MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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- Rocío María Nieves Gómez Araya
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1 Departamento de Matemática Aplicada II EEI ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o 1 ( MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Sean A, B, C, D y E matrices de tamaño 4 5, 4 5, 5 2, 4 2 y 5 4, respectivamente Determinar cuáles de las siguientes expresiones matriciales están definidas Para áquellas que están definidas, calcular el tamaño de la matriz resultante a BA b AE + B c E(AC d (A t + ED 2 Se consideran las matrices reales D = ( ( 8 1 6, B = Calcular, si es posible, las siguientes matrices: (a 3A + 2B (c AC y CA (b B A, C =, E = ( 1, 2, 3, F = (d ED, EF, F E y EE t F t F , 3 Dadas las matrices se pide: ( y B = ( , (a Determinar la matriz X en las siguientes ecuaciones: (a1 A + X = B (a2 A t + 3X = 0 (b Hallar las soluciones X, Y M 2 3 (R del siguiente sistema de ecuaciones: 4 Se consideran las matrices ( 4 5, B = 3 4 3X + Y = B 5X + 2Y = A ( , C = (a Probar que A y B son matrices regulares y calcular A 1 y B 1 (
2 (b Resover, si es posible, las siguientes ecuaciones matriciales: (b1 BX = C (b2 3BX A t = 0 (b3 AX BX = I (b4 AXB = A + B ( ( Si y AB =, determinar la primera y la segunda columnas de la matriz B 6 Probar que si una matriz cuadrada A satisface A 2 3A + I = 0, entonces A 1 = 3I A 7 Probar que si una matriz cuadrada A verifica que A 3 + 4A 2 2A + 7I = 0, también lo hace A t 8 Si A, B, y C son matrices cuadradas inversibles, tiene la ecuación C 1 (A + XB 1 = I una solución? En caso afirmativo, calcularla 9 Reducir cada una de las siguientes matrices a forma escalonada de filas y determinar su rango: , B = , C = , D = , E = , F = Calcular, según los distintos valores de α, β R, el rango de las matrices: α β 1 2 αβ 1, B = , 2 β α 0 0 α C = α, D = β α 11 Cuáles de las siguientes matrices están en forma escalonada de filas? Cuáles están en forma escalonada reducida de filas? ( , B = 0 0 0, C = 0 0 2, D = , E = , F =
3 12 Se considera la matriz real cuya forma escalonada reducida de filas es R = Calcular, si es posible, los valores de α, β, γ y δ β 2 α 1 8 α δ 3 γ Dada la matriz S M p n (R, con p n tal que S t S M n n (R es regular, construimos T = S(S t S 1 S t M p p (R Demostrar si son verdaderas o falsas las siguientes ecuaciones: (a T 2 T = θ p p (b T S S = θ p n 14 Para cada una de las siguientes matrices, calcular el determinante e indicar si son inversibles , B = , C = , Sean A y B dos matrices de orden 5 con det(a = 4 y det(b = 3 Hallar los valores de: a det (AB b det (5A c det (A 1 B d det ( B e det (AA t f det (A 3 g det (B t A h det ((3A 1 16 Sabiendo que a b c d e f g h i hallar los siguientes determinantes: a b c (a d e f 4g 4h 4i a b c (b 2d + a 2e + b 2f + c g h i a + b + c b c (c d + e + f e f g + h + i h i = 5, 17 Calcular sin desarrollar, el siguiente determinante: a + 1 a a a a a + 1 a a a a a + 1 a a a a a + 1 3
4 18 Sea A M n n (C Probar que: (a Si A 2 = I entonces det (A = 1 (b Si A es ortogonal entonces det (A 2 = 1 (c Si n es impar y A es antisimétrica entonces det (A = 0 (d Si P M n n (C es una matriz inversible entonces det (P 1 AP = det (A 19 Calcular los polinomios a que dan lugar los determinantes de las matrices A xi siendo: , Sea la matriz (a Calcular det(a, es A inversible? En caso afirmativo, hallar det(a 1 (b Usar el valor calculado en el apartado anterior para calcular: i ii (c det(3a x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 0 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 6x 2 + x 3 + 4x 4 = Determinar la solución general de cada uno de los siguientes sistemas homogéneos: 2x 1 + x 2 + x 3 = 0 4x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 0 8x 1 + 4x 2 + x 3 = 0 22 (a Probar que el sistema de ecuaciones lineales Ax = b, donde , b = tiene una única solución y determinarla, 4
5 (b Utilizar esta solución para hallar los escalares α 1, α 2, α 3 tal que = α α α Calcular los valores de los parámetros α y β para los que el sistema (a no tiene solución, (b tiene una única solución, y (c tiene solución no única x i 1 + αx 2 = 2 x ii 1 + 3x 2 = 2 2x iii 1 x 2 = α 4x 1 + 8x 2 = β 3x 1 + αx 2 = β 6x 1 + 3x 2 = β Dar respuestas de cada apartado por separado 24 Determinar la existencia y unicidad de las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (a (b (a 3x 2 6x 3 + 6x 4 + 4x 5 = 5 3x 1 7x 2 + 8x 3 5x 4 + 8x 5 = 9 3x 1 9x x 3 9x 4 + 6x 5 = 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 10 2x 1 + 2x 2 + x 4 = 44 3x 1 + 3x 2 + 7x 3 x 4 = 18 x 1 3x 2 + x 3 = 1 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 + 4x 2 2x 3 = 1 5x 1 8x 2 + 2x 3 = 5 25 Hallar, si es posible, la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (b x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 x 3 x 4 = 2 3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 5 3x 1 + 6x 2 x 3 x 4 = 4 26 Discutir según los valores de α, β R y resolver en los casos en que sea posible el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y 2z t + u = α x y + 2t u = 2 x + 2y 2z 3t + 2u = β x z 2u = 2 2x 3y + z + 6t u = β 27 Sea (a ij M 4 4 (R la matriz definida por a ij = ( 1 max{i,j, donde 1 i, j 4 (a Resolver el sistema de ecuaciones lineales Ax = b donde b = (4, 2, 4, 2 t 28 Dado el sistema : 3x y = ax 5x +y +2z = ay 4y +3z = az Discutirlo según los valores del parámetro a R 5
6 29 Sean A, B M 2 3 (R, C M 2 2 (R las matrices ( , ( 1 0 1, B = 0 1 2, (a Hallar todas las matrices X que verifican la ecuación matricial CX + AB t = BB t ( 2 1, C = 6 3, (b Estudiar si es posible encontrar una solución de la ecuación anterior que verifique, además, X + X t = O 30 Se considera en M 2 2 (R las matrices ( β 1 β β ( 2 2, C = 2 2 Discutir según los valores de β R la existencia de soluciones de la ecuación matricial AXA t = C 6
Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
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