1. Lección 3: Matrices y Determinantes

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1 Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = ( v 1 v 2 v m ) = a 11 a 12 a 1m a 21 a a 2m a n1 a n2 a nm Tenemos que si: m n se denominan matrices rectangulares m = 1 se denominan matrices columnas n = 1 se denominan matrices fila m = n se denominan matrices cuadradas En una matriz cuadrada los elementos (a 11, a 22,, a nm ) forman la diagonal principal, cuya suma se conoce como traza de la matriz. Las matrices cuadradas que tengan nulos lo elementos situados fuera de la diagonal principal (a ij = 0sii j) se llaman matrices diagonales.las matrices cuadradas que tengan nulos lo elementos que queden a uno de los lados de la diagonal principal se llaman matrices triangulares. Dos matrices del mismo orden son iguales cuando tengan iguales los elementos del mismo lugar: A n m = B n m a ij = b ij, i, j 1

2 1.1 Operaciones con matrices 1.1. Operaciones con matrices 1. Suma matricial A n m + B n m = C n m /c ij = a ij + b ij El neutro de la suma matricial es la matriz nula (aij = 0, i, j) y la opuesta de una matriz A = (a ij es la matriz A = ( a ij ). En consecuencia, el conjunto de las matrices de un mismo orden n m, (M n m ) tiene estructura de grupo abeliano. 2. Producto de escalar por matriz k A = k(a ij ) = (k a ij ) El conjunto de las matrices de un mismo orden tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares K {M n m + } espacio vectorial sobre K. 3. Producto matricial Se define producto matricial de una matriz A n m = (a i j) por otra matriz B m p = (b i j) a la matriz C n p = (c ij ) cuyo elemnto generico, c ij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B. Ejemplo A n m B m p = C n p = Transposición matricial Se define transpuesta de una matriz A n m a la matriz A t m n que resulta al 2

3 Apuntes: Matemáticas Empresariales II cambiar en A filas por columnas: A = (a ij ) n m = A t = (a ji ) m n Ejemplo Sea A la matriz siguiente: Encuentre A t A t = Propiedades transposiciôn matricial a) Matriz simétrica A t = A si es cuadrada b) Matriz antisimétrica A t = A si es cuadrada y requiere que la diagonal principal este formada de ceros. c) La transposición es involutiva, es decir, (A t ) t = A d) La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B) t = A t + B t e) La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas cambiado de orden: (A B) t = B t B t 3

4 1.2 Determinante de una matriz cuadrada 1.2. Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada, A lleva asociado un escalar que se denomina determinante de A y se simboliza A. M n R A i a i = A i Se define determinante de una matriz cuadrada A n m al escalar que resulta al sumar todos los productos de n elementos de la matriz que cumplan: Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna. Que a cada producto se le anteponga signo + o segùn que sean de igual clase o de distinta clase las dos permutaciones que forman los subíndices que indican fila y los que indican columna. En el caso de las matrices cuadradas de orden 2 el determinante toma la forma: det(a 2 2 ) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 forma: En el caso de las matrices cuadradas de orden 3 el determinante toma la det(a 3 3 ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 +a 31 a 12 a 23 +a 13 a 21 a 32 [a 13 a 22 a 31 +a 11 a 23 a 32 +a 33 a 21 a 12 ] A la expresión anterior se la conoce como la regla de Sarrus. Para el cálculo de determinantes mayores se utilizan las propiedades de los determinantes. Ejemplo1 4

5 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Calcule el determinante de la matriz siguiente Aplicando la regla anterior, el determinante será = ( 1) = = 7 Ejemplo2 Calcule el determinante de la matriz siguiente Aplicando la regla de Sarrus se obtiene que el determiante toma la forma: = ( 1) ( 4) [( 4) ( 1)] = 28 Definición:Matrices singulares Una matriz cuadrada es una matriz singular su determinante es nulo. Además, se cumple que si una matriz es singular Alguno de los vectores es Combinación Lineal de los demàs. Definición:Matrices regulares Una matriz cuadrada es una matriz regular su determinante es distinto de cero. Además, se cumple que si una matriz es regular Todos los vectores que la integran (por filas o por columnas) son Linealmente Independientes. 5

6 1.2 Determinante de una matriz cuadrada En la práctica, aunque se puede desarrollar la regla de Sarrus para el cálculo de determinantes con un orden mayor que 3, se suelen utilizar las propiedades de los determinantes. Propiedades de los determinantes 1. El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta: det(a) = det(a t ) 2. Si uno de los vectores de la matriz A n m es el nulo, el determinante vale cero. 3. Si se intercambia entre sí dos vectores cualesquiera de la matriz, ocurre que el determinante cambia de signo. 4. Toda matriz cuadrada con dos vectores iguales tiene determinante nulo. 5. det(k 1 v 1... k i v i... k n v n ) = k 1... k j... k n det( v 1... v i... v n ) 6. Si una matriz tiene dos vectores proporcionales, su determinante vale cero. 7. Si uno de los vectores de la matriz es suma de p vectores, su determinante es la suma de los determinantes de las p matrices que tiene en vez del vector suma cada uno de los sumandos. 8. Si un vector es C.L de los demás, el determinante de la matriz es nulo. 9. El valor de un determinante no se altera al sumar a un vector una C.L de los demás. 10. Cálculo de los determinantes por los elementos de una linea. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Sea A ij la matriz cuadrada de orden n 1 obtenida al suprimir la fila i y la comlumna j de A. Se cumple, para cualquier i, que: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) j=1 6

