Anexo C. Introducción a las series de potencias. Series de potencias

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1 Anexo C Introducción a las series de potencias Este apéndice tiene como objetivo repasar los conceptos relativos a las series de potencias y al desarrollo de una función ne serie de potencias en torno a un punto. C.. Series de potencias Una serie de potencias en torno al punto x 0 es una expresión de la forma a n (x x 0 ) n = a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + (C.) donde x es una variable y los coeficientes a n son constantes. Se dice que (C.) converge en el punto x = r si la serie infinita (de números reales) a n (r x 0 ) n converge; esto es, el límite de las sumas parciales, N a n (r x 0 ) n, lím N existe (como número finito). Si este límite no existe, se dice que la serie de potencias diverge en x = r. Obsérvese que (C.) converge en x = x 0 ya que a n (x 0 x 0 ) n = a Pero, qué se puede decir acerca de la convergencia para otros valores de x?. Como se establece en el Teorema C. de más abajo, una serie de potencias de la forma (C.) converge 27

2 28 Introducción a las Series de Potencias para todo el valor de x perteneciente a cierto intervalo con centro en x 0, y diverge para los valores de x que estén fuera de este intervalo. Además, en los puntos interiores de dicho intervalo, se dice que la serie de potencias converge absolutamente si a n (x x 0 ) n converge. (Recuérdese que la convergencia absoluta de una serie implica la convergencia (ordinaria) de la serie.) Teorema C. (Radio de convergencia).- Para cada serie de potencias de la forma (C.), existe un número ρ (0 ρ ), llamado radio de convergencia de la serie de potencias, tal que (C.) converge absolutamente para x x 0 < ρ y diverge para x x 0 > ρ. (Véase la figura C..) Si la serie (C.) converge para todo valor real de x, entonces ρ =. Si la serie (C.) converge solamente en x 0, entonces ρ = 0. Divergencia? Convergencia? absoluta Divergencia x 0 +ρ x 0 x 0 + ρ Figura C.: Intervalo de convergencia Obsérvese que el Teorema C. resuelve la cuestión de la convergencia de las series de potencias en todos los puntos de la recta real excepto en los extremos x 0 = ±ρ del intervalo de convergencia. Estos dos puntos requieren un análisis independiente. Para determinar el radio de convergencia ρ, un método que a menudo resulta fácil de aplicar es el criterio del cociente. Teorema C.2 (Criterio del cociente).- Si lím a n+ n a n = L, donde 0 L, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias a n(x x) n es ρ =, con ρ = si L = 0 y ρ = 0 si L =. L Observación Se debe observar que si el límite del cociente a n+ /a n no existe, entonces se deben emplear otros métodos distintos del criterio del cociente para determinar ρ. Por ejemplo, el criterio de la raíz:

3 C. Series de potencias 29 Teorema C.3 (Criterio de la raíz).- Si lím n n an = L, donde 0 L, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias a n (x x) n es ρ =, con ρ = si L = 0 y ρ = 0 si L =. L Ejemplo C.4 Determínese el intervalo de la convergencia de ( 2) n n + (x 3)n. (C.2) Solución.- Puesto que a n = ( 2)n, se tiene n + lím a n+ n a n = lím ( 2) n+ (n + ) n ( 2) n (n + 2) = lím n 2(n + ) (n + 2) = 2 = L. Por el criterio del cociente, el radio de convergencia es ρ =. Por lo tanto, la serie (C.2) converge absolutamente para x 3 < 2, y diverge cuando x 3 >. Sólo queda determinar 2 2 lo que sucede cuando x 3 = /2. Esto es, cuando x = 5 2 ó x = 7 2. Haciendo x = 5 2, la serie (C.2) se convierte en la serie armónica, la cual es n + divergente. Si x = 7 2, la serie (C.2) se convierte en la serie armónica alternada ( ) n n +, la cual es convergente. ( ] Así que la serie de potencias converge para todo x en el intervalo 5 semiabierto 2, 7 ; fuera de este intervalo, la serie diverge. 2 Para cada valor x para el cual la serie de potencias a n (x x 0 ) n converge, se obtiene un número que es la suma de la serie. Resulta apropiado denotar esta suma con f(x), ya que su valor depende de la elección de x. Así que se escribe f(x) = a n (x x 0 ) n,

