3.6 Análisis de gráficas
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- David Méndez Espinoza
- hace 7 años
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1 Análisis de gráficas Analizar trazar la gráfica de una función. Análisis de la gráfica de una función Sería difícil eagerar la importancia de usar gráficas en matemáticas. La introducción de la geometría analítica por parte de Descartes contribuó de manera significativa a los rápidos avances en el cálculo que se iniciaron durante la mitad del siglo XVII. En palabras de Lagrange: Mientras el álgebra la geometría recorrieron caminos independientes, su avance fue lento sus aplicaciones limitadas. Sin embargo, cuando estas dos ciencias se juntaron, etrajeron una de la otra una fresca vitalidad a partir de ahí marcharon a gran velocidad hacia la perfección. Hasta ahora, se han estudiado varios conceptos que son útiles al analizar la gráfica de una función. 40 (sección P.) 0 5 mienta gráfica, recordar que normalmente no es posible mostrar la gráfica entera. La decisión en cuanto a la parte de la gráfica que se decide mostrar es muchas veces crucial. Por ejemplo, Diferentes ventanas de observación para la gráfica de ƒ() Figura ƒ() representación más completa de la gráfica. Sin embargo, una tercera ventana de observa- ción se presentan unas estrategias para determinar una buena ventana de observación de la gráfica de una función. Estrategia para analizar la gráfica de una función. Determinar el dominio el rango de la función.. Determinar las intersecciones, asíntotas simetría de la gráfica. 3. Localizar los valores de para los cuales ƒ() ƒ() son cero o no eisten. Usar NOTA En estas estrategias, advertir la importancia del álgebra (así como del cálculo) para resolver las ecuaciones f() f () f ()
2 0 EJEMPLO Dibujo de la gráfica de una función racional f() íntota vertical: íntota horizontal: 8 8 ( íntota vertical: Mínimo ( ) ( ) ( ). Intersecciones en : Intersección en : Asíntotas verticales: Asíntota horizontal: Punto crítico: Posibles puntos de infleión: Simetría: f f,,,,, Empleando el cálculo, se puede tener la certeza de que se han determinado todas las características de la gráfica de f Figura 3.45 La tabla muestra cómo se usan los intervalos de prueba para determinar varias características f f f Característica de la gráfica PARA MAYOR INFORMACIÓN Para maor información del uso de tecnología para representar funciones racionales, consultar el artículo Graphs of Rational Functions for The College Mathematics Journal. < < < < < < < < que se muestra en el ejemplo. Debido al uso del cálculo, se debe estar seguro de que 6 8 Al no usar el cálculo se puede pasar por alto importantes características de la gráfica de g Figura CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Sin utilizar el tipo de análisis que se describe en el ejemplo, es fácil obtener una visión incompleta de las características básicas de la g ( ) ( )( ) ( )( ). De acuerdo con esta imagen, parece que la gráfica de g es casi la misma que la gráfica de f
3 8 íntota vertical: Mínimo Máimo f() EJEMPLO Dibujo de la gráfica de una función racional ( ). Intersecciones en : Intersección en : Asíntota vertical: Asíntotas horizontales: Comportamiento final o asintótico: Puntos críticos: Posibles puntos de infleión: f f lím f, lím f 8,,,, Figura 3.47 < < < < < < < < f f f Máimo 8 íntota oblicua: asíntota oblicua. La gráfica de una función racional (que no tiene factores comunes cuo denominador es de grado o maor) tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador ecede al grado del denominador eactamente en. Para determinar la asíntota oblicua, usar la división larga para describir la función racional como la suma de un polinomio de primer grado otra función racional. Una asíntota oblicua Figura 3.48 f() f Escribir la ecuación original. Reescribir utilizando la división larga. f se acerca a la asíntota oblicua cuando tiende a o.