7 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Esta propiedad se utiliza mucho en la práctica ya que se pasa de calcular un determinante de orden n a calcular n determinantes de orden n 1, cosa que suelte ser más interesante. Si además en alguna fila hay algún valor que sea 0, entonces el número de determinantes de orden n 1 que hay que calcular es menor. 11. La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos de una paralela a ella vale cero n ( 1) i+j a hj det(a ij ) = 0 j=1 12. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces: det(a B) = det(a) det(b) Ejemplo1 Calcule el determinante de la matriz siguiente Utilizando la propiedad 10 de los determinantes y observando que en la fila 4 hay muchos ceros, se obtiene que = ( 1)

8 1.2 Determinante de una matriz cuadrada Volviendo a utilizar la propiedad 10 de los determinantes y observando, de nuevo, que en la fila 4 hay muchos ceros, se obtiene que ( 1) = ( 1) 5 ( 1) A partir de este momento se puede aplicar la regla de Sarrus para calcular un determinante de orden 3, por lo que con = 2 se obtiene que = ( 1) 5 ( 1) ( 2) = 4 Ejemplo2 Calcule el determinante de la matriz siguiente (Vandermonde), sin aplicar en ningún momento la regla de Sarrus: a b c a 2 b 2 c 2 8

9 Apuntes: Matemáticas Empresariales II En primer lugar se utiliza la propiedad 9, multiplicamos la primera columna por (-1) y se la sumamos a la segunda y el determinante no varia. Por lo tanto a b c = a b a c a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 a 2 c 2 Y hacemos lo mismo con la tercera columna a b a c a 2 b 2 a 2 c 2 = a b a c a a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 Ahora, como tenemos una fila (la primera) con muchos ceros, utilizamos la propiedad 10, por lo que a b a c a a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 = ( 1) b a c a b 2 a 2 c 2 a 2 Utilizando la propiedad matemática que dice que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados (x + y)(x y) = (x 2 y 2 ), el determinante se puede poner como b a c a b 2 a 2 c 2 a 2 = b a c a (b + a) (b a) (c + a) (c a) Ahora utilizando la propiedad 5, la expresión b a puede salir fuera del determinante ya que multiplica a todos los elementos de una columna. Lo mismo sucede con c a en la otra columna y por lo tanto: b a c a (b + a) (b a) (c + a) (c a) = (b a)(c a) 1 1 (b + a) (c + a) 9

10 1.3 Rango de una matriz Utilizando de nuevo la propiedad 9, (multiplicando la primera por (-1) y sumándosela a la segunda) se obtiene que: (b a)(c a) 1 1 (b + a) (c + a) = (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c + a) b a = Y operando en la posición (2, 2) del determinante (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c + a) b a = (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c b) Por último, desarrollando el determinante por la primera fila (propiedad 10) se obtiene que (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c b) = (b a)(c a) ( 1)1+1 1 (c b) y por lo tanto, podemos concluir que a b c a 2 b 2 c 2 = (b a)(c a)(c b) 1.3. Rango de una matriz Previo: Se llama menor de orden r de una matriz A, al determinante de la submatriz que se forma con los elementos comunes a r filas y a r columnas. Ejemplo 10

11 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Sea la matriz A, con A = Calcule un menor de orden 2 y un menor de orden 3 Un menor de orden 2 es el determinante formado por los elementos comunes a 2 filas y a 2 columnas. Si cogemos la fila 3 y la fila 4 y la columna 2 y la columna 5 entonces el menor que estamos formando es = 0 Un menor de orden 3 es el determinante formado por los elementos comunes a 3 filas y a 3 columnas. Si cogemos la fila 3 y la fila 4 y fila 5 y la columna 2, la columna 3 y la columna 5 entonces el menor que estamos formando es = 0 Definición Toda matriz A lleva asociado un número natural que se denomina rango de A y se simboliza por r(a). El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de 0. Propiedades 1. Si la matriz A es de orden n m, ocurre que r(a) min(n, m). 2. El número máximo de filas linealmente independientes que hay en una matriz A coincide con el número máximo de columnas independientes. 11

