PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES A = B = C =
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- Mercedes Villalba Domínguez
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1 PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sean las matrices cuadradas siguientes A = B = C = Se pide calcular: a. 2A -3B + C 2A = 2(1) 2 (2) 3(2) (2) 5 (2) 6(2) = (2) 8 (2) 9(2) B = 9(3) 8(3) 7(3) (3) 5(3) 4(3) = (3) 2(3) 1(3) A-3B = = A-3B + C = = B. 2A 2-3AB + AC A 2 = = = = = = = = = = = = 81 2A 2 = 30 (2) 36 (2) 42 (2) (2) 81 (2) 96 (2) = (2) 118 (2) 150 (2)
2 AB = X = = = = = = = = = = 69 3AB = 30(3) 24(3) 18(3) (3) 69(3) 54(3) = (3) 114(3) 90(3) A 2-3AB = AC = X = = = = = = = = = = 45. 2A 2-3AB + AC = C. 2A 2 B-3AB 2 + ACB A 2 B = X = = = = = = = = = = 2076
3 2A 2 B= 612(2) 504(2) 396(2) (2) 1125(2) 882(2) = (2) 1706(2) 1336(2) HALLAMOS 3AB 2 B 2 = X = = = = = = = = = = 66 A B 2 = X = = = = = = = = = = 918 3A B 2 = 3 X = HALLAMOS AB AB = X = = = = = = = = = = 54
4 HALLAMOS AXBXC X = = = = = = = = = =366 2A 2 B-3AB 2 + ACB = = = Sean la matrices A = B = 1 2 C = Se pide calcular a. B+C B = = B. AB A = X 1 2 = = = = = 14
5 C. BA 1 2 X = = = =14-4+8= 4-2-6= = = 7-1-3= = -28 D. A(B+C) B+C = = A(B+C) X 3 4 = = = = = 14 E. A(2B-3C) 2B = 1(2) 2(2) 2 4-1(2) 3(2) = (2) -2(2) C = 2(3) 2(3) 6 6 1(3) -1(3) = 3-3 1(3) -3(3) 3-9 2B-3C = = A(2B-3C) X -4-2 = = = = = 4
6 3. HALLAR x,y,z y w si; 3 x y = x x+y z w -1 2w z+w-1 2w + 3 3x 3y = 4+x 6+x+y 3z zw z+w-2 4w x = 3x 6+x+y = 3y 4w + 3 = 3w z + w -2 = 3z 4 = 2x 6+2+y = 3y 3 = -w -5 = 2z x = 2 8+y = 3y -3 = w z = -5/2 8 = 2y y = 4 4. Sean A = 1 3 Y B = CALCULAR AB Y BA AB = 1 3 = = = = = = = = 1 BA X 1 3 = NO SE PUEDE Hallar las matrices que conmutan con A, es decir AB = BA donde A = AB = -1-2 = a b = -a-2c -b- 2d -3 4 c d -3a+4c -3b+4d
7 BA = a b a -3b -2a+4b c d x -3 4 = -c-3d -2c+4d -a-2c= -a-3b -2c = -3b -3a+4c = -c-3d -b 2d = -2a +4b -3b +4d = -2c +4d Reemplazamos por un factor: c = 6u b = 4u -3a+4(6u) = -6u-3d -3a+24u = -6u -3d -3a= -30-3d 3d = -30u+3a d = -10u +a -4u-2 (-10u+a) = (4u) -4u(-20u+2a) = -2a +16u -4u+20u -2a = -2a+16u Necesitamos un 2do parámetro V y haciendo a = b, las ecuaciones parametricas son a = v b = 4u c = 6u d = -10u+v Dando valores arbitrarios a u y v se obtienen todas la matrices B que conmutan con A U = 1 y v = 1 Entonces : AXB = -1-2 X 1 4 = BXA = 1 4 X -1-2 = = = = = = = = = -48 PARA u = 0 y v = = = = = = 4
