Los números complejos

Transcripción

1 Los números complejos Un poco de Historia: La resolución de ecuaciones algebraicas ocupó a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos egipcios babilónicos, quienes desarrollaron métodos para resolver ecuaciones lineales cuadráticas. Estas ecuaciones, formuladas verbalmente en aquel entonces no a través de los símbolos que ho utilizamos, surgieron de las necesidades prácticas propias de actividades como el comercio las finanzas por un lado la agricultura la medición de terrenos por el otro. El estudio de las ecuaciones lineales del tipo: donde son números naturales, reveló la necesidad de considerar a los números enteros negativos para poder asegurar la existencia de una solución en cualquier caso. Por ejemplo, la ecuación: exige, para su solución, que se consideren los números negativos. Estos números fueron utilizados en India China varios siglos antes que en Europa. Análogamente, las ecuaciones del tipo: donde, son números enteros, muchas veces no tienen solución entera, sino racional; por ejemplo: Solución: El conjunto de los números naturales se va ampliando así, de manera que, para diferentes tipos de ecuaciones se pueda garantizar la existencia de una solución dentro de los conjuntos 'ampliados': denota el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números racionales, se tiene: denota el conjunto de los números enteros donde el símbolo significa 'esta contenido en'. Ya desde los tiempos de los pitagóricos se reconoció la existencia de números no racionales; cuando se intentó calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, con el uso del Teorema de Pitágoras. se concluó que, es decir,. Para la gran sorpresa angustia de muchos,

2 no se pudo encontrar un número de la forma, con enteros,, tal que fuese solución de la ecuación: La solución, que ho denotamos por, es un número irracional, como lo son una infinidad de números que son soluciones de ecuaciones polinómicas de grado maor o igual que 2. Se reúnen todos los números racionales todos los irracionales para construir el conjunto de todos los números reales, se cumple que Ahora bien, en la resolución de ecuaciones cuadráticas, durante la Edad Media antes, se ignoraban los casos como el siguiente: Al intentar usar la fórmula: Se obtiene: Sabiendo que ningún número elevado al cuadrado es igual a, pues todo número elevado al cuadrado es positivo, algunos autores, como el famoso algebrista árabe Al-Khowarizmi, afirmaban que, en semejante situación, lo que se tenía no era una ecuación! n embargo, muchos años más tarde, en el siglo XVI, en pleno Renacimiento europeo, el matemático italiano Girolamo Cardano, haciendo grades esfuerzos por encontrar fórmulas para la resolución de las ecuaciones de grado 3 de grado 4, descubrió que era útil considerar las raíces cuadradas de números negativos 'como si fueran números', operar con ellas tal como lo haría con números verdaderos, a pesar de que, según propias palabras, había que ser capaz de 'soportar la tortura mental' que esto significaba. Es así como se inicia el tratamiento de los números que ahora llamamos 'complejos': como una especie de 'truco' para resolver un problema algebraico, truco que para su propio creador resultaba ser una tortura mental. Han pasado varios siglos desde entonces, a los números complejos no deberían erían representar una tortura para nadie. Han sido aceptados debidamente estudiadas sus propiedades. Se han encontrado mútiples aplicaciones o usos de los números complejos, especialmente en la Física particularmente en la Electricidad.

3 Los números complejos Sabiendo que no existe ningún número real tal que, se crea la siguiente notación: Es decir, ' ' representa resenta una especie de 'unidad imaginaria', así se le llama con frecuencia. A partir de ella se construirá un conjunto de números que contiene a todos los números reales además contiene a todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas. Para cualquier número real positivo, se tiene: Aquí es un número real, porque así. Por ejemplo: Un número complejo es una expresión de la forma: donde son números reales, es la unidad imaginaria, es la parte real del número complejo, es su parte imaginaria. es un número complejo, entonces es un número real. Por eso, en el conjunto de todos los números complejos, están incluidos todos los números reales. En otras palabras, un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero. Por otra parte, si, entonces se dice que es un número imaginario puro. Representación gráfica de los números complejos: Con frecuencia resulta mu útil representar los números complejos gráficamente en el plano cartesiano. Se identifica el número complejo con el par ordenado se representa este punto en el plano cartesiano (ver figura de la derecha) En otras palabras, sobre el eje de las abscisas se representa la parte real del número complejo sobre el eje de las ordenadas, se representa su parte imaginaria.