12 1.3 Rango de una matriz 3. El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores L.I de los que forman la matriz.(importante: Que el rango de una matriz coincida con el número de vectores L.I. no es una definición es una propiedad) Calculo del Rango A partir de la definición de rango de una matriz, parece que la manera de calcular dicho rango consiste en calcular todos los posibles menores de órdenes diversos y ver cuales son distintos de 0. El orden del mayor que sea distinto de 0. Como el cálculo del rango utilizando la definición requiere muchos cálculos, utilizaremos un método ordenado, que es el método de la orla. Dicho método consiste, en vez de calcular todos los menores posibles, calcular solamente los que sean necesarios y de una forma ordenada. En primer lugar se coge un menor de orden 1 que sea distinto de 0. Normalmente se escoge el elemento de (1, 1) de la matriz, si éste es distinto de 0. Como hemos encontrado un menor de orden 1 que es distinto de 0, entonces el rango es por lo menos 1. A continuación, se parte de este elemento y se forman menores de orden 2 si todos los menores de orden 2 son 0 entonces esta fila es combinación lineal de la anterior y se desecha en el cálculo del rango, pasándose a la siguiente. Si algún menor de orden 2 es distinto de 0 entonces el rango de la matriz es por lo menos 2 y, a continuación se forman menores de orden 3 con la fila siguiente (pero siempre a partir del menor de orden 2 que ya hemos visto que es distinto de 0) y así sucesivamente. Ejemplo 12

13 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Calcule el rango de la matriz A, con A = Como esta matriz es de orden 4x4 entonces el rango máximo que puede tener la matriz es 4. En primer lugar, como hay un menor de orden 1 que es distinto de 0 2 = 2 0 entonces el rango de esta matriz es por lo menos 1. Ahora, orlamos a partir de ese, es decir, formamos con la fila siguiente, menores de orden 2, que son: = = = 0 Como los tres menores son iguales a 0, entonces la segunda fila es combinación lineal de la primera. A continuación se orla de nuevo, formando menores de orden 2 pero con la tercera fila. El primer menor de orden 2 es = 2 0 Como el menor es distinto de 0, entonces el rango de la matriz es por lo menos 2. A continuación se orla de nuevo, formando menores de orden 3 con la fila siguiente, en este caso la cuarta. Los dos menores que se obtienen son 13

14 1.4 Matriz Inversa = 2 y = 2 Si los dos menores fueran 0 entonces el rango de la matriz sería 2, pero como al menos uno de ellos es distinto de 0 (de hecho son los dos) entonces hemos encontrado un menor de orden 3 que es distinto de 0 y por lo tanto el rango de la matriz es 3. El rango de la matriz no puede ser cuatro ya que no tenemos más filas con las que ir orlando. De hecho, como la segunda fila es una combinación lineal de la primera, entonces el determinante de A debe ser 0 (comprobarlo podría ser un ejercicio interesante). A = = Matriz Inversa A partir del producto de matrices cuadradas se define la matriz Inversa. Así, sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define la inversa de A y se denota por A 1 a la matriz que cumple que A 1 A = A A 1 = I n 14

15 Apuntes: Matemáticas Empresariales II Donde I n es la matriz identidad de orden n. Calculo de la matriz Inversa Existen multiples formas de calcular la inversa de una matriz. En este apartado veremos una forma directa de calcular la inversa de la matriz. Dada una matriz A, la inversa de dicha matriz se calcula de la forma siguiente: A 1 = 1 A Adj(A)t Donde Adj(A) es la matriz Adjunta de A. Dicha matriz está formada por los adjuntos de todos los elementos. Se define adjunto del elemento (i, j) al determinante que se obtiene de suprimir la fila i y la columna j multiplicado por ( 1) i+j. Es decir, si al determinante resultante de quitar la fila i y la columna j se le denota por A ij entonces el adjunto del elemento (i, j) se calcula como: Adj(a ij ) = ( 1) i+j A ij Por último, es importante notar que no todas las matrices cuadradas tendrán inversa. Es condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa que su determinante sea distinto de 0. Ejemplo Calcule la inversa de la matriz A, con A = En primer lugar debemos calcular el determinante de la matriz A. Aplicando la regla de Sarrus se obtiene que A = 4. 15

16 1.4 Matriz Inversa Ahora hay que calcular los adjuntos de cada elemento. El adjunto del elemento (1, 1) es el determinante que se obtiene al quitar la primera fila y la primera columna: A 11 = = 2 El adjunto del elemento (1, 2) es el determinante que se obtiene al quitar la primera fila y la segunda columna: A 12 = = 4 y calculando para todos los elementos y teniendo en cuenta el signo con ( 1) i+j se obtiene que: Adj(A) = ( 1) ( 1) ( 1) 1+3 ( 4) ( 1) ( 1) ( 1) 2+3 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) Y al trasponer dicha matriz se obtiene [Adj(A)] t = Por último, hay que dividir por el determinante: A 1 = 1 A [Adj(A)]t = = 0,5 0,25 0, ,5 0 16

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