2.- TIPOS DE MATRICES

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1 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- CONCEPTO DE MATRIZ. Definición de matriz Una matriz real A es un conjunto de números reales dispuestos en filas y en columnas. 3 4 Por ejemplo, A= 0 2 es una matriz de 2 filas y 3 columnas. En general, una matriz A de m filas y n columnas se puede escribir así: a a 2.. an a2 a 22.. a2n A =..... = (a ij)..... am a m2.. amn En (a ij ), el primer subíndice, i, indica la fila y el segundo, j, indica la columna. Por ejemplo, a 2 es el elemento que está en la fila 2 y en la columna Orden o dimensión de una matriz Si una matriz tiene m filas y n columnas diremos que es de orden o dimensión m x n. 3 4 Por ejemplo, A= 0 2 es una matriz de orden 2 x 3 Traspuesta o transpuesta de una matriz La traspuesta de una matriz A es la que se obtiene escribiendo las filas de A por columnas. Se representa por A t A = t Por ejemplo, la traspuesta de 2 7 es A = 4 7 Puedes comprobar que siempre se cumple: (A t ) t = A Matrices iguales Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y cada elemento de A coincide con su respectivo elemento de B 2.- TIPOS DE MATRICES Matriz nula o matriz cero Es aquella con todos sus elementos 0. Por ejemplo, = es la matriz nula de orden 3 x 2 Matriz fila Es la que tiene sólo una fila. Por ejemplo, ( ) es una matriz fila de orden Matriz columna Es la que tiene una sola columna. Por ejemplo, 9 es una matriz columna de orden Página -

2 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Matriz cuadrada Es la que tiene el mismo número de filas que de columnas 2 0 Por ejemplo, A= 3 4 es una matriz cuadrada de orden Todas las matrices cuadradas tienen una diagonal principal y otra secundaria: Matriz triangular Una matriz cuadrada A es una matriz triangular superior, si los elementos por debajo la diagonal principal son cero. Por ejemplo, A = es una matriz triangular superior de orden 3 Una matriz cuadrada A es una matriz triangular inferior, si los elementos por encima de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, A = es una matriz triangular inferior de orden 3 Una matriz cuadrada A es una matriz triangular, si es triangular superior o triangular inferior Matriz diagonal Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos de fuera de la diagonal principal Por ejemplo, A = es una matriz diagonal de orden 3 Matriz identidad Es la matriz diagonal con todo en la diagonal principal I 2 0 = 2 0 es la matriz identidad de orden Ejemplos: I = 0 0 es la matriz identidad de orden En general, la matriz identidad de orden n se representa por I n o simplemente por I Matriz simétrica Una matriz cuadrada A es simétrica si es igual que su traspuesta, es decir si A t = A Por ejemplo, la matriz A= 3 t es simétrica, pues A = 3 = A Puedes observar que los elementos de A son simétricos respecto de la diagonal principal - Página 2 -

3 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 3.- OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta de matrices Para poder sumar o restar matrices, deben tener exactamente el mismo orden. En tal caso, se suman o restan los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices A= y B = 6 Ejemplos: A+ B= + = A B= = Propiedades más importantes ) Conmutativa: A + B = B + A 2) Elemento neutro: A + 0 = A 3) Elemento opuesto: A + ( A) = 0 4) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) ) (A + B) t = A t + B t 6) (A B) t = A t B t Producto de un número por una matriz Para multiplicar un número por una matriz se multiplica el número por cada elemento de la matriz = Ejemplos: = 20 0 Producto de una matriz fila por una matriz columna Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna deben tener ambas el mismo número de elementos. En tal caso, se multiplican elemento a elemento y luego se suman los resultados Ejemplo: ( 3 2 ) 7 = 3.( ) ( 2).4 = 6 4 En general, la regla para multiplicar una fila por una columna es: b b a a...a a b a b a b n n = b n 2 2 n ( ) Producto de matrices Dadas dos matrices A y B, para poder realizar la multiplicación AB es imprescindible que el nº de columnas de A sea igual al nº de filas de B. Si A es de orden m x k, B de orden k x n A.B es de orden m x n - Página 3 -

4 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES En tal caso, para hacer el producto AB se multiplican las filas de A por las columnas de B. C C C Ejemplo: 2 3 F FC FC FC 6 6 F 3 2 Orden2x4 Orden4x3 Orden2x3 2 3 = = FC 2 FC 2 2 FC F.C = ( ). = = F.C 3= ( ). = = 2 4 F.C 2 2= ( ). = 3.( 4) + 2.( 2) = F.C 2 = ( ). = ( 2).3= F.C 2 2 2= ( ). = 2.( 4) +.( 2) ( 2).2= F.C 2 3= ( ). = ( 2).= 2 La regla general es: Propiedades más importantes del producto de matrices: ) Elemento neutro: A I = I A = A 2) No conmutativa: AB BA 3) Asociativa: (AB)C = A(BC) 4) Distributiva respecto de la suma y la resta: A(B+C) = AB + AC y A(B C) = AB AC ) A. 0 = 0. A = 0 (matriz nula) 6) (AB) t = B t A t Ten en cuenta: * Como el producto de matrices no es conmutativo, no se pueden aplicar las fórmulas de las identidades notables. Ejemplo: (A+ B) = (A+ B)(A+ B) = A + AB + BA + B A 2AB+ B Como AB BA, no se pueden reducir (A B) A 2AB+ B Razonando de forma similar: 2 2 (A+ B)(A B) A B * Sólo se puede sacar factor común cuando el factor que se repite está siempre a la izquierda o siempre a la derecha. Por ejemplo, en AB + CA no se puede sacar factor común A - Página 4 -

5 2º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA.- MATRICES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 4.- POTENCIAS SUCESIVAS DE UNA MATRIZ CUADRADA Dada una matriz cuadrada A, se pueden calcular las sucesivas potencias de A de la siguiente forma: A 2 = A A A 3 = A 2 A A 4 = A 3 A o también A 4 = A 2 A 2, etc Se puede comprobar que I n = I 0 n = 0 (ka) n = k n A n. En algunos casos se puede calcular A n en función de n, siempre que las sucesivas potencias de A sigan una cierta regularidad..- APLICACIONES DE LAS MATRICES Situaciones reales Muchas veces se dispone de una serie de datos y queremos organizarlos para que sean rápidamente identificados y su manipulación resulte sencilla. Una forma de hacerlo es mediante matrices en las que las filas y las columnas tienen un significado determinado. Por ejemplo, supongamos que la distribución por sexo y edad de un grupo de personas viene dada por la tabla La matriz asociada sería Grafos Un grafo es un esquema formado por una serie de puntos (llamados nodos o vértices) unidos por segmentos o arcos (llamados aristas) que sirve para representar las relaciones existentes entre los elementos de un conjunto. Si las aristas son líneas sin orientación se llama grafo no dirigido. En otro caso, las aristas llevan punta de flecha y se llama grafo dirigido o digrafo En un grafo, se llama camino a una sucesión de aristas Cualquier grafo lleva asociada una matriz A (llamada matriz de adyacencia) que se obtiene poniendo el número de aristas que relacionan dos nodos. - Página -

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