8 1 0 = -1-2 = = = = = 4 6. probar que las matrices AA T y A T A están definidas para cualquier matriz A e M nxm A = -1-2 At = AAt = = AtA = =
9 7. Encontrar AA T y A T A donde: A = Entonces A T = AA T = = 1 3 = = = = = 26 A T A = 1 3 x = = = = = = = = = = Sean A = 1 2 calcular A 2 y A 3 hallar F(A) donde = F (x) = 2x 3-4x 2 + x A 2 = 1 2 x 1 2 = = = = = 17 A 3 = 9-4 x 1 2 = = = = = -67 F(A) = 2 ( A 3 ) - 4 (A 2 ) + A + 5 F (A) = -7 (2) 30 (2) - 9(2) -4(2) (2) -67 (2) -8(2) 17 (2) 4-3
10 9. Dada la matriz A = 1 3 encontrar un vector u = x no nulo tal que Au= 3u 4-3 y A x x = 3 x x Y y 1 3 x = 3x 4-3 y 3y x + 3y = 3x 4x 3y 3y x + 3y = 3x entonces 3y = 2x 4x - 3y = 3y entonces 4x = 6y Establecemos parámetros x = 4u y = 6u Entonces: u = 4u 6u 11. Dada las matrices A = 1 2 B = -1 2 C = Calcular a. AXB b. BXA c. BXC d. AXC A x B = 1 2 x -1 2 = NO SE PUEDE B x A = -1 2 x =
11 B x C = -1 2 x = A x C = 1 2 x = Hallar el rango de las siguientes matrices a. A = = Rango = b. B = = Rango = c. C = = Rango = d. D = = Rango = e. E = F3 = F1+F Rango = Sean A. B y C matrices regulares (No singular) del mismo orden nxm. Demostrar que si AB = BA B = C (Obs. Si A no es Regular, el resultado no es cierto) A = 1 2 B = 3 4 C = a b c d A x B = A x C A x B = =
12 7 6 = 1 2 x a b = a + 2c = c d 3a + 4c = 17 b + 2d = 6 3b + 4d = 16 A = 3 b = 4 c = 2 d = Dadas las matrices A = 1 1 B = 5 2 C = -1 1 D = Compruébese que: a. C = A -1 Hallamos A -1 A = Aplicando Gauss F1 F2 F F2-F1 F F1 F luego A -1 =
13 b. D = B -1 B = F1-5F2 F F2+ F1 F /5 F1 F F2 F entonces B -1 = c. C + D = (A + B ) -1 C + D = = A + B = = (A + B ) -1 = 6 3 = Matriz nula no tiene inversa 4 2 Determinante 6 3 = 6*2-3*4 = Hallar las inversas de las siguientes matrices : [DET ] = = 1x1x4 + 0x-1x3 + 2x1x3 (-3x1x3 + 1x-1x1 + 2x0x4) =
14 adjuntas : = a11 = 1-1 = 4+1 = = a12 = 2-1 = 8+3 = = a13 = 2 1 = 2-3 = = a21 = 0 3 = 0-3 = = a22 = 1 3 = 4-9 = = a23 = 1 0 = 1-0 = = a31 = 0 3 = 0-3 = = a32 = 1 3 = -1-6 = = a33 = 1 0 =1-0 = entonces adj. = cambio de signo = traspuesta =
15 A -1 = (adj (A)) t A A -1 = 1/2 x /2 3/2-3/ = -11/2-5/2 7/ /2-1/2 ½ b = 2x3x3 + 0x2x1 + -3x1x1 (3x1x1-3x2x2 + 1x0x3) = adjuntos : a11 = 3 2 = 9+6 = a12 = 1 2 = 3-2 = a13 = 1 3 = -3-3 = a21 = 0 1 = 0+3 = a22 = 2 1 = 6-1 = a23 = 2 0 = -6+0= a31 = 0 1 = 0-3 = a32 = 2 1 = 4 1 = a33 = 2 0 = entonces adj. = cambio de signo = traspuesta = A -1 = (adj (A)) t A A -1 = 1/24 x =
