a) La adición y la multiplicación de matries cuadradas del mismo orden, están bien definidas.

Transcripción

1 MATRICES CUADRADAS Definición: ( Cuadradas Una matriz A es una matriz cuadrada de orden n, si y solo si, A es de oreden n n, es decir, A tiene n filas y n columnas: a 11 a 1n a n1 a nn Observación: a La adición y la multiplicación de matries cuadradas del mismo orden, están bien definidas b Existen,matrices cuadradas A 0 y B 0 tal que A B = 0 c Cada a ii ; i = 1, 2,, n se denominan elementos diagonales (diagonal principal de A d A es una matriz diagonal si y sólo si los elementos NO diagonales son nulos: Si i j a ij = 0 a a a nn e Una matriz es escalar si y sólo si es diagonal y todos los elementos diagonales son iguales entre si (Es la matriz que toda su diagonal es igual y el resto cero f Una matriz es triangular inferior si y sólo si los elementos por encima de la diagonal son nulos: i < j a ij=0 a a 21 a 22 0 a n1 a n2 a nn

2 g Una matriz es triangular superior si y sólo si los elementos por debajo de la diagonal son nulos: i > j a ij = 0 a 11 a 12 a 1n o a 22 a 2n 0 0 a nn h A M n (R es idempotente si y sólo si A 2 = A i A M n (R es nilpotente si y sólo si existe m N tal que A m = 0 j A M n (R es simetrica si y sólo si A t = A k A M n (R es antisimetrica si y sólo si A t = A l A es ortogonal, si y sólo si, A t A = I n = A A t m A 2 = A A, A 3 = A A A, etc Definición: (Traza de una Matriz La traza de la matriz A, denotada tr(a es la suma de los elementos de la diagonal de A Es decir: tr(a = a 11 + a A nn = Observación: a tr(a ± B = tr(a ± tr(b b tr(k (A + B = k tr(a + k tr(b c tr(ab = tr(ba d tr(k A = k tr(a Definición: (Matriz Identidad La matriz identidad de orden n, o matriz unidad de orden n, denotada por I n es la matriz diagonal tal que cada elemento de la diagonal principal es 1 n t=1 a ii Ejemplo: I 2 = ( ; I 3 = Observación:

3 1 I n A =, para toda matriz A de orden n m 2 A I n = A, para toda matriz A de orden m n 3 tr(i n = n Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea f(x = a m x m + + a 1 x + a 0 un polinomio Se define la matriz f(a por: f(a = a m A m + + a 1 A + a 0 I ( 1 2 Ejemplo: Sea A = I 2 = y sea p(x = 2x x + 5 Calcular p(a Solución: p(a = 2 ( ( ( = ( DETERMINANTE DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz A de n n a 11 a 1n a n1 a nn se anota por a 11 a 1n A = a n1 a nn Veamos como calcular el determinante de una matriz, según el orden de la matriz, para luego obtener una regla mas general a Si n = 1 tenemos: A = (a 11 A = a 11 b Si n = 2 tenemos: ( a11 a A = 12 a 12 a 22 A = ( a 11 a 22 + ( a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21

4 c Si n = 3 tenemos: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 A = ( a a 22 a a 32 a 33 + a ( 11+2 a 21 a a 31 a 33 + a ( 11+2 a 21 a a 31 a 32 = ( a a 12 a a 32 a 33 + a ( 12+2 a 11 a a 31 a 33 + a ( 12+3 a 11 a a 31 a 32 = ( a a 12 a a 22 a 23 + a ( 13+2 a 11 a a 21 a 23 + a ( 13+3 a 11 a a 21 a 22 Observaciones i Las igualdades anteriores se obtienen porque podemos calcular el determinante en la fila mas conveniente, para simplificar el calculo, así si la fila tiene mas ceros es mas fácil obtener el determinante ii El determinante se puede obtener para matrices cuadradas de orden mayor que tres siguiendo el mismo orden que el establecido en el caso n = 3 2- Regla de Sarrus: La regla de sarrus sirve para obtener determinantes de matrices de orden 3 y es la siguiente: i Agregar las dos primeras columnas al final de la matriz ii El determinante se obtiene al multiplicar las diagonales de izquierda a derecha menos las diagonales multiplicadas de derecha a izquierda A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 31 a 22 a 13 Ejemplo: Comprobar la regla de Sarrus, es decir calcular de las dos formas conocidas, el determinante de la siguientes matrices, la matriz C solo calcular por definición : A = B = C =

5 Respuesta: A = 6, B = 18 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES i Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada son ceros entonces el determinante de la matriz es cero ii A = A t, es decir el determinante de la matriz es igual al determinante de la matriz transpuesta iii Si todos los elementos de una fila o columna tienen igual factor k, el determinante de la matriz queda multiplicado por k, es decir: a 11 ka 12 a 13 a 21 ka 22 a 23 a 31 ka 32 a 33 = ka 11 ka 12 ka 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = k A iv Si una matriz B se obtiene permutando (cambiando dos líneas (filas o columnas cualesquiera de una matriz A entonces A = B v Si una matriz tiene dos filas iguales e incluso una es múltiplo de otra entonces A = 0 vi A B = A B 2- OPERACIONES ELEMENTALES FILA: Sea a matriz de m filas y n columnas (de orden mxn a Intercambiar dos filas, Notación: E ik indica que estamos intercambiando la fila i por la fila k Ejemplo: A= E b Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar:notación: E i (k, indica multiplicar la fila i por un escalar (número distinto de cero k Ejemplo: A= E 2 ( c Multiplicar una fila i por un escalar α y sumar este resultado a una fila k:notación: E ik (α, indica multiplicar la fila i por un escalar α (número distinto de cero y sumarlo a una fila k

6 Ejemplo: A= E 23 ( ( 1 3- MATRICES EQUIVALENTES: Dos matrices A y B se denominan equivalentes, A B o A B, si una de ellas se obtiene de la otra como consecuencia de operaciones elementales filas Observaciones: Dos matrices equivalentes no cambian de orden Ejercicio:Probar que las matrices A y B son equivalentes A= y B= MATRICES ESCALONADAS: Definición: Sea A una matriz y F una fila de A, si F es No Nula, llamamos PIVOTE de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha Definición: Una matriz escalonada es aquella matriz que cumple las siguientes condiciones: i Todas las filas nulas (si es que existen se encuentran en la parte inferior de la matriz ii El pivote de cada fila (valor no nulo se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima Ejemplos: A = ; B = ( ; C = La matriz A no es escalonada, la matriz B y C si son escalonada