Colegio Universitario Boston. Funciones

Transcripción

1 70

2 Concepto de Función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, tal que relaciona, a cada elemento del conjunto A con un único elemento del conjunto Para indicar que se ha establecido una función f de A en B se usa la siguiente notación: Conceptos Básicos. Variable independiente Variable dependiente: En la expresión, tenemos que representa a la variable independiente en la función, mientras que representa a la variable dependiente de. Dominio: El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio, el conjunto donde se encuentran las preimágenes de la función representadas en la maoría de los casos con la letra. Codominio: El conjunto B se llama conjunto llegada o codominio, el codominio es el conjunto al cual pertenecen las posibles imágenes de la función. Ámbito: El ámbito o rango es el conjunto de las imágenes, conocidas también como variables dependientes representadas en la maoría de los casos con la letra, el ámbito es subconjunto del codominio. 71

3 Diagrama sagital A B Dominio: 5 4 Preimágenes: Codominio: Imágenes: Ámbito: Par ordenado: Son elementos de la forma 5, donde el valor de representa a una preimagen del dominio representa una imagen del ámbito. De otro modo, los pares ordenados son elementos de la forma 6 (preimagen, imagen), los cuales se conocen como coordenadas de un punto en el plano. Gráfico: Es el conjunto cuos elementos son todos los pares de ordenados que pertenecen a una función dada. Plano Cartesiano: Es un sistema formado por dos rectas perpendiculares (una vertical otra horizontal), cuo punto de intersección se llama el origen. El eje horizontal representa el dominio de una función, por ello las preimágenes se ubican en este eje (horizontal). El eje vertical representa el codominio el ámbito de la función, de tal madera que las imágenes se encuentran en este eje (vertical). 72

4 Codominio, Ámbito Dominio Criterio de una función. Es la formula o estructura algebraica que nos permite realizar el calculo de imágenes, pre imágenes, ámbito, dominio. Ejemplos: Concepto 1. Analice las siguientes proposiciones: I. II. III. Práctica De ellas son verdaderas Todas Solamente II III Solamente I III Solamente I 73

5 2. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función. 3. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función. 4. Si es el gráfico de la función f, entonces el dominio de esa función es 5. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función: 6. Para toda función se cumple que: El ámbito es un subconjunto del dominio El dominio es un subconjunto del ámbito El ámbito es un subconjunto del codominio El codominio es un subconjunto del ámbito 74

6 7. De las siguientes gráficas I. II. III. Cuales representan una función real? Solo I II Solo I Solo II III Solo II 8. Si el gráfico de una función es, entonces el ámbito de es 9. Sea una función. Considere las siguientes proposiciones. I. es un elemento del dominio de II. es un elemento del codominio de Cuáles de ellas son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 75

7 10. Identifique el conjunto de pares ordenados que corresponde al gráfico de una función. 11. En una función definida de A en B no s e permite que dos elementos distintos de B sean imagen de un Único elemento de A Par de elementos de A Único elemento de Único elemento de Cálculo de imágenes. Para calcular imágenes se sustitue la preimagen dada por la variable, en el criterio de la función. Ejemplo: Si, encuentre la imagen de Procedimiento: Cálculo de Preimágenes Para calcular preimágenes se iguala el criterio de la función a la imagen dada se despeja la variable. Ejemplo: Calcule la preimagen de, si la función esta definida por. 76

8 Cálculo de Imágenes Preimágenes Práctica 12. Si con, entonces el grafico de corresponde a: 13. Si g es una función, es la imagen de 14. Para la función dada por, la imagen de es 77

9 15. Para la función dada por, la preimagen de es 16. Para la función dada por, un valor para el cual 2 es 17. Si, entonces es igual a 18. Para la función dada por, es la preimagen de 78

10 19. Para la función dada por, la imagen de es 20. Para la función dada por, la preimagen de es 21. Para la función dada por, la imagen de es 22. Sea la función dada por, la preimagen de es 79

