grado menor o igual que tres puede ser escrito como una combinación lineal de los elementos 1, t + 1, t 3 + t y t 3 + t. Así, dichos elementos generan P 3 i) y ii) verifican que el conjunto {1, t + 1, t 3 + t, t 3 + t} es una base para P 3. Ejemplo 1.4. En el Ejemplo 1.15 se demostró que los vectores en IR 3, (, 0, 4) y ( 1, 0, 3) generan el plano de ecuación x + y z = 0, que corresponde a un subespacio del espacio vectorial IR 3. Estos vectores, aparte de generar este plano, forman un conjunto linealmente independiente. Lo anterior nos lleva a concluir que el conjunto {(, 0, 4), ( 1, 0, 3)} constituye una base para el plano de ecuación x + y z = 0. A continuación se entrega un resultado importante sobre bases de un espacio vectorial lo que dará origen al concepto de dimensión de un espacio vectorial. Teorema 1.5. Toda base de un espacio vectorial V tiene el mismo número de elementos. Definición 1.9. El número de elementos de cualquier base de un espacio vectorial V recibe el nombre de dimensión de V y se denota por dim(v). De acuerdo a los ejemplos anteriores se tiene entonces que:

25 0 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL 1.- dim(ir 3 ) = 3. En general, para cualquier número natural n, dim(ir n ) = n.- dim(p 3 ) = 4. En general para cualquier número natural n, dim(p n ) = n dim(m x (IR)) = 4. Con respecto de los conceptos de base y dimensión se tiene el siguiente resultado importante. Teorema 1.6. Sea V un espacio vectorial de dimensión n. Si el conjunto de elementos de V, A = {v 1, v,..., v n } es linealmente independiente, entonces A es una base para V. Ejemplo 1.5. En el espacio vectorial IR 3, el conjunto B = {( 1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} es un conjunto linealmente independiente y por lo tanto una base de IR 3. En efecto, Sean los escalares α 1, α y α 3 tales que con lo cual se tiene que: α 1 ( 1, 1, 1) + α (1, 0, 1) + α 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0), ( α 1 + α, α 1, α 1 + α + α 3 ) = (0, 0, 0); obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales: α 1 + α = 0 α 1 = 0 α 1 + α + α 3 = 0 De la segunda ecuación se tiene que α 1 = 0. Si se reemplaza este valor en la primera ecuación y después en la tercera se llega a que α = 0 y α 3 = 0, respectivamente. Esto verifica que B es un conjunto linealmente independiente. Como se sabe que dim(ir 3 ) = 3 y B es un conjunto linealmente independiente con tres elementos; constituyendo una base para IR TRANSFORMACIONES LINEALES Esta sección se abocará a estudiar un tipo especial de funciones. Aparte de tener que cumplir unas condiciones diferentes a las funciones reales valuadas conocidas, la particularidad que tendrán dichas funciones es que van de un espacio vectorial en otro.

26 1.. TRANSFORMACIONES LINEALES Definiciones y Ejemplos Definición Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una Transformación Lineal (T.L.) T es una función que asigna a cada vector v V un único vector T(v) W y que satisface, para cada u, v en V y cada α K : 1. T(u + v) = T(u) + T(v). T(αu) = αt(u) Observación En lo que sigue V y W denotarán espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales IR. Ejemplo 1.6. Sea T : IR IR 3 definida por T(x, y) = (x + y, x y, 3y). Entonces T es una transformación lineal. En efecto: Sean (x 1, y 1 ) y (x, y ) en IR y α en IR i) T((x 1, y 1 ) + (x, y )) = T(x 1 + x, y 1 + y ) =((x 1 +x )+(y 1 +y ), (x 1 +x ) (y 1 +y ), 3(y 1 +y )) =((x 1 +y 1 )+(x +y ), (x 1 y 1 )+(x y ), 3y 1 +3y ) =(x 1 + y 1, x 1 y 1, 3y 1 ) + (x + y, x y, 3y ) =T(x 1, y 1 ) + T(x, y ) Así T((x 1, y 1 ) + (x, y )) = T(x 1, y 1 ) + T(x, y ) ii) T(α(x 1, y 1 )) = T(αx 1, αy 1 ) = (αx 1 + αy 1, αx 1 αy 1, 3αy 1 ) = (α(x 1 + y 1 ), α(x 1 y 1 ), 3αy 1 ) = α(x 1 + y 1, x 1 y 1, 3y 1 ) = αt(x 1, y 1 ) Así T(α(x 1, y 1 )) = αt(x 1, y 1 ) Por lo tanto, i) y ii) verifican que T es una transformación lineal. Ejemplo 1.7. Sea I : V V definida por I(v) = v, entonces I es una transformación lineal. Para todo u y v en V y α en IR se tiene que: i) I(u + v) = u + v = I(u) + I(v) ii) I(αu) = αu = αi(u) Así i) y ii) verifican que I es una transformación lineal.

