Producto de matrices triangulares superiores

Transcripción

1 Producto de matrices triangulares superiores Ejercicios Objetivos Demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior Deducir una fórmula para las entradas diagonales del producto Deducir fórmulas para las entradas por arriba de la diagonal principal Requisitos Definición del producto de matrices, notación breve para las sumas, partición de una suma Entradas diagonales de una matriz cuadrada, entradas por arriba y por abajo de la diagonal Diagonal principal de una matriz cuadrada En la siguiente matriz A M 4 (R) están marcadas las entradas pertenecientes a diagonal principal: A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 4,1 A 4,2 A 4,3 A 4,4 Parte estrictamente superior de una matriz En la siguiente matriz A M 4 (R) están marcadas las entradas ubicadas en la parte estrictamente superior ( esctrictamente superior derecha), es decir, por arriba de la diagonal principal: A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 4,1 A 4,2 A 4,3 A 4,4 1 Parte estrictamente inferior de una matriz Marque la parte esctrictamente inferior ( esctrictamente inferior izquierda) de la siguiente matriz A M 4 (R) En otras palabras, marque las entradas ubicadas por debajo de la diagonal principal A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 2,1 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 3,1 A 3,2 A 3,3 A 3,4 A 4,1 A 4,2 A 4,3 A 4,4 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 1 de 14

2 2 Sea A M 4 (R) Para cada una de las siguientes entradas de A determine su ubicación y dibuje flechitas correspondientes: A A 2,2 está por arriba de la diagonal principal A 1,3 está en la diagonal principal A 3,2 está por debajo de la diagonal principal A 4,2 3 Diagonal principal, parte superior derecha y parte inferior izquierda de una matriz cuadrada (definición formal) Sea A M n (R) Para cada una de las siguientes entradas de A determine su ubicación: A i,j, i < j está en la diagonal principal A i,j, i j está por arriba de la diagonal principal A i,j, i > j está por debajo de la diagonal principal Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 2 de 14

3 Definición de matrices triangulares superiores e inferiores Definición: la diagonal principal de una matriz cuadrada Sea A una matriz cuadrada, A M n (R) La diagonal principal de A consiste de las entradas A i,i, donde i {1,, n} También se dice que A i,i, donde i {1,, n}, son entradas diagonales o elementos diagonales de la matriz A 4 Descripción formal de las entradas en la diagonal principal, fuera de la diagonal principal, por arriba y por abajo de la diagonal principal A i,j está en la diagonal principal i j A i,j está fuera de la diagonal principal } {{ }? A i,j está por arriba de la diagonal principal } {{ }? Definición de las matrices diagonales El conjunto de las matrices diagonales reales de orden n consiste de las matrices reales de orden n cuyas entradas fuera de la diagonal principal son nulas: { } A M n (R): A i,j para todos i, j {1,, n} tales que i j Más formalmente: { } A M n (R): i, j {1,, n} si i j, entonces A i,j 5 Definición de las matrices triangulares superiores y triangulares inferiores Escriba las definiciones formales de matrices triangulares superiores y triangulares inferiores: ut n (R) : lt n (R) : { A M n (R): i, j {1,, n} si }, entonces A i,j 6 Relación entre matrices triangulares superiores y triangulares inferiores Denotemos por A a la matriz transpuesta de A A lt n (R) A } {{ }? Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 3 de 14

4 Producto de matrices triangulares superiores en el caso particular n 3 7 Sean A, B ut 3 (R): A 1,1 A 1,2 A 1,3 A A 2,2 A 2,3, B A 3,3 Calcule el producto AB Solución Escribimos el producto (llene todas las entradas): AB A 1,1 B 1,1 +A 1,2 B 2,1 +A 1,3 B 3,1 A 3,1 B 1,2 +A 3,2 B 2,2 +A 3,3 B 3,2 B 1,1 B 1,2 B 1,3 B 2,2 B 2,3 B 3,3 Notamos que algunos de los factores son nulos: AB A 1,1 B 1,1 +A 1,2 +A 1,3 B 1,2 + B 2,2 +A 3,3 Quitando los sumandos nulos obtenemos la respuesta final: AB 8 Observaciones acerca de la matriz AB Las entradas por debajo de la diagonal principal son así que la matriz AB es Por arriba de la diagonal principal algunas sumas se reducen gracias a los sumandos nulos En la diagonal principal la (i, i)-ésima entrada es igual a Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 4 de 14