4 220 Introducción a las Series de Potencias para todo número x contenido en el intervalo de convergencia. Por ejemplo, la serie geométrica x n tiene radio de convergencia ρ = y, cuando x < la suma x n es. En efecto x S N = + x + + x N y xs N = x + x x + x N+, de modo que y lím N S N ( x) = x N+ N x n = lím N S N = x porque lím N x N+ = 0 por ser x <. En consecuencia, función suma es, en este caso, f(x) = ( x). x n =. Es decir, la x Dadas dos series de potencias f(x) = a n (x x 0 ) n, g(x) = b n (x x 0 ) n, (C.3) con radios de convergencia distintos de cero, se desea obtener representaciones en series de potencias para la suma, producto y cociente de las funciones f(x) y g(x). La suma se obtiene simplemente por medio de la adición término a término: f(x) + g(x) = (a n + b n )(x x 0 ) n (C.4) para todo x perteneciente al intervalo de convergencia común de las series de potencias (C.3). La representación en serie de potencias del producto f(x)g(x) es un poco más complicada. Para obtener la fórmula, se trata a las series de potencias de f(x) y g(x) como polinomios largos, se aplica la ley distributiva y se agrupan los términos en potencias de x x 0 ): [a 0 + a (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + ] [b 0 + b (x x 0 ) + b 2 (x x 0 ) 2 + ] = a 0 b 0 + (a 0 b + a b 0 ) (x x 0 ) + (a 0 b 2 + a b + a 2 b 0 ) (x x 0 ) 2 +. La fórmula general del producto es f(x)g(x) = c n (x x 0 ) n, donde n c n = a k b n k. k=0 (C.5)

5 C. Series de potencias 22 La serie de potencias (C.5) se llama producto de Cauchy, y será convergente para todo x en el intervalo abierto común de convergencia de las series de potencias (C.3). El cociente f(x) g(x) también tendrá un desarrollo en serie de potencias en torno a x 0 siempre que g(x 0 ) 0. Sin embargo, el radio de convergencia de esta serie del cociente puede resultar menor que el de f(x) o g(x). Desafortunadamente, no existe una fórmula cómoda para obtener los coeficientes de la serie de potencias de f(x) g(x). El siguiente teorema explica, en parte, por qué las series de potencias son tan útiles Teorema C.5 (Diferenciación e integración de series de potencias).- Si la serie f(x) = a n (x x 0 ) n tiene un radio de convergencia positivo ρ, entonces la diferenciación término a término da lugar a la serie de optencias de la derivada de f: f (x) = na(x x 0 ) n para x x 0 < ρ n= y la integración término a término proporciona la serie de potencias de la integral de f: a n f(x) dx = n + (x x 0) n+ + C para x x 0 < ρ. Ejemplo C.6.- Empezando con la serie geométrica x n cuya suma es f(x) = encuentre una serie de potencias para cada una de las siguientes funciones: (a) (b) + x 2, ( x) 2, (c) arc tg x. ( x), Solución.- (a) Reemplazando x por x 2 en f(x) resulta que + x 2 = x2 + x 4 x 6 + = ( ) n x 2n. (C.6)

6 222 Introducción a las Series de Potencias (b) Obsérvese que es la derivada de la función f(x). Por tanto, diferenciando ( x) 2 x n término a término se obtiene f (x) = ( x) 2 = + 2x + 3x2 + 4x 3 + = nx n. (C.7) (c) Puesto que arc tg x = x 0 + t 2 dt, se puede integrar la serie (C.6) término a término para obtener la serie de arc tg x. De esta manera, x 0 + t 2 dt = x 0 { t 2 + t 4 t ( ) n t 2n + } dt Es decir arc tg x = x 3 x3 + 5 x5 + = ( ) n x 2n+. (C.8) 2n + Es importante tener presente que puesto que la serie geométrica tiene como intervalo de convergencia (, ), las representaciones (C.6), (C.7) y (C.8) son válidas por lo menos en este intervalo. (En realidad, la serie (C.8) de arc tg x converge para todo x.) El índice sumatorio de una serie de potencias es un índice ficticio al igual que la variable de integración de una integral definida En consecuencia, las siguientes expresiones representan lo mismo. a n (x x 0 ) n = a k (x x 0 ) k = a i (x x 0 ) i. k=0 Así como hay ocasiones en las que conviene cambiar la variable de integración, existen situaciones en las que es conveniente cambiar o desplazar el índice sumatorio. i=0 Ejemplo C.7.- Exprese la serie n(n )a n x n 2 n=2 (C.9) utilizando el índice k, donde k = n 2.

7 C.2 Funciones analíticas 223 Solución.- Puesto que k = n 2, se tiene n = k + 2. Si n = 2, entonces k = 0. Por tanto, sustituyendo en (C.9) resulta n(n )a n x n 2 = n=2 (k + 2)(k + )a k+2 x k k=0 C.2. Funciones analíticas No todas las funciones se pueden expresar como series de potencias. Aquellas funciones que sí se pueden se llaman analíticas. Definición C.8 (Función analítica).- Se dice que una función f es analítica en x 0 si, en un intervalo abierto en torno a x 0, esta función es la suma de una serie de potencias = a n (x x 0 ) n que tiene un radio de convergencia positivo. n Por ejemplo, una función polinomial b 0 + b x + + b n x n es analítica para todo x 0, ya que siempre se pueden reescribir en la forma a 0 + a (x x 0 ) + + a n (x x 0 ) n. Una función racional p(x), donde p(x) y q(x) son polinomios sin ningún factor común, es una q(x) función analítica excepto en aquellos x 0 para los cuales q(x 0 ) = 0. Otras funciones analíticas importante son e x, sen x y cos x, que son analíticas para todo x, mientras que ln x es analítica para x > 0. En efecto, se tienen las conocidas representaciones siguientes: e x = + x + x2 2! + x3 3! + = x n n!, (C.0) sen x = x x3 3! + x5 5! = ( ) n (2n + )! x2n+, (C.) cos x = x2 2! + x4 4! = ( ) n (2n)! x2n, (C.2) ln x = (x ) 2 (x )2 + 3 (x ( ) n )3 = (x ) n. (C.3) n donde (C.0), (C.) y (C.2) son válidas para todo x, mientras que (C.3) es válida para los valores x pertenecientes al intervalo semiabierto (0, 2]. En (C.3) el desarrollo es en torno n=