27 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Ejemplo 1.8. Sea T : M x (IR) IR ; donde M x (IR) es el conjunto de las matrices cuadradas de orden, tal que: ( ) a b T = (a + c, b + d) c d Entonces T definida de esta manera es un transformación lineal. En efecto: ( ) ( ) a b e f Sean y en M c d g h x (IR) y sea α en IR, luego: (( ) ( )) ( ) a b e f a + e b + f i) T + = T c d g h c + g d + h ii) T = ((a + e) + (c + g), (b + f) + (d + h)) = ((a + c) + (e + g), (b + d) + (f + h)) = (a + c, b + d) + (e + g, f + h) ( ) ( ) a b e f = T + T c d g h ( ( )) ( ) a b αa αb α = T c d αc αd = (αa + αc, αb + αd) = (α(a + c), α(b + d)) = α(a ( + c, b + ) d) a b = αt c d i) y ii) verifican que T es una transformación lineal. A continuación se darán algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales: Proposición 1.1. Sean T y L dos transformaciones lineales de V en W, entonces: a) T( v) = T(v), para todo v en V. b) T(θ V ) = θ W ; donde θ V es el vector nulo del espacio vectorial V y θ W es el vector nulo del espacio vectorial W. c) T + L es una T.L.. d) αt es una transformación lineal, para todo escalar α. Demostración a) De la definición de transformación lineal. b) Sea v en V, entonces: T(θ V ) = T(v + ( v))

28 1.. TRANSFORMACIONES LINEALES 3 = T(v) + T( v), (por ser T T.L..) = T(v) + ( T(v)), (de la definición de transformación lineal.) = T(v) T(v), (por propiedad de espacios vectoriales, (T(v) W)) = θ W c) Sean u, v vectores cualesquiera de V y λ un escalar, entonces: i) (T + L)(u + v) = T(u + v) + L(u + v), (por definición de suma de ii) (T + L)(λu) = T(λu) + L(λu), funciones). = (T(u) + T(v)) + (L(u) + L(v)), (T y L son T.L.). = (T(u) + L(u)) + (T(v) + L(v)), (por conmutatividad y asociatividad en un espacio vectorial). = (T + L)(u) + (T + L)(v), (por definición de suma de funciones). (por definición de suma de funciones). = λt(u) + λl(u), (T y L T.L.). = λ(t(u) + L(u)) = λ(t + L)(u), (por definición de suma de funciones). De i) y ii) se tiene que T + L es una T.L. de V en W. d) Sean u, v vectores cualesquiera de V y λ un escalar, entonces: i) (αt)(u + v) = αt(u + v), (por propiedades de funciones). ii) (αt)(λu) = αt(λu). = α(t(u) + T(v)), (T es una T.L.). = αt(u) + αt(v). = (αt)(u) + (αt)(v), (por propiedad de funciones). = α(λt(u)), (T es T.L.). = λ(αt(u)) = λ(αt)(u). De i) y ii) se tiene que αt es una T.L.. Proposición 1.. Si T : V W y L : W Z son transformaciones lineales, entonces: es una transformación lineal. L T : V Z Demostración. Cualesquiera sean u, v en V y cualquier escalar λ se tiene:

