Junio 2008: Sean las matrices B = Junio 2008: Calcular el rango de la matriz
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- Vicente Soler Piñeiro
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1 Septiembre 2008: Sea A una matriz 3 x 3 de columnas C 1, C 2 y C 3 (en ese orden). Sea B la matriz de columnas C 1 + C 2, 2C 1 + 3C 3 y C 2 (en ese orden). Calcular el determinante de B en función de A Junio 2008: Sean las matrices B = A 2 = B y A 3 = C y C = Calcular la matriz A, sabiendo que Junio 2008: Calcular el rango de la matriz Septiembre 2.007: Sean X una matriz 2 x 2, I la matriz identidad 2 x 2 y B = Hallar X sabiendo que BX + B = B 2 + I Septiembre 2.007: Discutir, en función del número real m, el rango de la matriz, 2 1 m A = 1 m 2 Junio 2.007: Hallar para qué valores de a es inversible la matriz A = a 4 3a 1 a y calcular la inversa para a = Junio 2.007: Sean las matrices A = 2, B = 2, C = 0 1 0, D = 2 y E = a) Hallar la matriz AB T donde B T indica la matriz traspuesta de B. Es inversible? (1 punto) b) Hallar el rango de A T D. (0 5 puntos) c) Calcular M = x y z que verifique la ecuación (AB T + C)M = E. (1 5 puntos) a Septiembre 2.006: Dada la matriz P = 2 a 1 0, determínense los valores del número real a para los cuales existe la matriz inversa de P
2 Junio 2.006: Hállense las matrices A cuadradas de orden 2, que verifican la igualdad: A = A a b Septiembre 2.005: Sea la matriz A =. Calcúlese el determinante de A sabiendo que 0 c A 2 2A + Id = 0, donde Id es la matriz identidad y 0 es la matriz nula Septiembre 2.005: Discútase, según el valor de a, el rango de la matriz Septiembre 2.005: Sea A = no es inversible (donde Id denota la matriz identidad) a. Determínense los valores de m para los cueles A + m Id Junio 2.005: Sea A una matriz 2 x 2 de columnas C 1, C 2 y determinante 4. Sea B otra matriz 2 x 2 de determinante 2. Si C es la matriz de columnas C 1 + C 2 y 3C 2, calcúlese el determinante de la matriz B C -1 Junio 2.005: Dadas las matrices A =, C = , hállense las matrices X que satisfacen XC + A = C + A 2 Septiembre 2.004: Sea A una matriz cuadrada de orden 4 cuyo determinante vale 3, y sea la matriz B = 4 3 A. Calcúlese el determinante de la matriz B Septiembre 2.004: Dadas las matrices P = y A = , hállese la matriz B sabiendo que P -1 BP = A Junio 2.004: Se tiene una matriz M cuadrada de orden 3 cuyas columnas son, respectivamente, C 1, C 2 y C 3 y cuyo determinante vale 2. Se considera la matriz A cuyas columnas son C 2, C 3 + C 2, 3 C 1. Calcúlese razonadamente el determinante de A -1 en caso de que exista esa matriz. (1 punto) Junio 2.004: Dada la matriz B = hállese una matriz X que verifique la ecuación XB + B = B -1
3 Septiembre 2.003: Se consideran las matrices: A = m ; B = número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible m donde m es un Septiembre 2.003: Si A y B son dos matrices cuadradas que verifican AB = B 2, cuándo se puede asegurar que A = B? (1 punto) Junio 2.003: Estudiar el rango de la matriz A, según los distintos valores de m : A = m Junio 2.003: Si A es una matriz cuadrada, la matriz A + A t es igual a su traspuesta? Razonar la respuesta. (A t es la matriz traspuesta de A) (1 punto) Septiembre 2.002: Dadas las matrices A = la matriz B + ma no tiene inversa , B = , hallar para qué valores de m Septiembre 2.002: Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2 A son iguales, calcular el determinante de A. Existe la matriz inversa de A? (1 punto) Junio 2.002: Sean A, B y X tres matrices cuadradas del mismo orden que verifican la relación A X B = I, siendo I la matiz unidad. a) Si el determinante de A vale -1 y el de B vale 1, calcular razonadamente el determinante de X. (1 5 puntos) b) Calcular de forma razonada la matriz X si A = 3 4 y B =. (1 5 puntos) Junio 2.002: Calcular razonadamente la matriz A sabiendo que se verifica la igualdad A 0 = (1 punto) Septiembre 2.001: Sea A una matriz tal que A 2 = A + I, donde I es la matriz identidad. Se puede asegurar que A admite inversa? Razonar la respuesta