8 224 Introducción a las Series de Potencias a x 0 =. Sin embargo, se puede obtener una representación en serie de potencias para ln x en torno a cualquier x 0 > 0. Del Teorema C.5 sobre la diferenciación de series de potencias, vemos que una función f analítica en x 0 es diferenciable en un entorno de x 0. Además, dado que f tiene una representación en serie de potencias en este entorno, también es analítica en x 0. Repitiendo este argumento, vemos que f, f, etc., existen y son analíticas en x 0. El siguiente famoso teorema proporciona una fórmula para los coeficientes de la serie de potencias de una función analítica. Teorema C.9 (Series de Taylor y de Maclaurin).- Si f es analítica en x 0, entonces la representación f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n (C.4) n! es válida en cierto intervalo abierto con centro en x 0. La serie (C.4) se llama serie de Taylor de f en torno a x 0. Cuando x 0 = 0, también se le conoce como serie de Maclaurin de f. Una forma directa, aunque a veces tediosa, para determinar la serie de Taylor de una función analítica f, consiste en calcular las derivadas sucesivas de f y evaluarlas en x 0. Por ejemplo, las series (C.0), (C.), (C.2) y (C.3) pueden obtenerse en esta forma. Conviene recordar que los desarrollo en serie de potencias tienen también una propiedad de unicidad; a saber, si la ecuación a n (x x 0 ) n = b n (x x 0 ) n es válida en algún intervalo abierto en torno a x 0, entonces a n = b n para n = 0,, 2,.... Por lo tanto, si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para una función analítica, entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor. Por ejemplo, el desarrollo arc tg x, dado en (C.8) del Ejemplo C.6, deber ser su desarrollo de Taylor. Un problema diferente pero muy importante es el del radio de convergencia de la serie de potencias que representa a una función analítica en un punto x 0. Es decir, el entorno de x 0 en el que f es analítica. El Teorema C.4, tal y como ha sido enunciado, no aclara este punto. Claro que este radio de convergencia se puede calcular mediante el criterio del cociente o de la raíz, pero hay un resultado más directo que enunciamos sin una rigurosidad absoluta a fin de hacerlo asequible:

9 C.2 Funciones analíticas 225 Teorema C.0.- Supongamos que la variable x toma valores complejos y sea z 0 el punto más próximo a x 0 en el plano complejo en el que algo va mal con f(x). Calcúlese la distancia, ρ, en el plano complejo, entre x 0 y z 0. Entonces, la serie de Taylor de f en torno a x 0 converge para x x 0 < ρ y diverge para x x 0 > ρ. Ilustremos este teorema con un ejemplo. Consideremos la función f(x) =, que ya + x2 hemos visto en el Ejemplo C.6 que admite, en torno a x 0 = 0, el desarrollo: f(x) = ( ) n x 2n. También sabemos que tiene un radio de convergencia ρ = porque se obtiene de la serie geométrica sustituyendo x por x 2. Para x real la función f(x) = está siempre bien + x2 definida porque si x R entonces x 2 + > 0. Pero para x complejo tenemos que x 2 + se anula para x = ±i. Es decir, si permitimos que x tome valores complejos, f no está definida en x = i ni en x = i. Estos son los puntos z 0 del plano complejo en los que algo va mal con f. En este caso ambos se encuentran a igual distancia de x 0 = 0: ρ = x 0 z 0 =. Otra aplicación del Teorema C.0 es que el radio de convergencia de la serie de Taylor en torno a 0 de una función racional (cociente de polinomios), p(x) es la magnitud de la q(x) raíz más pequeña de q(x); es decir, el módulo de dicha raíz (recordemos que aunque los coeficientes de q(x) sean reales puede tener raíces complejas). Finalmente es útil tener presente que si f y g son analíticas en x 0, también lo son f + g, cf, fg y f/g, siempre que, en el último caso, g(x 0 ) 0. Estos hechos se deducen de cómo se construyen la suma, producto, etc. de las series de potencias tal y como hemos visto más arriba.

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