29 4 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL i) (L T)(u +v) = L(T(u +v)), (por definición de composición de funciones). = L(T(u) + T(v)), (T es una T.L.). = L(T(u)) + L(T(v)), (L es una T.L.). = (L T)(u)+(L T)(v), (por definición de composición de funciones). ii) (L T)(λu) = L(T(λu)), (por definción de composición de funciones). = L(λT(u)), (T es una T.L.). = λl(t(u)), (L es una T.L.). = λ(l T)(u), (por definición de composición de funciones). De i) y ii) se tiene que L T es una transformación lineal. Proposición 1.3. Sea T : V W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v 1, v,.....,v n en V y todos los escalares α 1, α,....., α n se tiene que: a) T(u v) = T(u) T(v) b) T(α 1 v 1 + α v α n v n ) = α 1 T(v 1 ) + α T(v ) α n T(v n ) Observación Esta última proposición puede ser verificada fácilmente. La demostración de parte a) se basa en la demostración de la Proposición 1.1 parte a) y la parte b) se realiza por inducción. Definición Sea T : V W una transformación lineal. Se llama Kernel o Núcleo de T al conjunto de todos los vectores v tales que su imagen es el vector nulo de W y se denota por Ker(T); es decir, Ker(T) = {v ǫ V : T(v) = θ W } Definición 1.1. Sea T : V W una transformación lineal. Se llama Imagen de T al conjunto de las imagenes de todos los vectores de V ; es decir, al recorrido de la función T y se denota por Im(T). Así: o también Im(T) = {y ǫ W : x ǫ V, T(x) = y} Im(T) = {T(x) : x ǫ V } Para los conjuntos Ker(T) e Im(T) recién definidos, se tiene el siguiente resultado importante. Teorema 1.7. Si T : V W es una transformación lineal, entonces

30 1.. TRANSFORMACIONES LINEALES 5 a) Ker(T) es un subespacio de V. b) Im(T) es un subespacio de W. Demostración a) i) Si u y v son elementos del Ker(T), entonces T(u) = θ W y T(v) = θ W. Luego T(u + v) = T(u) + T(v) = θ W + θ W = θ W, con lo cual u + v es un elemento del Ker(T). ii) Si λ es un escalar y u es un elemento del Ker(T), entonces T(λu) = λt(u) = λθ W = θ W, y así λu es un elemento del Ker(T). De i) y ii) Ker(T) es un subespacio de V b) i) Si w 1 y w son elementos del Im(T), entonces existen u y v en V tal que T(u) = w 1 y T(v) = w. Luego w 1 +w = T(u)+T(v) = T(u+v) y como u+v es un elemento del V, w 1 +w es un elemento de Im(T). ii) Si λ es un escalar y w es un elemento del Im(T), entonces existe u en V tal que T(u) = w, con lo cual T(λu) = λt(u) = λw y como λu es un elemento de V, entonces λw es un elemento de Im(T). Así de i) y ii) se verifica que Im(T) es un subespacio de W. Ejemplo 1.9. Sea T : V V, la transformación lineal identidad; es decir T(v) = v, entonces Ker(T) = {θ V } e Im(T) = V Ejemplo Sea T : IR 3 IR 3 definida por T(x, y, z) = (x, y, 0). Si T(x, y, z) = (0, 0, 0) entonces, (x, y, 0) = (0, 0, 0), con lo cual x = 0 e y = 0 y así Ker(T) = {(0, 0, z) : z IR}. Por la definición de T, Im(T) = {(x, y, 0) : x, y IR} = IR. Definición Si T es una transformación lineal de V en W, entonces se define Nulidad de T, denotado por ρ(t), a la dimensión de Ker(T) y Rango de T, denotado por ν(t), a la dimensión de Im(T). A modo de ilustración, para la transformación lineal del Ejemplo 1.30, se tiene ρ(t) = 1 y ν(t) =. La siguiente proposición sirve para obtener de una manera fácil un conjunto generador del subespacio Im(T). Proposición 1.4. Si {v 1, v,...,v n } es una base de un espacio vectorial V y T : V W una transformación lineal, entonces {T(v 1 ), T(v ),...,T(v n )} genera Im(T).

