Matemá'cas generales

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1 Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons BY NC SA 3.0

2 ÁLGEBRA LINEAL Matrices y determinantes S.E.L. El espacio IR n Diagonalización de matrices

3 Matrices Matrices y S.E.L. Definiciones Operaciones Matriz inversa Operaciones elementales Determinantes Rango S.E.L. Existencia de solución Métodos de resolución

4 Matrices > Definiciones Dados a ij en IR con i=1,..m, j=1, n, al rectángulo de m x n números reales en una tabla con m filas y n columnas de la forma: se le denomina matriz de dimensión m x n: A=(a ij ), i=1,..m, j=1, n

5 Matrices > Definiciones Elemento que ocupa la i-ésima fila y la j-ésima columna: a ij Fila o columna: línea M m x n =matrices de dimensión m x n

6 Matrices > Definiciones Matriz nula: O m x n Matriz cuadrada (m=n) o rectangular de orden n

7 Matrices > Definiciones Diagonal principal en una matriz cuadrada Matriz diagonal:

8 Matrices > Definiciones Matriz identidad de orden n

9 Matrices > Operaciones A=(a ij ), B=(b ij ) en M mxn C=A+B en M mxn : c ij =a ij +b ij, i=1,..m, j=1, n λa en M mxn, λ en IR: λa ij, i=1,..m, j=1, n

10 Matrices > Operaciones A=(a ij ) en M pxm, B=(b ij ) en M mxn C=A*B en M pxn : c ij =a i1 *b 1j +a i2 *b 2j + +a im *b mj, i=1,..p, j=1, n

11 Matrices > Operaciones A=(a ij ) en M mxn, i=1,..m, j=1, n B=A t en M nxm : b ij =a ji, i=1,..n, j=1, m

12 Matrices > Operaciones A=(a ij ), B=(b ij ) en M mxn Propiedades de la suma de matrices: Conmutativa: A+B=B+A Asociativa: A+(B+C)=(A+B)+C Elemento neutro: A+O=O+A=A Elemento opuesto: A+(-A)=(-A)+A=0 (-A)=(-a ij )

13 Matrices > Operaciones A=(a ij ) en M mxn Propiedades del producto por un escalar: Distributiva respecto a la suma de matrices: λ (A+B)=λA+λB

14 Matrices > Operaciones A=(a ij ) en M mxn Propiedades del producto por un escalar: Distributiva respecto a la suma de escalares:(λ+µ) A=λA+µA

15 Matrices > Operaciones A=(a ij ) en M mxn Propiedades del producto por un escalar: Seudoasociativa: (λµ) A=λ(µA) Elemento unidad: 1 A=A

16 Matrices > Operaciones Propiedades del producto de matrices: Propiedad asociativa: A(BC)=(AB)C I m A=A, AI n =A

17 Matrices > Operaciones Propiedades del producto de matrices: A O=O Distributivo respecto de la suma de matrices: A(B+C)=AB+AC, (E+F)G=EG+EF NO es conmutativo

18 Matrices > Operaciones Propiedades de la traspuesta: (A+B) t =A t +B t

19 Matrices > Operaciones Propiedades de la traspuesta: (αa) t =αa t

20 Matrices > Operaciones Propiedades de la traspuesta: (AC) t =C t A t

21 Propiedades de la traspuesta: (A t ) t =A Matrices > Operaciones

22 Matrices > Matriz inversa A=(a ij ) en M n, A -1 es inversa de A si AA -1 =A -1 A=I n A=(a ij ) en M n, es regular si posee inversa, en caso contrario es singular

23 Matrices > Matriz inversa A y B regulares en M n La inversa de A es única (A -1 ) -1 =A (AB) -1 =B -1 A -1 (λa) -1 =λ -1 A -1 (A -1 ) t =(A t ) -1 Cálculo de la inversa->determinante

24 Matrices > Operaciones elementales Las operaciones elementales por filas en una matriz A de M mxn, permite el cálculo del determinante, rango y el de matrices inversas. Intercambiar dos filas f i y f j Sustituir la fila f i por ella misma multiplicada por un real k no nulo: kf i Sustituir la fila f i por f i +kf j, con k real De igual forma con las columnas.