5 Entradas del producto por debajo de la diagonal principal en el caso particular n 6 En los siguientes ejercicios se consideran dos matrices triangulares superiores A y B de orden 6 con entradas generales: A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 1,5 A 1,6 B 1,1 B 1,2 B 1,3 B 1,4 B 1,5 B 1,6 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 2,5 A 2,6 B 2,2 B 2,3 B 2,4 B 2,5 B 2,6 A A 3,3 A 3,4 A 3,5 A 3,6 A 4,4 A 4,5 A 4,6, B B 3,3 B 3,4 B 3,5 B 3,6 B 4,4 B 4,5 B 4,6 A 5,5 A 5,6 B 5,5 B 5,6 A 6,6 B 6,6 Ejemplo Calcular la entrada (AB) 4,2 del producto AB Solución Por la definición del producto de matrices, la entrada de la matriz AB con índices (4, 2) es el producto punto del cuarto renglón de A por la segunda columna de B: (AB) 4,2 A 4,1 B 1,2 + A 4,2 B 2,2 + A 4,3 B 3,2 + A 4,4 B 4,2 + A 4,5 B 5,2 + A 4,6 B 6,2 Indicamos los factores nulos y simplificamos la suma: (AB) 4,2 A 4,1 porque 4>1 B 1,2 + A 4,2 B 2,2 + A 4,3 B 3,2 +A 4,4 B 4,2 +A 4,5 B 5,2 (4>2) (4>3) (3>2) (4>2) (5>2) +A 4,6 B 6,2 (6>2) Calcule las siguientes entradas del producto AB: 9 (AB) 4,1 A 4,1 B 1,1 + A 4,2 B 2,1 + A 4,3 B 3,1 + A 4,4 B 4,1 + A 4,5 B 5,1 + A 4,6 B 6,1 1 (AB) 5,2 11 (AB) 6,4 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 5 de 14

6 Entradas diagonales del producto en el caso particular n 6 Seguimos estudiando el producto de matrices triangulares superiores para el caso particular de matrices 6 6: A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 1,5 A 1,6 B 1,1 B 1,2 B 1,3 B 1,4 B 1,5 B 1,6 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 2,5 A 2,6 B 2,2 B 2,3 B 2,4 B 2,5 B 2,6 A A 3,3 A 3,4 A 3,5 A 3,6 A 4,4 A 4,5 A 4,6, B B 3,3 B 3,4 B 3,5 B 3,6 B 4,4 B 4,5 B 4,6 A 5,5 A 5,6 B 5,5 B 5,6 A 6,6 B 6,6 Ahora calculemos las entradas diagonales del producto AB Ejemplo Calcular la entrada (AB) 3,3 del producto AB Solución (AB) 3,3 A 3,1 B 1,3 + A 3,2 B 2,3 + A 3,3 B 3,3 + A 3,4 B 4,3 +A 3,5 B 5,3 (3>1) (3>2) Respuesta: (AB) 3,3 A 3,3 B 3,3 (4>3) (5>3) +A 3,6 B 6,3 (6>3) A 3,3 B 3,3 Calcule las siguientes entradas del producto AB: 12 (AB) 2,2 13 (AB) 5,5 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 6 de 14

7 Entradas del producto por arriba de la diagonal principal en el caso particular n 6 Seguimos estudiando el producto de matrices triangulares superiores para el caso particular de matrices 6 6: A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 1,4 A 1,5 A 1,6 B 1,1 B 1,2 B 1,3 B 1,4 B 1,5 B 1,6 A 2,2 A 2,3 A 2,4 A 2,5 A 2,6 B 2,2 B 2,3 B 2,4 B 2,5 B 2,6 A A 3,3 A 3,4 A 3,5 A 3,6 A 4,4 A 4,5 A 4,6, B B 3,3 B 3,4 B 3,5 B 3,6 B 4,4 B 4,5 B 4,6 A 5,5 A 5,6 B 5,5 B 5,6 A 6,6 B 6,6 Ejemplo Calcular (AB) 2,4 Solución (AB) 2,4 A 2,1 B 1,4 + A 2,2 B 2,4 + A 2,3 B 3,4 + A 2,4 B 4,4 + A 2,5 B 5,4 +A 2,6 B 6,4 (2>1) (5>4) (6>4) De los seis sumandos se quedaron sólo tres: 4 (AB) 2,4 A 2,2 B 2,4 + A 2,3 B 3,4 + A 2,4 B 4,4 A 2,k B k,4 k2 Calcule las siguientes entradas del producto AB Primero escriba todos los sumandos, luego indique factores nulos y simplifique las sumas 14 (AB) 4,5 15 (AB) 3,6 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 7 de 14