31 6 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Demostración. Sea w un elemento de la Im(T), entonces existe v en V tal que T(v) = w. Como v es un elemento de V existen escalares α 1, α,....α n tales que de donde, v = α 1 v 1 + α v α n v n ; w = T(v) = T(α 1 v 1 + α v α n v n ) Por propiedad de transformación lineal se tiene que: w = α 1 T(v 1 ) + α T(v ) α n T(v n ) con lo cual el vector w es una combinación lineal de T(v 1 ), T(v ),..., T(v n ). Como w es un elemento arbitrario en el espacio Im(T), {T(v 1 ), T(v ),..., T(v n )} genera Im(T). Ejemplo Sea T : IR IR 3 definida por T(x, y) = (x + y, x y, 3y), una transformación lineal. Tomemos la base canónica de IR ; es decir, el conjunto {(1, 0), (0, 1)}. Ahora, T(1, 0) = (1, 1, 0), T(0, 1) = (1, 1, 3). Por proposición anterior, se tiene que Im(T) es el conjunto generado por los elementos (1, 1, 0) y (1, 1, 3); siendo estos elementos linealmente independientes y por lo tanto forman una base para Im(T)..- Sea T : IR 3 IR definida por T(x, y, z) = (x, y + z), una transformación lineal. Consideremos la base canónica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de IR 3. Al evaluar T en cada elemento de la base se tiene que T(1, 0, 0) = (1, 0), T(0, 1, 0) = (0, 1) y T(0, 0, 1) = (0, 1); es decir Im(T) es generada por los elementos (1, 0) y (0, 1), que conforman la base canónica de IR. Así Im(T) = IR. La siguiente proposición, establece que una transformación inyectiva transforma una base de V en una base de Im(T). La subsiguiente proposición, da un criterio para determinar cuando una transformación lineal es inyectiva. Proposición 1.5. Si {v 1, v,...,v n } es una base de un espacio vectorial V y T : V W una transformación lineal inyectiva, entonces {T(v 1 ), T(v ),..., T(v n )} es una base de Im(T). Demostración. Sean k 1, k,...,k n n escalares tales que: k 1 T(v 1 ) + k T(v ) + + k n T(v n ) = θ W.

32 1.. TRANSFORMACIONES LINEALES 7 De la linealidad de T y T(θ V ) = θ W, podemos reescribir la identidad anterior como, T(k 1 v 1 + k v + k n v n ) = T(θ V ). Como T es inyectiva se tiene que k 1 v 1 + k v + k n v n = θ V. Pero como{v 1, v,...,v n } es una base de V, se deduce que k 1 = k = = k n = 0; con lo cual el conjunto {T(v 1 ), T(v ),..., T(v n )} es un conjunto linealmente independiente. De la Proposición 1.4 el conjunto {T(v 1 ), T(v ),...,T(v n )} genera Im(T) y por lo tanto es una base de Im(T). Proposición 1.6. Sea T : V W una transformación lineal. Entonces, T es inyectiva sí y sólo si Ker(T) = {θ V }. Demostración. La demostración se realizará por doble implicación = ) Supongamos que T es una transformación lineal inyectiva. Luego u ǫ Ker(T) se tiene que T(u) = θ W o T(u) = T(θ V ), dado que T(θ V ) = θ W. De la inyectividad de T resulta u = θ V, con lo cual Ker(T) = {θ V }. =) Supongamos ahora que Ker(T) = {θ V }. Sean u y v V tal que T(u) = T(v), luego: T(u) T(v) = θ W y como T es una transformación lineal implica que T(u v) = θ W Esta última ecuación dice que u v Ker(T) y como supusimos que Ker(T) = {θ V } se tiene que u = v, lo que indica que T es inyectiva. Observación 1.1. La inyectividad de una transformación lineal queda sujeta a si el Kernel va ser el conjunto que solo contiene al vector nulo. La sobreyectividad va a depender si la Imagen es todo el co-dominmio de la transformación. De lo anterior se puede decir que una transformación lineal es biyectiva si el Kernel es el conjunto que sólo contiene al vector nulo y la Imagen es el espacio vectorial de llegada de la transformación.