4 Septiembre 2.001: Calcular el rango de la matriz Junio 2.001: Sea A una matriz cuadrada de orden 2 verificando 2 A 2 razonadamente los posibles valores del determinante de A = A. Calcular Junio 2.001: Encontrar todas las matrices C = 1 a b 1 que verifiquen la igualdad: C 2 0 = C Septiembre 2.000: Sean A y B matrices cuadradas con A = 2, y B = 3. Razonar cuánto vale el determinante de la matriz B -1 A B Junio 2.000: Una matriz cuadrada A tiene la propiedad de que A 2 = 2A + I, donde I es la matriz unidad. a) Demostrar que A admite matriz inversa, y obtenerla en función de A. b) Dada la matriz B = 1 m m, hallar para que valores de m se verifica que B2 = 2B + I, y para esos valores escribir la matriz inversa de B. Junio 2.000: Calcular el rango de la matriz punto) 2 m 3 4 m 1 m 2m según los valores de m. (1 Septiembre 1.999: a) De las siguientes operaciones con determinantes de orden 2x2 señalar las que son correctas y, en su caso, enunciar las propiedades que se utilizan: = y = (1 5 puntos) a a b b = 0, b) Dadas las matrices A y B de orden 4 x 4 con A = 3 y B = 2, calcular A -1, B t A y (AB - 1 ), justificando la respuesta. (Se recuerda que A t representa la traspuesta de A). (1 5 puntos) Septiembre 1.999: Si A es una matriz de orden n tal que A 2 = A y B = 2A I, siendo I la matriz identidad de orden n, calcular B 2
5 Septiembre 1.999: Es posible añadir una fila a la matriz nueva matriz tenga rango 4? Razonar la respuesta , de forma que la Junio 1.999: a) Definir el concepto de matriz inversible. Dar un criterio para asegurar que una matriz es inversible b) Dada la matriz A = m. Determinar para qué valores del parámetro m existe A - c) Para m = -1, resolver det A -1 - xi = 0. (I = matriz unidad) Junio 1.999: De una matriz cuadrada A se sabe que su determinante vale -1, y que el determinante de 2ª vale -8. Cuál es el orden de la matriz A? Razona la respuesta Junio 1.999: Dadas las matrices A = 1 1 ; I = , calcular A2 3A I. Junio 1.998: Resolver la ecuación matricial AX = B siendo A = punto) 0 1, B = (1 Junio 1.998: De una matriz cuadrada A de orden 3 se sabe que su determinante vale -1. Cuánto valdrá el determinante de la matriz 2A? Junio 1.997: a) Es cierta la propiedad conmutativa del producto dematrices? En caso afirmativo probarlo y en caso negativo poner un ejemplo en el que no se verifique b) Si A y B son matrices diagonales de orden 2x2, demostrar que AB = BA c) Determinar las matrices 2x2 diagonales A tales que AA = Junio 1.997: Resolver la ecuación matricial AXB = C, siendo A = C = , B = y
6 Junio 1.996: Sea A una matriz cuadrada de números reales tal que A 4 = O. Prueba que la matriz inversa de la matriz I A es la matriz I + A + A 2 + A 3. (Como de costumbre, O representa la matriz cero e I la matriz unidad) Septiembre 1.995: Se consideran las matrices A = una matriz X, tal que AXB = C. 3 4, B = 3 0 y C = Hallar Junio 1.995: Para cada número real x, se considera la matriz M(x) = 1 x x x x 0 1 x 3 x a) Averiguar para que valores de x, la matriz M(x) no tiene inversa. b) Calcular, si es posible, la matriz inversa de la matriz M(2). c) Si x e y son números reales distintos, demostrar que las matrices producto M(x)M(y) y M(y)M(x) son distintas. Junio 1.995: Calcular: x x 1 x 2 x 4 x 5 x 6 x 8 x 9 x 10 Septiembre 1.994: Determinar las matrices A y B sabiendo que: 2A + B = , 3A + 2B = Junio 1.994: Encontrar una matriz X que verifique AX + B = C, siendo: A = 0, B = 0 1 0, C =
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