11 23. Para la función dada por, es la preimagen de 24. La imagen de en la función corresponde a 25. Si es una función, entonces la imagen de es 80

12 26. Para la función dada por, es la preimagen de 27. Para la función dada por dada por, considere las siguientes proposiciones I. El ámbito de f es II. es un elemento del ámbito de Cuáles de ellas son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 28. Para la función dada por, cual es el valor numérico de la expresión? Si es una función con, entonces la imagen de es: 81

13 30. Si, entonces es igual a: 31. Analice las siguientes proposiciones con respecto a la función. I. es la preimagen de II. es la preimagen de. De ellas con certeza, Cuáles son las verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 32. Si Z con, entonces el grafico de corresponde a: 33. Dada la función, la preimagen de 1 es: 34. Si es una función dada por, entonces es 82

14 35. Si es una función dada por, entonces es preimagen de 36. Si f es una función dada por, entonces la preimagen de es 37. Para la función dada por, si es una constante, entonces la imagen de es 38. Sea f una función dada por, Considere las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II I. II. 83

15 39. Para las funciones f g cuos criterios son respectivamente, se cumple que 40. Para la función f dada por, la imagen de es 41. Para la función con entonces cual es el valor numérico de la expresión? 42. Para la función cuo criterio es, Cuál es la imagen de? - 84

16 43. Si entonces la preimagen de es igual a: Calculo de Dominios Ámbitos 44. Si, tal que, entonces el ámbito de la función corresponde a 45. Para la función con, si el ámbito es entonces el dominio es 46. Sea con dominio entonces el ámbito de es 85

17 47. Si el ámbito de la función es entonces su dominio es 48. Si el ámbito de la función es entonces el dominio es 49. Si entonces el ámbito de es 50. Si el dominio de la función es entonces el ámbito de es 86

18 51. Si el ámbito de la función es entonces su dominio es 52. Si, entonces el ámbito de es 53. Si, entonces el ámbito de es igual a: Dominio máximo de una función El domino máximo de una función, es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función se encuentra definida. Para determinar el dominio máximo, debemos tener en cuenta dos restricciones que se presentan en el conjunto de los números reales: 1. La división entre cero, o bien, una fracción que tenga como denominador al número cero, no esta definida en el conjunto de los números reales. 87

19 2. En una expresión radical de índice par, el subradical nunca podrá tomar un valor negativo, a que este tipo de expresión no esta definida en el conjunto de los números reales. Para realizar el cálculo del dominio máximo de una función, dividiremos su estudio en casos para facilitar la compresión del mismo. Cálculo del dominio máximo Caso 1: Función polinomial. En este caso el domino máximo de una función polinomial es el conjunto de los numero reales a que un polinomio nunca se indefine. Ejemplos. Caso 2: Función racional (fraccionaria). En este caso debemos igualar el denominador a cero, resolver la ecuación que quede indicada, a sea lineal, cuadrática cúbica. El dominio máximo se planteará de la siguiente forma, donde son las soluciones que tenga la ecuación. Nota: si la función en el denominador no tiene variables, entonces decimos que el dominio máximo son los números reales. 88

20 Ejemplos Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones fraccionarias: 1. Tomamos el denominador de la expresión lo igualamos a cero Resolvemos la ecuación que queda indicada. Planteamos la respuesta. 2. Tomamos el denominador de la expresión lo igualamos a cero Resolvemos la ecuación que queda indicada. Planteamos la respuesta. 89

21 3. Tomamos el denominador de la expresión lo igualamos a cero Resolvemos la ecuación que queda indicada., Planteamos la respuesta. Caso 3: Función radical. a. Función con raíz impar. Si el criterio de la función es solamente una raíz impar, su dominio máximo es siempre los números reales, a que la raíz impar de un número negativo si existe. Ejemplos. Si la función tiene como ecuación una raíz impar en el denominador, debemos igualar a cero, el subradical de la expresión resolver la ecuación que quede indicada. El dominio máximo se escribe, en donde son las soluciones de la ecuación. 90

