A = , B = 2 2. a 11 a 1n a 21 a 2n A = a m1 a mn

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Marta López Plaza
hace 7 años
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1 Máster en Materiales y Sistemas Sensores para Tecnologías Medioambientales Erasmus Mundus NOTAS DE CÁLCULO NUMÉRICO Damián Ginestar Peiró ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEL DISEÑO UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA 1

2 Capítulo 1 Matrices 11 Definiciones básicas Definicion 11 Se llama matriz de tamaño m n a un conjunto de m n números escritos formando un rectángulo de m filas y n columnas Cada número es un elemento de la matriz Ejemplo 11 Ejemplos de matrices son B = Se tiene que A es una matriz 2 3 y se suele escribir que A R 2 3 B es una matriz 3 2 y decimos que B R 3 2 En general una matriz m n se representa a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn A un elemento genérico de A se le representa por a ij donde i indica el número de fila y j indica el número de columna Definicion 12 Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo tamaño y sus elementos son iguales 2

3 Hay matrices que suelen aparecer en muchas situaciones y que tienen nombres especiales así Se llama matriz cuadrada a una matriz con el mismo número de filas que de columnas a 11 a 1n a 21 a 2n Rn n a m1 a mn A los elementos a ii de A se les llama diagonal principal de A A las matrices de tamaño 1 n se les llama matrices fila A las matrices de tamaño m 1 se les llama matrices columna Se llama matriz nula a una matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0 Se suele representar por O Se llama matriz identidad a una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal valen 1 y los que no están en la diagonal principal valen I n = 0 1 Diremos que una matriz es diagonal si cumple que a ij =0si i j Llamaremos matriz triangular superior a una matriz A que satisface a ij =0para i>j a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n U = 0 0 a nn a mn Llamaremos matriz triangular inferior a una matriz A que satisface 3

4 a ij =0para i<j L = a a 21 a a mm a n1 a mn Definicion 13 Dada una matriz A R n m llamaremos matriz transpuesta de A a una matriz A T R m n cuyos elementos cumplen a T ij = a ji Ejemplo 12 Dada la matriz su transpuesta es A T = Se cumple que A T T = A Definicion 14 Diremos que una matriz cuadrada A R n n es simétrica si se satisface que A T = A Definicion 15 Diremos que una matriz cuadrada A R n n es antisimétrica si se satisface que A T = A 12 Operaciones con matrices 121 Suma de matrices Dadas dos matrices del mismo tamaño A B R n m se puede definir una suma que es una nueva matriz A + B cuyos elementos satisfacen A + B ij = a ij + b ij 4

5 De este modo cualquier matriz cuadrada A R n n se puede descomponer como suma de una matriz simétrica más una antisimétrica 1 2 A + A T A A T 122 Producto por escalares Dada una matriz A R n m y un escalar λ R se define el producto λa como la matriz cuyos elementos cumplen λa ij = λa ij 123 Propiedades Conmutativa Asociativa A + B =B + A A + B + C =A + B+C = A +B + C Elemento neutro Si la matriz nula la llamamos O se cumple A + O = O + A Elemento opuesto Se satisface A + A+ O 124 Producto de matrices El producto de matrices no está definido para matrices cualesquiera Para que dos matrices A y B se puedan multiplicar se ha de cumplir que el número de columnas de A sea el mismo que el número de filas de B De este modo dadas A R n m y B R m p se define el producto cuyos elementos cumplen A n m B m p =C n p c ij = m a ik b kj i =1 n j =1 p k=1 5

6 Ejemplo 13 Dadas las matrices B = su producto es AB = Hay que tener en cuenta que al contrario de lo que ocurre con los números reales o complejos para las matrices en general se tiene que AB BA O sea el producto de matrices no es conmutativo Si se cumple que AB = BA se dice que A y B conmutan Propiedades Para matrices A B y C que se puedan multiplicar se cumple Asociativa Distributiva ABC =ABC = ABC AB + C =AB + AC Dadas A B R n m C R m p se cumple i A + B T = A T + B T ii kb T = kb T iii AC T = C T A T Definicion 16 Dada una matriz cuadrada A R n n llamaremos matriz inversa de A si existe a una matriz A 1 que cumple A 1 AA 1 = I n 6

7 125 Submatrices y bloques Dada una matriz A se llaman submatrices de A a aquellas matrices que se obtengan a partir de A eliminando filas o columnas o filas y columnas de A Ejemplo 14 Dada son submatrices A 1 = A 2 = A 3 = Dada una matriz A se llaman cajas o bloques de A a submatrices de A obtenidas eliminando filas columnas o filas y columnas consecutivas Ejemplo 15 La matriz A tiene por ejemplo los bloques A11 A = 12 A A 22 donde A 11 = A 12 = A 21 = 0 2 A 22 = 1 4 Dadas dos matrices A y B si se dividen en bloques compatibles con la operación suma por ejemplo A11 A 12 B11 B B = 12 A 21 A 22 B 21 B 22 se cumplirá A11 + B A + B = 11 A 12 + B 12 A 21 + B 21 A 22 + B 22 De igual modo ocurre con el producto Si A y B se dividen en bloques compatibles para el producto A11 A 12 B11 B B = 12 A 21 A 22 B 21 B 22 7

8 se cumplirá A11 B AB = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B Matrices complejas De igual modo a como se definen matrices de números reales es posible definir matrices de números complejos Por ejemplo 1+i 2 i 3+2i Si A es una matriz compleja de tamaño n m se escribe que A C n m Dada una matriz A se llama matriz conjugada de A a la matriz A cuyos elementos cumplen A ij = a ij Dada una matriz A se llama matriz adjunta de A a la matriz A tal que A = A T =A T Si de cumple que A se dice que A es autoadjunta o hermítica 14 Ejercicios 1 las matrices siguientes son iguales? B = Dadas dos matrices cuadradas A y B se cumple siempre la igualdad? A + BA B =A 2 B 2 8

9 3 Dada la matriz hallar la matriz A n Comprobar que A cumple A 3 3A +2I = O 4 Encontrar el vector columna X quesatisface 3 2 x1 1 = x 2 5 Multiplicar por bloques las matrices B = Comprobar si las siguientes matrices son hermíticas 3 2 i 4+i 2 1 B = 2 i 6 i i i i C = 2 3i 1 9

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