4 Operaciones con los números complejos Se definen las operaciones de suma, resta, producto división en el conjunto de los números complejos de la siguiente manera: Suma: son números complejos, se define el número complejo así: Por ejemplo, Resta: endo como antes, se tiene que Por ejemplo: Dos números complejos son conjugados si con, números reales. Es decir, son conjugados si sus partes reales son iguales sus partes imaginarias son opuestas en el signo, e iguales en valor absoluto. En la figura de la derecha, los números complejos representados son conjugados. Un ejemplo de dos números complejos conjugados es: Es de notar que las soluciones de una ecuación cuadrática que no tiene raíces reales son siempre dos números complejos conjugados. Esto se puede observar al examinar las soluciones de la ecuación :

5 la ecuación no tiene raíces reales, es porque, se tiene que. Entonces,. Sea. Como Así, se observa que son números complejos conjugados. Multiplicación:, se define al producto así: Por ejemplo, si, entonces Esta regla de multiplicación no es arbitraria. Resulta de aplicar la le distributiva del producto con respecto a la suma, que se cumple en los números reales: Recordando que agrupando términos, se obtiene: Potencias de : Algo curioso ocurre cuando se calculan potencias, enteras maores o iguales que cero, de la unidad imaginaria. Para los exponentes 0, 1 2, se tiene: Ahora bien, Así, si se representan en el plano cartesiano estas primeras 4 potencias, se obtiene (ver figura a la derecha) pero sobre. se quiere representar en el plano, se vuelve a caer. Así, para calcular las potencias de maores que 4 se procede así:

6 Este patrón que se observa en las potencias de, desde el exponente 0 hasta el 8, se repite para las potencias siguientes: es cualquier número entero positivo, se cumple: Ahora bien, si es cualquier entero positivo, se divide a puede ser: 0, 1, 2 ó 3, determina el valor de : entre 4, el resto obtenido, que si el resto es 0 si el resto es 1 si el resto es 2 si el resto es 3 Ejemplo: Para calcular, se hace la división: se obtiene:. Como el resto es 1,. Propiedades de la suma el producto La suma de números complejos tiene las mismas propiedades que la suma de números reales: Es conmutativa, entonces, pues

7 Es asociativa,, entonces Puede comprobarse esto fácilmente con un ejemplo como el siguiente:,,. Tiene elemento neutro El número complejo números complejos: es el elemento neutro para la suma de Todo número complejo tiene simétrico con respecto a la suma Así, el simétrico de con respecto a la suma es:. El producto de los números complejos tiene también todas la propiedades del producto de los números reales., entonces : Es Conmutativo Como el producto la suma de números reales son conmutativos, se obtiene que Es Asociativo,, entonces :

8 , se cumple: En efecto: Es distributivo con respecto a la suma Por otra parte, Se ve así que El producto de números complejos tiene un elemento neutro El número real 1, que es también el número complejo elemento neutro para el producto:, es el, existe tal que Todo número complejo distinto En efecto, como, se tiene que ó. Así, de tiene inverso multiplicativo: cumple que:. Es fácil ver que, si, se Interactividad:Comprueba la asociatividad del producto de números complejos, calculando: Ejemplo:, entonces,. Así,

9 Se tiene, entonces, que realizar la multiplicación: es el inverso multiplicativo de. Para verificarlo, basta con División de un número complejo entre otro distinto de cero:, entonces la división, que también se expresa como, es igual al producto de por : Como, se tiene que se denota por al número complejo conjugado de, se observa que Ejemplo: Sea,. Se puede verificar que, lo cual es de esperarse, pues :

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