22 Ejemplos. Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales: 1. Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión lo igualamos a cero Resolvemos la ecuación que queda indicada. Planteamos la respuesta. 2. Tomamos el subradical presente en el denominador de la expresión lo igualamos a cero Resolvemos la ecuación que queda indicada. Planteamos la respuesta. 91

23 b. Función con raíz par. Si el criterio de la función es un radical cuo índice es par, entonces debemos tomar el subradical, plantear resolver una inecuación con la expresión de maor e igual cero, esto si el radical se encuentra el numerador de la expresión. Si el radical se encuentra en el denominador se plantea la inecuación con la expresión de maor a cero, resolvemos la inecuación. Es de suma importancia recordar que la solución de una inecuación es un conjunto numérico conocido como intervalo. Ejemplos. Encuentre el dominio máximo de las siguientes funciones radicales: 1. Tomamos el subradical de la expresion planteamos la inecuacion. Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento. De esto tenemos que: 2. Tomamos el subradical de la expresion planteamos la inecuacion. Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento. 92

24 De esto tenemos que: 3. Tomamos el subradical de la expresion planteamos la inecuacion. Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento. De esto tenemos que: Tomamos el subradical de la expresion planteamos la inecuacion. Resolvemos la inecuación tomando en cuenta su procedimiento. De esto tenemos que: 93

25 Práctica Calculo de Dominio Máximo 54. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 55 Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 56 Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 57. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 94

26 58. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 59. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 60. El dominio máximo de la función dada por es 61. Si es una función, Cuál es el dominio máximo de? 95

27 62. La función cuo criterio es tiene por dominio máximo a 63. El dominio máximo de la función dada por es 64. El dominio máximo de la función dada por es 65. Para la función dada por el dominio máximo de es 96

28 66. La función dada por tiene por dominio máximo a 67. En la función f cuo criterio es el dominio máximo es 68. El dominio máximo de la función dada por es 69. El dominio máximo de la función f dada por es 97

29 70. El dominio máximo de la función f dada por es 71. El dominio máximo de la función dada por es 72. El dominio máximo de la función f dada por es 73. Si a es una constante, entonces el dominio máximo de la función f dada por es 98

30 74. Cuál es el dominio máximo de? 75. Analice el dominio máximo de las siguientes funciones: El pertenece al dominio máximo de: 76. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 77. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 99

31 78. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 79. De las siguientes proposiciones: I. II. De estas, Cuáles con certeza son verdaderas? Ambas Ninguna Solo I Solo II 80. El dominio, máximo de es el conjunto: 100

32 81. De las siguientes funciones de variable real: I. II. III. Cuáles de ellas tienen el mismo dominio máximo? Todas Ninguna Solo I III Solo I II 82. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 83. Cuál es el dominio máximo de la función dada por? 84. El dominio máximo de la función f dada por es 101

33 85. Analice el dominio máximo de las tres funciones siguientes: ; ; Cuál es el número entero que indefine a las tres funciones? 86. El dominio máximo de la función f dada por es 87. El dominio máximo de la función f dada por es 88. El dominio máximo de la función f dada por es 102

34 89. El dominio máximo de la función f dada por es 90. Si f es una función con, entonces el máximo dominio de es 91. Si f es una función con, entonces el dominio máximo de f es 92. El dominio máximo de la función f dada por es 103

35 93. Si f es una función con, entonces el máximo dominio de es Análisis de Gráficas El realizar el análisis de la gráfica de una función consiste en determinar las características que hacen particular a cada función, por ejemplo conocer su dominio su ámbito, o su monotonía, es decir donde la función es creciente, decreciente, constante, también los intervalos donde la función es positiva o negativa, además de su intersección o intersecciones con el eje su intersección con el eje. Para realizar el estudio de la grafica de una función esta debe leerse de izquierda a derecha con respecto al eje de las, con respecto a este eje podemos conocer el dominio, la monotonía, la o las intersecciones con, donde la función es positiva o negativa, además de conocer las preimágenes. Los intervalos de monotonía se dejaran abiertos. Por otra parte si se realiza en el eje, el estudio debe hacerse de abajo hacia arriba, de este podemos obtener el ámbito, las imágenes la intersección con el eje. 104