4 EJEMPLO 3 Dibujo de la gráfica de una función radical ( ). f() íntota horizontal: Figura 3.49 horizontal: infleión ( ) ( ) ( ) ( ) / / dos asíntotas horizontales: (a la derecha) (a la izquierda). La función no son todos los números reales, la gráfica es simétrica con respecto al origen. El análisis de la gráfica de f < < < < f f f EJEMPLO 4 Dibujo de la gráfica de una función radical ). / / / ( ) ( ) ( ) ( ) / La función tiene dos intersecciones: 8,. les. La función tiene dos puntos críticos ( 8) dos posibles puntos de infleión ( ). El dominio son todos los números reales. El análisis de la gráfica de f se Máimo 8 (, infleión f() ( ) 8, < < < < f f f Máimo < < 8 (8, 8 8 < < Figura 3.50
5 3 EJEMPLO 5 Dibujo de la gráfica de una función polinomial ). Se inicia factorizando para obtener f. Luego, utilizando la forma factorizada de f(), se puede efectuar el siguiente análisis. a) 5 f() infleión infleión (, Intersecciones en : Intersección en : Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: Comportamiento final o asintótico: Puntos críticos: Posibles puntos de infleión: f f, lím f, lím f,,,,,, El análisis de la gráfica de fa. El uso de un sistema de álgebra por computadora como Mapleb) puede resultar de utilidad para verificar el análisis < < f f f Característica de la gráfica 0 < < 5 infleión Generada con Maple < < b) Una función polinomial de grado par debe tener al menos un etremo Figura 3.5 < < infleión gún máimo. En general, una función polinomial de grado n puede tener a lo más n etremos s, cuando mucho n polinomiales de grado par deben tener al menos un etremo. Recordemos del criterio del coeficiente adelantado o dominante que se describió en la se determina mediante su coeficiente dominante por su grado. Por ejemplo, debido a que
6 4 a) 3 = b) Figura 3.5 (, ) infleión = f() cos sen Generada con Maple EJEMPLO 6 Dibujo de la gráfica de una función trigonométrica cos ( ). sen, se puede restringir el análisis de. Por conveniencia, utilizar ( Periodo: Intersección en : Intersección en : Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: Puntos críticos: Posibles puntos de infleión: f sen f,,, cos sen,, Véase nota anterior. n El análisis de la gráfica de f en el intervalo (- a algebraico por computadora Mapleb. < < < < f f f NOTA Sustituendo de forma indeterminada se estudiará en la sección 8.7. Para determinar si la función tiene asíntotas verticales en estos dos valores, es posible rescribir las funciones como sigue. f cos sen cos sen sen sen cos sen sen cos cos En esta forma, es claro que la gráfica de f tiene asíntotas verticales cuando
7 5 3.6 Ejercicios En los ejercicios a 4, hacer que corresponda la gráfica de ƒ en la columna izquierda con la de su derivada en la columna derecha. Gráfica de ƒ. a). b) 3. c) 4. d) Gráfica de ƒ En los ejercicios 5 a 3, analizar dibujar una gráfica de la función. Indicar todas las intersecciones, etremos s, puntos de infleión asíntotas. Utilizar una herramienta de graficación para verificar los resultados f CAS. g f 4. f f g 9 9. h 4 0. g f En los ejercicios 33 a 36, utilizar un sistema algebraico por computadora para analizar representar gráficamente la función. Identificar todos los etremos s, puntos de infleión asíntotas. 33. f f 36. f En los ejercicios 37 a 46, dibujar una gráfica de la función sobre el intervalo dado. Utilizar una herramienta de graficación para verificar la gráfica f cos, sen sin 8 sen sin 3, cos 4 cos, 0 4. tan, 4. cot, f 4 sen sin, csc sec, sec 8 tan 8, 45. g tan, 0 < < 0 < < 3 < < g cot, < < Desarrollo de conceptos 0 f 4 3 < < Suponer que ƒ(t) t- 48. ƒ() en el intervalo < <
3.6 Análisis de gráficas
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. f() =. f() = 9. f() =. f() = ( ). f() = 9 6. f() = 7. f() =. f() = 9. f() = p. f() =. f() =. f() = ( ). f() = 9. f() = ( ) . f() = Función racional con asíntota oblícua. Einamos los puntos que anulan
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