PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 3. Transformaciones Lineales

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1 Tema. Transformaciones Lineales TEMA: TRANSFORMACIÓN LINEAL, NÚCLEO Y RECORRIDO Problema : Sean P el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficientes reales y la transformación F: definida por: P Fabc (,, ) = ( a+ bv ) cv ; donde Determinar si F es lineal. v = + ; v = x P abc,, x SOLUCIÓN: Se define la función sustituyendo los valores de v y v dados: F( a, b, c) = ( a+ b)( x + ) c(x ) = ( a+ b) x cx+ ( a+ b+ c) F a b c a b x cx a b c (,, ) = ( + ) + ( + + ) Se verifican los dos axiomas para que una función sea una transformación lineal:.- Superposición: Fu ( + v) = Fu ( ) + Fv ( ): Sean u = ( a, b, c) F() u = ( a+ b) x cx+ ( a+ b+ c) v= ( a, b, c ) u+ v= ( a + a, b + b, c + c ) F() v = ( a + b) x cx+ ( a + b + c) Fu ( + v) = ( a+ a + b+ b) x ( c+ c) x+ ( a+ a + b+ b + c+ c) Sustituyendo en el axioma Fu ( + v) = Fu ( ) + Fv ( ): ( a+ a+ b+ b) x ( c+ c) x+ ( a+ a+ b+ b+ c+ c) = ( a+ b) x cx + ( a+ b+ c) + ( a+ b) x cx + ( a+ b+ c) ( a + a + b+ b) x ( c + c ) x+ ( a + a + b+ b + c + c ) = ( a + a + b+ b) x ( c + c ) x+ ( a + a + b+ b + c + c ).- Homogeneidad: F( α u) =α F( u) : Sea u a b c α = ( α, α, α ) F( α u) = ( α a +αb ) x α c x+ ( α a +α b +α c ) Sustituyendo en el axioma F( α u) =α F( u) : ( α a+αb) x α cx+ ( α a+α b+α c) =α ( a+ b) x cx+ ( a+ b+ c) ( ) ( ) Nueva función α a+ b x cx+ ( a+ b+ c) =α a+ b x cx+ ( a+ b+ c) Cumple Por tanto, la transformación F sí es lineal. Cumple DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

2 Problema : Sea la transformación PROBLEMAS RESUELTOS Tema. Transformaciones Lineales S: P R, definida por: Sax bx c a bc ( + + ) = ( +, ) Determinar: (a) Si S es una transformación lineal (b) El núcleo de la transformación S (c) El recorrido de la transformación S dim P = dim N S + dim S P (d) Verificar ( ) ( ) SOLUCIÓN: (a) Para determinar si S es lineal, se verifican los dos axiomas siguientes:.- Superposición: Sean: S( v+ v) = S( v) + S( v) = + + S( v ) = ( a + b,c ) v a x b x c v a x b x c = + + S( v ) = ( a + b,c ) ( ) ( ) ( ) v + v = a + a x + b + b x+ c + c Sustituyendo en el axioma, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) S v + v = a + a + b + b,c + c = S v + S v Cumple.- Homogeneidad: S( α v) =α S( v) Sea α v =α ax +α bx+αc S( v) ( a b, c) S( v) α = α +α α =α Cumple Por tanto, la transformación S sí es lineal. (b) El núcleo N(S) de la transformación se define como ( ) = { ( ) = 0 R } N S v P S v. Se propone al vector v = ax + bx+ c P. Se iguala la imagen de v con el vector cero del codominio: DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

3 Tema. Transformaciones Lineales ( ) = ( + + ) = ( +, ) = ( 0,0) S v S ax bx c a b c Igualando términos en los vectores anteriores: a+ b= 0; c = 0 De donde a= b y c = 0. Por tanto, el vector propuesto se transforma en: Finalmente, el núcleo es: N ( S) = { bx + bx b R} ( S) dim N = v = ax + bx+ c = bx + bx. (c) El recorrido de la transformación se determina a partir de la base canónica del dominio P = { ax + bx + c a,b,c R} : B de P x,x, } { = Se obtienen las imágenes de los vectores de la base canónica anterior: ( ) = ( 0) S x, ( ) = ( 0) () = ( 0) S x, S, Las imágenes anteriores constituyen el Conjunto Generador del recorrido: {( 0) ( 0) ( 0)} C.G =,,,,, Se determina el Espacio Renglón del conjunto generador anterior: { ( ) = ( 0) ( 0)} B de S P,,, Obteniendo el vector genérico con la base canónica anterior: ( 0) ( 0) ( 0) ( 0 ) ( ) w= a, + b, = a, +,b = a,b DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