36 Ejemplo x -2 La imagen de es. La preimagen es. La imagen es. La preimagen es. 105

37 Práctica Análisis de Gráficas 94. De acuerdo con la gráfica, la preimagen de 1 de acuerdo con la gráfica: 95. De acuerdo con los datos de la gráfica, 1 es la imagen de: 96. De acuerdo con los datos de la gráfica, es verdadero que: es la preimagen de es la imagen de es la preimagen de es la imagen de 106

38 97. En la gráfica de la función anterior es la preimagen de: 0 De acuerdo con los datos de la gráfica de la función, conteste los ítems 98, El ámbito de es el conjunto: 99. La función es creciente en el intervalo: 100. De acuerdo con los datos de la gráfica, 3 es la preimagen de 107

39 101. El dominio de la función representada en la gráfica corresponde a De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función corresponde a De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es x

40 104. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es x 105. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función corresponde a 2 f x De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de es 3 f 4 x

41 107. De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de f es 2 2 f x Cuál grafica puede representar el gráfico de una función con dominio? I. II. x x III. IV. x x 109. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f es f 3 x

42 110. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito o rango de la función f es 2 f x De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f es f 4 x 112. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f es 2 f x 111

43 113. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f corresponde a x De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función f es creciente es f x 115. De acuerdo con los datos de la figura, un intervalo en que la función f es creciente es x

44 116. Considere la siguiente gráfica, De acuerdo con los datos de la gráfica de la función dada, Cuál es el dominio de la función? x 117. De acuerdo con datos de la gráfica, un intervalo en que la función f es estrictamente decreciente es f 2 x 118. De acuerdo con datos de la gráfica, el dominio de la función f es f x 113

45 119. De acuerdo con los datos de la grafica, un intervalo en que la función f es estrictamente creciente es f x 120. Considere las siguiente gráfica de una función 2 f x De acuerdo con los datos de la gráfica, el dominio de la función es 121. La gráfica representa la función f. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función f es creciente corresponde a f 3 4 x 114

46 122. La gráfica representa de la función f. De acuerdo con los datos de la gráfica, se cumple que 2 1 f x La gráfica representa de la función De acuerdo con los datos de la gráfica, considere las siguientes proposiciones. II. I. El cero tiene dos preimágenes El uno es un elemento del ámbito de f. De ellas Cuáles son Verdaderas? Ambas Ninguna Solo la I Solo la II 124. La gráfica representa de la función f. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f es 115

47 125. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, el dominio de la función corresponde a 126. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la imagen de en corresponde a 127. De acuerdo con los datos de la grafica. El dominio de la función corresponde a: 116

48 128. De acuerdo con los datos de la grafica. La función es estrictamente decreciente en el intervalo: 129.De acuerdo con los datos de la gráfica de la función. -2 La función es creciente en el intervalo dado por: 117

49 130. De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, la función es decreciente en el siguiente intervalo: 131. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función, en el siguiente intervalo: De acuerdo con los datos de la gráfica de una función, un intervalo donde corresponde a: 118

50 De acuerdo con los datos de la grafica de la función, conteste los ítems 124, 125,126, El dominio de la función es: 125. La función tiene su parte constante en: 126. La preimagen de -1 es: 119

51 127. La imagen de es la siguiente: De acuerdo con los datos de la grafica de la función, conteste los ítems 128, 129, El dominio de es el conjunto: 129. Para la función dada se cumple que que pertenece a: 120

52 130. La función es creciente en el intervalo: 121