8 (AB) i,j k Vamos a generalizar los resultados de los ejercicios anteriores al caso de matrices triangulares superiores de orden n Necesitamos repasar la definición formal del producto de matrices y una propiedad de las sumatorias Fórmula general para las entradas del producto de matrices En los siguientes ejercicios se consideran matrices cuadradas A y B del mismo tamaño, no necesariamente triangulares superiores, y se pide escribir las fórmulas para su entradas de dos maneras diferentes: 1) con puntitos ; 2) con el símbolo de suma Ejemplo Si A, B M 8 (R), entonces (AB) 2,5 A 2,1 B 1,5 + A 2,2 B 2,5 + A 2,3 B 3,5 + + A 2,7 B 7,5 + A 2,8 B 8,5 8 A 2,k B k,5 k1 16 Sean A, B M 7 (R) Entonces (AB) 6,2 17 Sean A, B M 15 (R) Entonces (AB) 11,8 18 Fórmula general escrita con puntitos Sean A, B M n (R) Entonces (AB) i,j Fórmula general escrita con Sean A, B M n (R) Entonces Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 8 de 14

9 Partición de una suma Ejemplo A veces es cómodo dividir una suma en dos partes Por ejemplo, d k d 1 + d 2 + d 3 + d 4 + d 5 (d 1 + d 2 ) + (d 3 + d 4 + d 5 ) d k + d k k1 k1 k d k 5 d k k1 k1 d k + k Ejemplo 3 k1 d k 7 21 d k + d k + k1 k8 3 k22 d k d k + 25 d k k1 d k k k9 d k + k Ejemplo Supongamos que d k 4 k {1,, 5} y d k 7 k {6,, 15} Entonces d k d k + d k k1 k1 4 k Sean d k 2 k {1,, 4} y d k 8 k {5,, 1} Calcule: 1 k1 d k 23 Sea d k k {1,, 4} {9,, 2} Simplifique la suma: 2 k1 d k 24 Sea d k k {1,, 5} {7,, 2} Simplifique la suma: 2 k1 d k Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 9 de 14

10 Entradas del producto por debajo de la diagonal principal en el caso particular n 2 En los siguientes ejercicios se considera el producto de dos matrices triangulares superiores A, B ut 2 (R) con entradas generales Ejemplo Demostrar que (AB) 12,7 Solución Por la definición del producto, 2 (AB) 12,7 A 12,k B k,7 Dividimos la suma en tres partes: k1 (AB) 12,7 7 k1 A 12,k (k 7<12) B k, k8 A 12,k B k,7 (k 11<12) (k 8>7) + 2 k12 A 12,k B k,7 (k 12>7) Demuestre que las siguientes entradas del producto AB son nulas: 25 (AB) 7,2 26 (AB) 17,5 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 1 de 14

11 Entradas diagonales del producto en el caso particular n 2 Seguimos trabajando con el producto de dos matrices triangulares superiores de orden 2: A, B ut 2 (R) 27 Calcular (AB) 8,8 Solución Respuesta: (AB) 8,8 7 k1 A 8,k (k 7<8) 2 B k,8 + A 8,8 B 8,8 + A 8,k B k,8 (AB) 8,8 A 8,8 B 8,8 k9 (k 9>8) Calcule las siguientes entradas del producto: 28 (AB) 3,3 29 (AB) 14,14 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 11 de 14

12 Entradas del producto por arriba de la diagonal principal en el caso particular n 2 Seguimos considerando el producto de dos matrices triangulares superiores de orden 2: A, B ut 2 (R) Ejemplo Calcular (AB) 8,15 Solución (AB) 8,15 7 k1 A 8,k (k 7<8) 15 B k,15 + A 8,k B k,15 + k8 2 k16 A 8,k B k,15 (k 16>15) Respuesta: 15 (AB) 8,15 A 8,k B k,15 k8 Calcule las siguientes entradas del producto AB: 3 (AB) 4,11 31 (AB) 11,14 Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 12 de 14

13 Teorema: el producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior Demostración general 32 Sean A, B ut n (R) Demuestre que AB ut n (R) Solución Sean i, j {1,, n}, i > j Vamos a demostrar que (AB) i,j Por definición del producto de matrices, la (i, j)-ésima entrada de la matriz AB se escribe como la siguiente suma: (AB) i,j k Como las matrices A y B son triangulares superiores, A i,k para todos i, k {1,, n} tales que B k,j para todos k, j {1,, n} tales que?? Por eso dividimos la suma en tres partes y mostremos que todos los sumandos son : (AB) i,j k1 + k + k Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 13 de 14

14 Fórmula para las entradas diagonales Demostración general 33 Sean A, B ut n (R) y sea i {1,, n} Enuncie y demuestre la fórmula para calcular (AB) i,i Fórmula para calcular las entradas no triviales Demostración general 34 Sean A, B ut n (R) y sean i, j {1,, n}, i j Escriba y demuestre una fórmula para (AB) i,j Producto de matrices triangulares superiores, ejercicios, página 14 de 14