Sistema de ecuaciones algebraicas

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1 Sistema de ecuaciones algebraicas Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: web: Universidad: ITESM CEM

2 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Antecedentes matemáticos 2 Notación matricial Representación de una matriz Operaciones con matrices Representación matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas 3 Solución de sistemas de ecuaciones pequeños (n 3) Método gráfico Regla de Cramer La eliminación de incógnitas

3 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Antecedentes matemáticos 2 Notación matricial Representación de una matriz Operaciones con matrices Representación matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas 3 Solución de sistemas de ecuaciones pequeños (n 3) Método gráfico Regla de Cramer La eliminación de incógnitas

4 Ecuaciones algebraicas lineales Forma General a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n donde a son los coeficientes constantes, b son constantes, n es el número de ecuaciones, x son las incógnitas.

5 Ecuaciones algebraicas lineales Método de solución sin computadora Si son pocas ecuaciones (n 3), las ecuaciones lineales pueden resolverse con rapidez mediante técnicas simples, Con 4 o más ecuaciones, la solución se vuelve laboriosa y debe usarse una computadora, El surgimiento de las computadoras hizo posible resolver grandes sistemas de ecuaciones algebraicas.

6 Antecedentes matemáticos En esta parte, el álgebra y la notación matricial son muy útiles, ya que proporcionan una forma concisa de representar y manejar ecuaciones algebraicas lineales. Por esta razón, en esta clase estudiaremos las matrices y sus operaciones.

7 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Antecedentes matemáticos 2 Notación matricial Representación de una matriz Operaciones con matrices Representación matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas 3 Solución de sistemas de ecuaciones pequeños (n 3) Método gráfico Regla de Cramer La eliminación de incógnitas

8 Representación de una matriz Matriz Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. Por ejemplo, una matriz A la podemos representar como: a 11 a 12 a 13 a 1m a 21 a 22 a 23 a 2m A = a n1 a n2 a n3 a nm donde a ij designa un elemento individual, El conjunto horizontal de elementos se llama fila, El conjunto vertical de elementos se llama columna, El elemento a 23 está en la fila 2 y la columna 3, Se dice que la matriz A tiene dimensión n m

9 Representación de una matriz Vector fila: n = 1 B = [ b 1 b 2 b 3 b m ] Vector columna: m = 1 C = c 1 c 2 c 3. c n

10 Representación de una matriz Matriz cuadrada: n = m Ejemplo de matriz cuadrada de 4 4 A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 La diagonal que contiene los elementos: a 11, a 22, a 33 y a 44 se le llama diagonal principal. Matriz cuadrada Las matrices cuadradas resultan particularmente importantes cuando se resuelven sistemas de ecuaciones algebraicas, El número de ecuaciones corresponden a las filas, El número de incógnitas corresponden a las columnas.

11 Operaciones con matrices Matrices iguales La matriz A nm es igual a la matriz B nm si y solo si, cada elemento de la matriz A nm es igual a cada elemento de la matriz B nm, es decir a ij = b ij para todo i y j.

12 Operaciones con matrices Suma y resta de dos matrices C nm = A nm + B nm, se obtiene al sumar los términos correspondientes a cada matriz, es decir: c ij = a ij + b ij, para i = 1, 2,, n y j = 1, 2,, m C nm = A nm B nm, se obtiene al restar los términos correspondientes a cada matriz, es decir: c ij = a ij b ij, para i = 1, 2,, n y j = 1, 2,, m, La suma y la resta sólo pueden realizarse entre matrices que tengas las mismas dimensiones. Propiedades de la suma y resta de matrices La suma es conmutativa: A nm + B nm = B nm + A nm, La resta no es conmutativa: A nm B nm B nm A nm, La suma es asociativa: (A nm + B nm ) + C nm = A nm + (B nm + C nm ), La resta no es asociativa:

13 Operaciones con matrices Multiplicación de una matriz (A) por un escalar (α) α a 11 α a 12 α a 13 α a 1m α a 21 α a 22 α a 23 α a 2m D = α A = α a n1 α a n2 α a n3 α a nm

14 Operaciones con matrices Multiplicación de matrices C n l = A n m B m l Multiplicación de matrices n c ij = a ik b kj k=1

