Álgebra Lineal, Ejercicios

Transcripción

1 Álgebra Lineal, Ejercicios MATRICES 1 Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal principal Sea G el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con traza nula Probar que (G, +) es un grupo abeliano 2 Probar que el producto de dos matrices triangulares superiores del mismo orden es otra matriz triangular superior a b c d 3 Comprobar que las matrices y conmutan b a d c ( ) Hallar las matrices que conmutan con la Probar que si A M n (IK) y r, s IK, entonces A y B = ra + si n conmutan 6 Explicar porqué en general (A ± B) 2 A 2 ± 2AB + B 2 y A 2 B 2 (A + B)(A B), en el anillo de las matrices cuadradas de orden n Comprobar que A = y B = y no conmutan y que (A+B) = A 2 +B 2 cosα sen α cosβ sen β 8 Dadas las matrices A = y B =, comprobar que se sen α cosα sen β cosβ verifica la siguiente igualdad (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 9 Calcular la potencia n ésima de las siguientes matrices a A = b y B = c Determinar las matrices cuadradas de segundo orden A tales que A 2 = I 2 (Se dice que A es involutiva) 11 Si A p = 0, siendo p un número natural, se dice que A es nilpotente Si p es el menor número natural para el que A p = 0 se dice nilpotente de índice p Comprobar que A = es nilpotente de índice Comprobar que, si A es nilpotente de índice 2, A(I n ± A) = A ( ) Dada A =, hallar el conjunto {B M 3 a 2 (IR) AB = 0} 14 Si A 2 = A, se dice que A es idempotente Comprobar que lo es la matriz A = Probar que si A, B M n (IR) son regulares también es regular AB y (AB) 1 = B 1 A 1

2 16 Probar que (ABC) T = C T B T A T 17 Probar que si A M n (IR) es regular entonces A T es regular y (A T ) 1 = (A 1 ) T 18 Calcular A(B + C), BA T, AB T y A(3B 2C), siendo A = 1 3 4, B = y C = Siendo A y B matrices cuadradas del mismo orden, se dice que A es congruente con B si existe una matriz regular P tal que A = P T BP Probar que la relación de congruencia es una relación de equivalencia en M n (IK) 20 Probar que si A es una matriz simétrica, también lo es A 2 21 Probar que si A es una matriz cuadrada A + A T es simétrica 22 Probar que toda matriz cuadrada puede descomponerse en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica 23 Probar que si A y B son matrices cuadradas simétricas (antisimétricas), la condición necesaria y suficiente para que la matriz AB sea simétrica es que A y B conmuten 24 Probar que la condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada de orden n sea involutiva es que (A + I n )(A I n ) = 0 25 Probar que si A es una matriz cuadrada de orden m simétrica (antisimétrica) y P es de dimensiones m n entonces, B = P T AP es otra matriz simétrica (antisimétrica) 26 Probar que si una matriz simétrica admite inversa, ésta es también simétrica Sean A = y B =, hallar X tal que AX = B Probar que si dos matrices A y B son regulares y conmutan, también conmutan A 1 y B, A y B 1, y A 1 y B 1 29 Probar que si las matrices simétricas A y B son regulares y conmutan entonces, las matrices A 1 B, AB 1 y A 1 B 1 son simétricas

3 DETERMINANTES 1 Probar que el determinante de una matriz antisimétrica de orden impar es 0 2 Comprobar los resultados: = 1, = 2, Desarrollar el determinante de Vandermonde: a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 = 16, 4 Comprobar los resultados: x a 1 a 2 a = 288, x x b 1 b x x x c 1 = x(x a 1 )(x b 1 )(x c 1 ), x x x x a a a a a b 1 = abc, a b b b a b c c = a(b a)(c b)(d c), + c a b c d a b c 2a 2a 2b b c a 2b 2c 2c c a b = (a + b + c)3, b + c c + a a + b = (a b)(a c)(b c), bc ca ab 5 Resolver las ecuaciones x x = 0, x x a b x a x x b b x x a x b a x = 0, 1 x x x x x 1 x x x x x 1 x x x x x 1 x x x x x 1 = 0 6 Calcular los determinantes de orden n: x , 1 1 x 1, x a x a a a a x a a a a x

4 RANGOS 1 Hallar el rango de las siguientes matrices: , , Probar que los rangos de AB y BA son distintos con A = y B = Hallar a y b para que la siguiente matriz tenga rango a b Hallar por el método de Gauss-Jordan la matriz inversa de las matrices , 1 1 0, , Expresar la matriz A = como producto de matrices elementales 6 Hallar la relación entre la matriz A y la canónica del mismo rango por medio de matrices elementales Siendo A la matriz Estudiar el rango de las siguientes matrices, según los valores de los parámetros,,, a 1 1 a a a b ab 1 b 1 b a 1 0 b 2 1 a b 2 2 a b 1 8 Demostrar que toda matriz real, triangular y ortogonal debe ser diagonal

5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Estudiar los siguientes sistemas de ecuaciones x y + z = 3 4x + 6y + 3z + 5v = 7 3x + 2y 5z = 2 (1) 2x + 3y + z + 2v = 4 (2) 5x + 3y 4z = 5 2x + 3y 4z + 5v = 2 x + 3y 2z = 0 x 8y + 8z = 0 3x 2y + 4z = 0 (3) x + 2y + z = m x + (m + 1)y + 2z = 3 2x + y + 2z = 1 4x + 2y + 5z = a x + 2y + 3z = 0 5x + 3y + z = 7 x + 2y + (m + 2)z = 3 x + 2y + (3m + 4)z = 7 2m x + 2y + z = m x + (m + 1)y + 2z = 3 x + 2y + (m + 2)z = 3 x + 2y + (3m + 4)z = 9 2m x + y + z + v = 1 x + (a + 2)y + az + bv = 4 2x + 2y + az + (b + 2)v = 4 (5) (6) (4) Estudiar los siguientes sistemas de ecuaciones y, en los casos de compatibilidad, dar un conjunto de variables principales (7) x + y + z = 1 2x + (a c + 2)y + (b + c + 1)z = d + 2 3x + (a c + 3)y + (3b + 4c + 2)z = c + 3d + 3 5x + (2a 2c + 5)y + (4b + 5c + 3)z = 2c + 4d + 6 (8)