Número complejo: A modo de ejemplo: vemos que: es decir que la. En cursos anteriores se pudo observar que ecuaciones de segundo grado de la forma:
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- Francisco Campos Camacho
- hace 6 años
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1 Número complejo: Introducción: En la mayoría de los cursos y temas anteriores hemos trabajado en el conjunto de los números reales. Cabe recordar que en dicho conjunto están definidas operaciones como: suma, producto, potencia, división a excepción del 0. Pero al momento de realizar operaciones como o cualquier otra raíz de índice par de un número negativo, resulta imposible en el campo de los números reales, ya que no es posible encontrar un número real que al elevarlo al cuadrado, el resultado será un número positivo o cero. A modo de ejemplo: vemos que: es decir que la solución de esta ecuación no puede ser un número real. En cursos anteriores se pudo observar que ecuaciones de segundo grado de la forma: se solucionan de la siguiente manera: número de soluciones está dada por su discriminante ecuación no tiene soluciones en. y la discusión del. En caso de ser negativo la Unidad imaginaria: Claramente la solución de esta ecuación no es un número real, lo que hace necesario comenzar a trabajar en otro campo numérico. Para ello llamaremos a la unidad imaginaria y su expresión será: Entonces podemos concluir que las raíces de la ecuación son Este nuevo conjunto numérico se denomina Conjunto de los números complejos ( Vamos a resolver la siguiente ecuación en C: Vemos entonces que las raíces complejas de la ecuación son:
2 Definición de número complejo: Para todo par de reales, se denomina número complejo al par ordenado. Definiremos el conjunto de los números complejos como: Esta forma de anotar a los números complejos se denomina notación cartesiana La primera componente ( ) se le denomina componente real y la segunda componente le denomina componente imaginaria. se Representación gráfica: Como todo par ordenado de números reales, el número complejo se puede representar en un sistema de ejes cartesianos. Eje imaginario Eje real Llamaremos imaginarios puros a aquellos números complejos cuya componente real es 0. Los complejos pertenecientes al eje real, tiene la misma estructura que el conjunto. Operaciones en : Igualdad: Dados dos complejos y Diremos que si y sólo si, sus componentes son iguales.
3 Suma: y Definiremos la suma de dos complejos como un número complejo cuyas componentes resultan de la suma de las componentes de los dos primeros. A modo de ejemplo: Producto: y Definiremos el producto en C de la siguiente manera: Ejemplo: Definidas estas dos operaciones podemos establecer que el conjunto de los números complejos tiene estructura de cuerpo. Esto implica que se cumplen las siguientes propiedades: Para la suma: Asociativa: Conmutativa: Existencia de neutro: Existe un elemento de C, que llamaremos y anotaremos como (0,0) de modo que para todo número complejo se cumple que:
4 Existencia del simétrico: Para todo número complejo, existe otro complejo llamado opuesto que anotaremos como de modo que: Para el producto: Asociativa: Conmutativa: Existencia de neutro: Existe un elemento de C, y lo anotaremos como (1,0), de manera que para todo complejo se cumple: Existencia del simétrico: Para todo número complejo distinto del, existe un número complejo tal que Podemos anotarlo: Distributiva del producto respecto de la suma: Se cumple: Al igual que en hemos visto que el conjunto tiene estructura de cuerpo. Pero a diferencia de R, en C no puede establecerse una relación de orden, por lo tanto no es un cuerpo ordenado como R. Notación binómica: Recordar que la unidad imaginaria por lo tanto un complejo puede escribirse como la suma de dos reales, estando uno de ellos multiplicado por la unidad imaginaria.
5 Pasaje de notación cartesiana a binómica: Sea el número complejo podemos anotarlo de forma binómica como: Conjugado de un número complejo: Llamaremos conjugado de un número complejo, a otro número del mismo conjunto que tiene igual componente real, y su componente imaginaria es opuesta. Dado su conjugado lo anotaremos tal que: (También es conjugado de ) A tener en cuenta: Propiedades de los conjugados: 1) 2) 3) 4) 5) División en C:, Multiplicamos a ambos por el conjugado del denominador. Ejemplo:
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