15 Operaciones con matrices Propiedades de la multiplicación La multiplicación matricial es asociativa: (A B) C = A (B C), La multiplicación matricial es distributiva: A(B + C) = A B + A C, La multiplicación matricial no es conmutativa: A B B A

16 Operaciones con matrices Matriz inversa A A 1 = A 1 A = I Matriz inversa de A 2 2 A = 1 a 11 a 22 a 12 a 21 [ ] a22 a 12 a 21 a 11

17 Operaciones con matrices Matriz transpuesta A 4 4 A 4 4 = A t 4 4 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 43 a 14 a 24 a 34 a 44

18 Representación matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas Sistema de ecuaciones algebraicas A X = B donde a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a n3 a nn B t = [ b 1 b 2 ] b n X t = [ x 1 x 2 x n ]

19 Tópicos 1 Introducción Ecuaciones algebraicas lineales Antecedentes matemáticos 2 Notación matricial Representación de una matriz Operaciones con matrices Representación matricial de un sistema de ecuaciones algebraicas 3 Solución de sistemas de ecuaciones pequeños (n 3) Método gráfico Regla de Cramer La eliminación de incógnitas

20 Método gráfico Dada las ecuaciones: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Despejando en las dos ecuaciones x 2, tenemos: ( ) x 2 = a11 a 12 x 1 + b 1 ( ) a 12 x 2 = a21 a 22 x 1 + b 2 a 22 Método gráfico Se puede obtener la solución al graficar las dos funciones lineales en coordenadas cartesianas con un eje que corresponde a x 1 y el otro a x 2, y se busca el punto de intersección.

21 Método gráfico Ejemplo: Método gráfico 3 x x 2 = 18 x x 2 = 2 Despejando en las dos ecuaciones x 2, tenemos: x 2 = 3 2 x x 2 = 1 2 x 1 + 1

22 Método gráfico

23 Regla de Cramer Determinante Dado el sistema de ecuaciones: A X = B donde A es la matriz de los coeficientes: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 El determinante del sistema (de la matriz A) es: a 11 a 12 a 13 D = Det(A) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

24 Regla de Cramer Determinante a 11 a 12 a 13 D = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a D = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

25 Regla de Cramer Determinante D = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 D = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 )

26 Regla de Cramer Regla de Cramer x 1 = x 2 = x 3 = b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 D a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 D a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 D

27 Regla de Cramer Ejemplo: Aplicación de la regla de Cramer En forma matricial: donde 0.3 x x 2 + x 3 = x 1 + x x 3 = x x x 3 = 0.44 A = A X = B, , B t = [ ], X t = [ x 1 x 2 x 3 ].

28 Regla de Cramer Solución ejemplo: Aplicación de la regla de Cramer Determinante: a D = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 D = D = 0.3( 0.07) 0.52(0.06) + 1(0.05) =

29 Regla de Cramer Solución ejemplo: Aplicación de la regla de Cramer x 1 = = = x 2 = = = x 3 = = = 19.8

30 La eliminación de incógnitas Eliminación de incógnitas para un sistema de 2 2 a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 Multiplicando la primera ecuación por a 21 Multiplicando la segunda ecuación por a 11 a 11 a 21 x 1 + a 12 a 21 x 2 = b 1 a 21 a 21 a 11 x 1 + a 22 a 11 x 2 = b 2 a 11

31 La eliminación de incógnitas Eliminación de incógnitas para un sistema de 2 2 Restando y despejando x 2 : x 2 = a 11b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21 Finalmente, sustituyendo la solución de x 2 en la primera ecuación, tenemos: x 1 = a 22b 1 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21

32 La eliminación de incógnitas Eliminación de incógnitas para un sistema de 2 2 Observe que esta respuesta es equivalente a la solución dada por Regla de Cramer b 1 a 12 b 2 a 22 x 1 = a = a 22b 1 a 12 b 2 11 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 a 11 b 1 a 21 b 2 x 2 = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21

33 La eliminación de incógnitas Ejemplo: Sistema de 2 2 Solución: 3 x x 2 = 18 x x 2 = 2 x 1 = (2)(18) (2)(2) (3)(2) (2)( 1) = 4 x 2 = (3)(2) ( 1)(18) (3)(2) (2)( 1) = 3

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