25 Matrices > Operaciones elementales

26 Matrices y S.E.L. Matrices Definiciones Operaciones Matriz inversa Operaciones elementales Determinantes Rango S.E.L. Existencia de solución Métodos de resolución

27 Determinantes Para determinar si una matriz es regular es necesario el concepto de determinante de una matriz cuadrada. También permitirá obtener el rango de una matriz mxn A cuadrada -> A

28 Dada una matriz cuadrada de orden n, su determinante es la suma de los n! productos signados de n factores que se obtienen considerando los elementos de la matriz, de forma que cada producto contenga un solo elemento de cada fila y cada columna de A. { j 1, j 2, j n } es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,,n} s k es el número de cambios necesarios para reordenar la permutación { j 1, j 2, j n } en el orden de {1,2,,n}

29 Determinantes O n =0, I n =1 A existe y es único

30 Determinantes: matriz de orden 2 Regla de Sarrus

31 Determinantes: matriz de orden 3

32 Determinantes: matriz de orden 3 Regla de Sarrus

33 Determinantes: Desarrollo por adjuntos Dada A de orden n: Menor complementario de a ij : determinante de la matriz M ij de orden n-1 que resulta de A al eliminar la fila i y la columna j. El adjunto de a ij, A ij, es A ij =(-1) i+j M ij

34 Determinantes: Desarrollo por adjuntos

35 Determinantes: Desarrollo por adjuntos

36 Desarrollo por adjuntos de una fila o columna:

37 Determinantes: Desarrollo por adjuntos

38 Determinantes: Matriz de orden > 3 Buscar una línea con ceros y desarrollar por sus adjuntos: determinantes de un orden inferior Hacer ceros : operaciones elementales

39 Determinantes: Propiedades Dada A de orden n: Si en A se intercambian dos líneas paralelas se obtiene - A

40 Determinantes: Propiedades Si se multiplica una línea por λ, λ A

41 Determinantes: Propiedades Si una línea tiene sus elementos nulos, A =0

42 Determinantes: Propiedades Si hay dos líneas paralelas proporcionales o iguales, A =0

43 Determinantes: Propiedades La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una línea paralela diferente, es igual a cero.

44 Si: Determinantes: Propiedades

45 Si: Determinantes: Propiedades

46 Determinantes: Propiedades

47 Determinantes: Propiedades Si una línea es combinación lineal de las otras paralelas a ella, A =0

48 Determinantes: Propiedades Si a una de las líneas de A se le suma una combinación lineal de las paralelas, A

49 A+B!= A + B λa!=λ A Determinantes: Propiedades Dadas A y B en M n AB = A B Si k es un real no nulo, A k = A k λa =λ n A A = A t

50 Determinantes: Propiedades Teorema. Dada A de orden n: A es regular si y sólo si A es no nulo Si es regular, A -1 =1/ A

51 Determinantes: Cálculo de la matriz inversa

52 Matrices Definiciones Operaciones Matriz inversa Operaciones elementales Determinantes: Sarrus: n=2, 3 Propiedades: desarrollo por adjuntos Inversa Rango S.E.L. Existencia de solución Métodos de resolución

53 Rango > menores A matriz de orden m n. Menor de orden r: es el determinante de una submatriz cuadrada de orden r.

54 Rango > menores A matriz de orden m n. El rango de A, rg(a), es el máximo de los órdenes de sus menores no nulos.

55 Rango > menores

56

57 Rango > menores A matriz de orden m n. Si A posee un menor de orden r no nulo, rg(a)=r si y sólo si todos los menores de orden r+1 que lo contienen son nulos.

58 Rango > menores Si A=0, rg(a)=0. Si A es no nula, rg(a)>=1. Si todos los menores de orden 2 son nulos, rg(a)=1. Si no, se escoge uno no nulo. Se amplía con una fila f i y con sucesivas columnas. Si todos los menores de orden 3 obtenidos son nulos, se sus'tuye f i. Si todos los menores de orden 3 son nulos, rg(a)=2. Si no, se escoge uno no nulo. Se repite el proceso con ese menor Al final se llega a un menor no nulo del mayor orden posible (menor principal). Ése orden es el rango.

59 Rango > menores

60 Rango > Dependencia lineal A matriz de orden m n. Una línea f i no nula depende linealmente de las líneas f 1, f 2,..., f i 1, f i+1,..., f m si f i = α 1 f 1 +α 2 f α i 1 f i 1 +α i+1 f i α m f m f 1, f 2,..., f i-1, f i+1,..., f m son linealmente independientes si ninguna depende linealmente de las demás

61 La columna 1 depende linealmente de la segunda y de la tercera La segunda fila depende linealmente de la primera y de la tercera

62 Rango > Dependencia lineal Las tres filas y las tres columnas son linealmente independientes

63 Rango > Dependencia lineal A matriz de orden m n. El rango de A es el número máximo de filas o de columnas no nulas linealmente independientes.

64 Rango > Dependencia lineal

65 Rango > Dependencia lineal Con operaciones elementales, transformamos la matriz en triangular

66 Rango > Dependencia lineal

67 Rango > Dependencia lineal

68 Propiedades: El rango de una matriz no varía tras operaciones elementales. rg(a)= rg(a t ) Rango Si A es cuadrada de orden n: rg(a)<n si y sólo si A =0 rg(a)=n si y sólo si A!=0 n líneas linealmente independientes si y sólo si A!=0

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