16 c = Det c = 1era columna = 1 se multiplica por 1 2 se multiplica por -1 0 se multiplica por 1 0 se multiplica por -1 Det c = 1x x 2 x = {1x4x x0 x0 + 1x1x1 ( 0x4x1 +1x0x1 + 1x-1x0)} -2 x (3x4x0 + 0x0x0 + 1x1x3 (0x4x3 + 1x0x3 + 1x0x0)) ( ) 2 ( ( )) 1 2 (3 ) = -5 ADJUNTOS A 1 1 = = A12 = = A13 = = A14 = = A21 = =
17 A 22 = = A23 = = A24 = 1 3 0= A31 = = A32 = = A33 = = A34 = = A41= = A42 = = A43 = = A44 = =
18 18. Calcular las siguientes determinantes : a 1 cos o -sin o cos o sin o a b sin o cos o sin o -cos o 2 1 = (2x2)-1 = = 12-0 = a 1 = ab a = a ( b-1) a b cos o -sen o = cos o x cos o (-sen o x sen o) = cos 2 o + sen 2 o sen o cos o = 1+cos 2o + 1- cos 2o = 1 2 cos o sen o = (cos o x- cos o) ( sen o x sen o) = -cos 2 o sen 2 sen o -cos o -1 1+cos 2o + 1- cos 2o = -1 2 o 20. Demostrar que si a, b y c son números reales las raíces de la ecuación a x b = 0 son reales b c- x a - x b = (a-x) ( c-x) b 2 = 0 entonces = ac ax xc +x 2 -b 2 = 0 b c x = ac ax xc +x 2 = b Calcular los siguientes determinantes = 1x1x1 + 2x3x3 + 4x0x0 (0x1x3 + 3x0x1 + 2x4x1) = 19-8 =
19 1 1 1 x y z = y2 (x-2 ) + x2 (z-y) + x2 (y-x) x 2 y 2 z 2 1 a b 0 1 c = 1 x 1 x 1 + ac x x 0x b (b x 0 + c x 0 + a x 0) = Calcular las siguientes determinantes mediante su desarrollo por la primera columna a elementos de la primera columna a = 2 par, se multiplica por 1 a = 3 impar, se multiplica por -1 a = 4 par, se multiplica por = 1x x x = 3 (18-10) + -7 (6-2) + (10-6) = = 0 b elementos de la 1era columna a =2 par se multiplica por 1 a12 1+2=3 impar, se multiplica por 2 a =3 par se multiplica por = 1x x x = 3 (3-4) -4 (0-2) + (0-3) = 2 c era columna a =2 se multiplica por 1
20 a =3 se multiplica por -1 a13 1+3=4 se multiplica por 1 a14 1+4=5 se multiplica por = 1x x x x = [1x1x1 + 2x1x3 + 2x1x3 ( 3x1x3 + 2x1x1 + 2x1x1)] [2x(0x2x1 + 0x3x3 + 2x1x7) (3x2x7 + 2x3x0 + 0x1x1)] = = calcular las siguientes determinantes reduciéndolos a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales = 2x5x1 + 2x4x2 + 3x5x-2 ( 2x5x-2 + 5x2x2 + 3x4x1) = ( ) = = era columna a =2 multiplicamos por 1 a =3 multiplicamos por -1 a =4 multiplicamos por 1 a =5 multiplicamos por = 1x x x x =1x0x2 + 2x4x2 + 2x1x7 (2x7x0 + 1x4x1 + 2x2x2) -2 [0x2x2 + 3x4x2 + 2x1x5 (2x0x5 + 4x1x0 + 2x3x2)] + 2[0x2x2 + 3x7x2 + 1x1x5 ( 2x2x5 + 1x7x0 + 1x3x2 ) 3[0x2x4 + 3x7x2 + 1x0x5 ( 2x2x5 + 0x7x0 + 1x3x4) ] = = -14
21 26. Calcule Det AB, Det BA t, Det ABA -1 B, Det Bb -1 A = B = AxB = x = = 1era columna a11.. se multiplica por 1 a12. se multiplica por -1 a13. se multiplica por 1 a14. se multiplica por -1 = 1x x x x = 8x0x16 + 0x7x9 + 8x2x8 (9x0x8 + 2x7x8 + 0x8x16) [ -1x 0 ] = 16 BxA = = x (BxA) t = Det (BA)t = era columna 0