33 8 CAPÍTULO 1. ALGEBRA LINEAL Proposición 1.7. Sea T : V W una transformación lineal biyectiva. Entonces la transformación inversa T 1 : W V es también una trasformación lineal. La demostración de la proposición anterior se deja como ejercicio. A continuación se enuncian dos resultados importantes de transformaciones lineales y cuyas demostraciones no serán desarrolladas: Teorema 1.8. (Teorema de las dimensiones). Si T : V W es una transformación lineal, entonces: dim(v ) = dim(ker(t)) + dim(im(t)) En referencia al teorema anterior, si se considera el Ejemplo 1.30 en el cual se tiene la transformación lineal T : IR 3 IR 3, definida por T(x, y, z) = (x, y, 0), se obtuvo que Ker(T) = {(0, 0, z) : z IR} y Im(T) = IR ; de donde se tiene que: dim(ir 3 ) = dim(kert(t)) + dim(im(t)) 3 = 1 + Teorema 1.9. (Teorema Fundamental del Algebra Lineal). Sean {v 1, v,....v n }, una base de V y {w 1, w,...., w n } un conjunto arbitrario de vectores de W. Entonces existe una única transformación lineal T : V W, tal que T(v i ) = w i, i = 1,,...., n. Ejemplo 1.3. Sea la transformación lineal T : P IR tal que T(t+1) = (1, 1), T( t + 1) = (0, 1) y T(t t) = (1, 0). Bajo estas condiciones se puede obtener la ecuación que define la transformación. En efecto: Se verifica que el conjunto {t + 1, t + 1, t t} es una base de P y de hecho cualquier vector at +bt+c de P se puede escribir como una combinación lineal de los elementos de esta base de la siguiente manera: at + bt + c = a + b + c (t + 1) a + b c ( t + 1) + a b + c (t t) Aplicando la transformación T en ambos miembros: T(at + bt + c) = a + b + c T(t + 1) a + b c T( t + 1) + a b + c T(t t) = a + b + c (1, 1) a + b c (0, 1) + a b + c (1, 0) = (a + c, c)

34 1.. TRANSFORMACIONES LINEALES Representación Matricial de una Transformación Lineal El operar con transformaciones lineales a veces puede resultar un poco dificultoso. En esta subsección veremos que cualquier transformación lineal puede ser representada por una matriz y, que de acuerdo a algunos resultados, el operar con transformaciones lineales es equivalente a operar con matrices asociadas, resultando esto último más sencillo. Sean B 1 = {v 1, v,...., v n } y B = {w 1, w,...., w m }, bases de V y W, respectivamente. Consideremos una transformación lineal T : V W. Entonces se tendría lo siguiente: si a ij son escalares, i = 1,..., m; j = 1,..n, entonces La matriz: T(v 1 ) = a 11 w 1 + a 1 w a m1 w m T(v ) = a 1 w 1 + a w a m w m T(v n ) = a 1n w 1 + a n w a mn w m a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n A =......, a m1 a m... a mn cuya j-ésima columna está formada por los escalares a 1j, a j,...,a mj del transformado por T del j-ésimo elemento de la base B 1 con respecto de la base B, se llama Matriz Asociada a T con respecto de las bases B 1 y B. La matriz así definida es denotada por M[T] B1 B o [T] B1 B. Se puede observar que el orden de dicha matriz es de m n, donde m es la dimensión de W y n es la dimensión de V. Ejemplo Sea T : IR 3 IR una transformación lineal, tal que: T(x, y, z) = (x+y, z). Consideremos las bases B 1 = {(3, 0, 0), (1,, 1), (0, 1, 5)} de IR 3 y B = {(1, 1), (, 3)} de IR. Entonces: T(3, 0, 0) = (3, 0) = 9(1, 1) 3(, 3) T(1,, 1) = (3, 1) = 7(1, 1) (, 3) T(0, 1, 5) = (1, 5) = 13(1, 1) 6(, 3) Así, la matriz asociada a la transformación es: ( [T] B1 B = 3 6 )