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1 Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente (o entrada, o elemento) correspondiente a la fila i (1 i m) y la columna j (1 j n) Recordemos que los a ij son números reales o complejos Una matriz cuadrada es aquella que tiene la misma cantidad de filas y de columnas El conjunto de matrices cuadradas n n lo denotaremos por M n

2 Suma de matrices Dadas dos matrices A, B M m n, la suma A + B M m n está definida por (A + B) ij = A ij + B ij Es decir, si entonces a 11 a 1n A = a m1 a mn, B = b 11 b 1n b m1 b mn a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B = a m1 + b m1 a mn + b mn,

3 Multiplicación de una matriz por un escalar Dada una matriz A M m n y un escalar c, la matriz ca está definida por (ca) ij = ca ij Es decir, si a 11 a 1n A = a m1 a mn, entonces ca = ca 11 ca 1n ca m1 ca mn

4 Multiplicación de matrices Dada una matriz A M m n y otra B M n p, producto AB M m p está definido de la siguiente manera: (AB) ij = fila i de A x columna j de B = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a in b nj = n a ik b kj k=1 Observaciones 1 El producto de matrices es asociativo: (AB)C = A(BC) si A M m n, B M n p y B M p q 2 El producto de matrices no es conmutativo en general: (a) En primer lugar, si m p el producto BA no está definido (b) Ambos productos AB y BA están definidos simultáneamente si y sólo si A y B son cuadradas, pero aún en este caso no se cumple en general que AB = BA

5 Ejemplo de AB BA: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = = Forma matricial de un sistema lineal [ ] Un sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas de la forma: a 11 x a 1n x n = y 1 a m1 x a mn x n = y m se puede escribir en forma matricial AX = Y, donde a 11 a 1n x 1 y 1 A =, X =, Y = a m1 a mn x n y m El sistema lineal homogéneo es AX = 0, donde 0 es (en este caso) la matriz columna m 1 nula

6 Matriz inversible e inversa Denotaremos M n el conjunto de matrices cuadradas n n La matriz identidad I n (o simplemente I ) está definida por I = Esta matriz tiene la propiedad: AI n = A y I m A = A si A M m n Definición Una matriz cuadrada A M n es inversible si existe una matriz A 1 tal que AA 1 = A 1 A = I La matriz A 1 se llama la matriz inversa de A

7 Definición Dos matrices A y B son equivalentes por filas si se puede obtener B mediante operaciones de fila sobre A Teorema Sea A M n una matriz cuadrada Son equivalentes: 1 A es inversible 2 A es equivalente por filas a la matriz identidad 3 El sistema lineal AX = Y tiene solución única, es decir, es compatible determinado, para todo Y M m 1 4 El sistema lineal homogéneo AX = 0 tiene sólo la solución trivial X = 0 (es decir, x 1 = 0,, x n = 0) 5 det A 0

8 Método para determinar si A es inversible y encontrar A 1 Comenzamos armando una matriz n 2n que tiene como submatrices a la matriz A a la izquierda y a la identidad I a la derecha: a 11 a 1n 1 0 [A I ] = a m1 a mn 0 1 Ahora reducimos por filas esta matriz hasta obtener la identidad como submatriz a la izquierda Notemos que si A es inversible el teorema nos garantiza que podemos hacer esto, ya que A es equivalente por filas a la identidad En este caso la submatriz que se obtiene a la derecha a la derecha es la inversa A 1 O sea: [A I ] > reducción por filas > [I A 1 ]

9 Si al hacer la reducción por filas no obtenemos I a la izquierda (aparece una fila de n ceros), esto significa que A no es equivalente por filas a la identidad, y por lo tanto no es inversible La submatriz de la derecha no tiene ningún significado en este caso Ejemplo Hallar (si existe) la inversa de A = Determinantes Comenzaremos repasando la definición del determinante de una matriz cuadrada Recordemos que el determinante es una función que a cada matriz cuadrada A le asigna un escalar, el determinante de A, denotado det A o simplemente A Lo definiremos inductivamente sobre el tamaño de la matriz, es decir, comenzaremos definiendo determines de matrices 1 1, luego de matrices 2 2, y finalmente de matrices n n teniendo definidos los de matrices (n 1) (n 1)

10 Definición Matrices 1 1: pueden identificarse con un escalar, es decir, A = [a], y definimos det A = a Matrices 2 2: Si [ ] a b A = definimos det A = ad bc c d Matrices n n: Expansión de Laplace Supongamos que conocemos la definición de determinante de matrices (n 1) (n 1) Sea ahora A una matriz n n Denotaremos A(i j) a la matriz (n 1) (n 1) obtenida de A extrayendo la fila i y la columna j Ahora definimos: det A = a 11 A(1 1) a 12 det A(1 2) + + ( 1) 1+n a 1n det A(1 n) n = ( 1) 1+j a 1j det A(1 j)(expansión de Laplace por fila 1) j=1

11 Observaciones Puede demostrarse que la expansión de Laplace por cualquier fila o columna da el mismo resultado Es decir: det A = = n ( 1) i+j a ij det A(i j) Expansión de Laplace por fila i j=1 n ( 1) i+j a ij det A(i j) Exp de Laplace por columna j i=1 El número C ij = ( 1) i+j det A(i j) se llama el cofactor i, j de la matriz A, y la expansión de Laplace por la fila i (resp la columna j) también suele llamarse desarrollo del determinante por cofactores de la fila i (resp la columna j)

12 Propiedades del determinante 1 El determinante depende linealmente de la primera fila Más aún, depende linealmente de cualquier fila o columna 2 El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos filas (o columnas) de la matriz 3 El determinante de la matriz identidad es 1 4 Si A tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante es 0 5 La operación elemental de sumarle a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante 6 Si A tiene una fila de ceros, el determinante es 0 7 Si A es triangular, entonces el determinante es el producto de los elementos de la diagonal, es decir det A = a 11 a 22 a nn 8 Si A, B M n, det AB = det A det B, es decir, el determinante del producto es el producto de los determinantes 9 A es inversible si y sólo si det A 0 En particular, si A es inversible, det A 1 = 1/ det A = (det A) 1 10 det A = det A T, donde A T es la transpuesta de A, esto es, A T ij = a ji

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