22 a11.. se multiplica por 1 a12. se multiplica por -1 a13. se multiplica por 1 a14. se multiplica por -1 = 1x x x = 16x0x1 + -2x2x4 + 0x-1x24 ( 24x0x4 + -1x2x x0x1) = = 16 DET (ABA -1 B) A -1 = ABA -1 = ABA-1B = DET (ABA -1 B) ERA COLUMNA a11.. se multiplica por 1 a12. se multiplica por -1 a13. se multiplica por 1 a14. se multiplica por -1 = 1x x x x = 0 DET (BB -1 ) B -1 = BX B -1 = X
23 BX B -1 = DET (BXB-1) = ERA COLUMNA a11.. se multiplica por 1 a12. se multiplica por -1 a13. se multiplica por 1 a14. se multiplica por -1 = = 1x1x1 + 0x0x0 + 0x0x0 (0x1x0 +0x0x1 + 0x0x1) = Comprobar sin desarrollar, que el determinante de la matriz A es múltiplo de = 2x12x9 + 6x4x3 + 5x18x7 ( 3x12x7 + 18x4x2 + 5x6x9) = Demostrar el siguiente determinante conocido como determinantes de vandermonde a b c d = (b-a) (c-a) (d-a) (b-c) (b-d) (c-d) a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 Determinante de Vandermonde. El de orden 4 es de la forma V = Para conseguir ceros en la 1ª columna, se resta, a cada fila la anterior multiplicada por a, empezando desde abajo.
24 Nos queda: =(b-a)(c-a)(d-a) Y da un determinante del mismo tipo pero de orden tres, siguiendo el mismo proceso, = (c-b)(d-b) = (c-b)(d-b)(d-c). Luego: V = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c). 29. Dada la matriz A = a (2a-1) determinar el rango de A según los valores del parámetro a e a Si a = 1 tenemos rg = Si a = 2 tenemos rg = Si a = 3 tenemos rg = Si a = 4 tenemos rg = Dada la matriz A =
25 Se pide a. Hallar la matriz Adj (a) b. Calcular A c. Comprobar que : Ax Adj (A)t = Adj (a)t xa = A I a. ADJUNTAS = A11 = 8-2 = A12 = 3-2 = A13 = 3 8 = A21 = 2 4 = A22 = 1 4 = A23 = 3 8 = A31 = 2 4 = A32 = 1 4 = A33 = 1 2 = b. Determinante A = = { 1x8x4 + 2x-2x2 + 3x0x4 (2x8x4 + 0x-1x1 + 3x2x4)} = ( ) = = -64
26 c. Comprobar que : Ax Adj (A)t = Adj (a)t xa = A I x = x = DIFERENTES d. Calcular A -1 A 1 = Adj (A)t = 32/-64-8/-64-36/-64 \A\ -16/-64-4/-64 14/-64-16/-64 16/64 2 /64
(Soluc: a) 30; b) -66; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0; g) 2; h) -50; i) 0; j) 0; k) 0; l) 0)
53 EJERCICIOS de DETERMINANTES º BACH. Cálculo de determinantes. Propiedades: 1. Calcular los siguientes determinantes de orden : a) 7 1 b) 4 11 4 6 0 c) 0 0 3 1 d) 3 7 3 7 e) 7 1 4 1 f) 33 55 3 5 g) 13
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