4 Tema. Transformaciones Lineales Finalmente, el recorrido es: S( P ) {( a,b) a,b R} dim S ( P ) = =. (d) Verificando dim P dim N ( S ) dim S ( P ) = + se tiene: Problema : Para la transformación lineal = + Cumple S: R M definida por: x y y+ z Sxyz (,, ) = y + z x y+ z donde M es el espacio vectorial real de las matrices simétricas de orden dos con elementos reales, obtener: (a) El núcleo NSde ( ) la transformación, su dimensión y una de sus bases. (b) El recorrido SR ( ) de la transformación, su dimensión y una de sus bases. (c) Demostrar que: dim R = dim NS ( ) + dim SR ( ). SOLUCIÓN: (a) Esquemáticamente la transformación es: R = Dominio Núcleo S M =Codominio Recorrido El núcleo está dado por el conjunto NS ( ) { v R Sv ( ) 0M } = =. Para determinar N(S), se propone al vector: v x y z R = (,, ). Cuya imagen es: 0M x y y+ z 0 0 Sv () = = y+ z x y+ z 0 0 DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 4 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

5 Tema. Transformaciones Lineales Igualando términos en los vectores anteriores, se llega al sistema de ecuaciones: x y = 0 y+ z = 0 x y+ z = 0 Resolviéndolo matricialmente, se tiene: 0 ( ) 0 0 x y = ( ) 0 y+ z = z = 0 x = y x = z y = z z = z Es decir, el vector v= ( x, y, z) propuesto originalmente se transforma en: Por tanto: { } v= ( z, z, z) NS ( ) = ( z, zz, ) z Núcleo de transformación S dim NS ( ) = Dimensión { } B de N( S ) = (,,) Base canónica (b) El recorrido es un conjunto de la forma: SR ( { } ) Su ( ) u R =. El dominio de la transformación S es R {( x, y, z) x, y, z } =. La base canónica del dominio es {(,0,0),(0,,0),(0,0,)} B de R =. Las imágenes de los vectores de la base canónica anterior son: 0 S(,0,0) = 0 ; S(0,,0) = ; 0 S(0,0,) = Las cuales, constituyen al conjunto generador del recorrido: 0 0 CG.. =,, 0 DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 5 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

6 Tema. Transformaciones Lineales Se obtiene el espacio renglón generado por el conjunto anterior (aplicando isomorfismo): 0 0 () Matriz canónica escalonada B des( R ) =, Vector genérico del recorrido (haciendo combinación lineal con los vectores de la base canónica anterior): Finalmente: 0 0 a b w= a b w 0 + = = b a+ b a b S( R ) = a, b R b a+ b Recorrido de la transformación S = dim SR ( ) Dimensión (c) Se verifica el teorema: dim R = dim NS ( ) + dim SR ( ) = + Cumple Problema 4: Para la transformación lineal T : R R definida por: Obtener: (a) El núcleo de T y su dimensión. (b) El recorrido de T y su dimensión. SOLUCIÓN: (,, ) = ( +,6, + ) T x y z x y x z y z (a) El núcleo está dado por el conjunto N( T) = { v R T( v) = 0R } Se propone al vector ( ) v= x, y, z R, cuya imagen es: DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 6 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

7 Tema. Transformaciones Lineales ( ) = ( +,6, + ) = 0 R = ( 0,0,0 ) T v x y x z y z x + y = 0 Igualando términos: 6x z = 0 y + z = 0 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior matricialmente: x + y = 0 y + z = 0 0 0z = 0 z = k R ; y = z y = k ; x = y x = k = Por tanto, el vector propuesto originalmente se transforma en: v =, k 6 Siendo el núcleo de la transformación T: ( x, y, z) = k, k = ( k, k, 6k) = v ( ) = {(,,6 ) R} dim N ( T ) = N T k k k k k = 6 x (b) Para determinar el recorrido de la transformación, se toma en cuenta el dominio: {(,, ),, } R xyz xyz R = ; dim R = La base canónica del dominio R es B de R = ( ) ( )( )} {,0,0, 0,,0 0,0,. Las imágenes de la base canónica anterior, constituyen al conjunto generador C.G. del recorrido: T T T (,0,0) (,6,0) ( ) ( ) ( 0,0,) ( 0,,) = 0,, 0 =, 0, CG.. =, 6, 0,, 0,, 0,, = {( ) ( ) ( )} DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 7 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

8 Tema. Transformaciones Lineales Determinando el espacio renglón a partir del conjunto generador anterior: De la matriz en forma canónica escalonada se obtiene: El vector genérico es por tanto: Finalmente, el recorrido es: {( ) ( )} B det R = ( ), 0,, 0,, (, 0, ) ( 0,, ) (,, ) w= a + b = a b a b = w ( ) = {(,, ), } ; ( ) T R ab a b ab R dimt R = Forma escalonada (c) Verificando el axioma R = ( ) + T( R ) dim dim N T dim : = + Se cumple DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS 8 de 8 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS