Sucesiones y series de números reales

Transcripción

1 Capítulo 2 Sucesiones y series de números reales 2.. Sucesiones de números reales 2... Introducción Definición 2... Llamamos sucesión de números reales a una función f : N R, n f(n) = x n. Habitualmente denotaremos la sucesión como {x, x 2, x 3,...} o simplemtente por {x n }. A los valores x, x 2,..., x n,..., se les llama términos de la sucesión, siendo x n el término enésimo o término general de la sucesión. La sucesión se representa por { x n } n N o simplemente por { x n } y al conjunto de sus imágenes por { x n R : n N }. Ejemplo 2... A continuación presentamos varios ejemplos de sucesiones { }. = {, 2 n, 3 }, {( ) n } = {,,,,...}

2 2 CAPíTULO 2. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES {n 2 } = {, 4, 9,...} No es necesario expresar {x n } en función de n mediante una fórmula. Por ejemplo el conjunto de los números primos forma una sucesión {p n } = {2, 3, 5, 7,,...}, a pesar de que no se conoce ninguna fórmula expícita que genere {p n } Límite de una sucesión Definición Una sucesión {x n } converge a x R (escribimos lím n x n = x o {x n } x) si para cada ε > 0 existe un número natural n 0 = n 0 (ε) N tal que si n N, n n 0 entonces x n x < ε. En tal caso decimos que x es el límite de la sucesión {x n }. Si una sucesión {x n } tiene límite se llama convergente. Intuitivamente, {x n } converge a x R significa que el término x n está tan próximo como queramos del número real x siempre que n sea suficientemente grande. Como x n x < ε es equivalente a x ε < x n < x + ε, podemos afirmar que una sucesión de números reales { x n } converge a x si en cualquier entorno de x se encuentran todos los términos de la sucesión {x n }, salvo quizás un número finito.

3 2.. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES 3 Proposición 2... Dada una sucesión {x n } se cumplen las siguientes propiedades:. {x n } x {x n x} 0 2. {x n } 0 { x n } La sucesión {y n } = {x n+p }, p N fijado, es convergente si y sólo si {x n } es convergente, en cuyo caso el límite de ambas coincide. Ejemplo Usar la definición de límite para probar que lím n /n = La sucesión {( ) n } = {,,,,...} es convergente? 3. Probar que la sucesión constante {c, c, c,...} converge a c. Una propiedad importante del límite de una sucesión es que si existe es único. Teorema 2.. (Unicidad del límite). Sea {x n } una sucesión de números reales y supongamos que existen dos números reales, x e y, tales que {x n } x y también {x n } y. Entonces x = y. Definición Sea {x n } una sucesión de números reales. ) Decimos que {x n } + (o lím n x n = + ), si M > 0 n 0 = n 0 (M) N : n N, n n 0 x n > M. 2) Decimos que {x n } (o lím n x n = ), si M > 0 n 0 = n 0 (M) N : n N, n n 0 x n < M. Si lím n x n = ± decimos que la sucesión es divergente. Definición Sea {x n } una sucesión de números reales y n < n 2 <... < n k < n k+ <... una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Llamamos subsucesión o sucesión parcial de la sucesión {x n } a la sucesión {x nk }. Proposición Si {x n } es una sucesión convergente, entonces cualquier subsucesión de {x nk } también es convergente y tiene el mismo límite. La proposición anterior resulta muy útil para demostrar que una sucesión no es convergente usándola de la siguiente forma: si una sucesión admite dos subsucesiones con límites distintos o una subsucesión no convergente entonces la sucesión de partida no es convergente.

4 4 CAPíTULO 2. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES Proposición Sean {x n } e {y n } dos sucesiones de números reales. Se cumplen las siguientes propiedades: ) Si {x n } x, {y n } y, entonces { x n + y n } x + y. 2) Si {x n } 0 e {y n } está acotada, entonces {x n y n } 0. 3) Si {x n } x e {y n } y, entonces {x n y n } x y. 4) Si {x n } x e {y n } y 0, con y n 0, n N, entonces {x n /y n } x/y. 5) (Regla del encaje o del sandwich). Si {x n } e {y n } tienen por límite l y existe n 0 N tal que x n z n y n, n N, n n 0, entonces la sucesión {z n } también es convergente y su límite es l. 6) Si {x n } + e {y n } está acotada inferiormente, entonces {x n +y n } +. 7) Si {x n } e {y n } está acotada superiormente, entonces {x n +y n }. 8) Si {x n } + y existen c > 0 y n 0 N tales que y n > c, n N, n n 0, entonces {x n y n } +. 9) Si {x n } + e {y n } +, entonces {x n y n } +. 0) Si {x n } + e {y n }, entonces {x n y n }. ) Si {x n } + {y n } y 0, entonces {x n y n } + cuando y > 0 y {x n y n } cuando y < 0. 2) Si x n 0, n N, entonces {x n } 0 {/ x n } Cálculo de límites El número e La sucesión de números reales dada por {x n } = {( + ) n }, n es monótona creciente y acotada por lo que {x n } es una sucesión convergente. Se define el número e (en honor de Euler) como el límite de la sucesión {x n }, es decir, ( e := lím + n = 2,7828 n n)

5 2.2. SERIES DE NÚMEROS REALES 5 Si {x n } +, siendo x n 0, n N, también se cumple que ( lím + ) xn = e. n x n Otros criterios para el cálculo de límites En todos los criterios que presentamos a continuación el límite L puede ser tanto un número real como ±. Criterio de Stolz Sean {a n } y {b n } dos sucesiones de números reales que satisfacen:. {b n } es estrictamente monótona (creciente o decreciente). 2. O bien lím n b n = ±, o bien lím n a n = lím n b n = 0. Entonces se cumple que Criterio de la raíz x n x n lím = L n y n y n x n lím = L. n y n Sea {x n } una sucesión de números reales tal que x n > 0 para todo n. Entonces se cumple que x n+ lím = L lím n xn = L. n x n n 2.2. Series de números reales Introducción Intuitivamente una serie es una suma infinita a n = a + a 2 + a Por ejemplo, es fácil convencerse de que ( ) n = =.

6 6 CAPíTULO 2. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES Sin embargo, no resulta tan claro qué significado tiene la suma ( ) n = Para definir de forma rigurosa el concepto de serie consideramos la sucesión de sumas parciales n s = a, s 2 = a + a 2,..., s n = a k = a + a 2 + a a n y pasamos al límite. Definición Una serie de números reales a n se dice que es convergente o sumable cuando la sucesión de sumas parciales {s n } es convergente. Al límite de la sucesión {s n } lo llamaremos suma de la serie y lo denotaremos como a n. Por tanto, estudiar la convergencia de una serie de números reales consiste en estudiar la convergencia de su sucesión de sumas parciales. Como no siempre será posible hallar explícitamente la expresión de s n nos interesará disponer de criterios de convergencia para series que dependan del término general {a n }. El siguiente resultado nos dice que para estudiar el carácter de una serie (convergencia o divergencia) no importa eliminar un número finito de términos. Teorema Sea k N fijado. La serie a n es convergente si y sólo si la serie a n+k es convergente, en cuyo caso a n = (a + a a k ) + a k+n. Teorema (Condición necesaria de convergencia de series). Si a n es una serie de números reales convergente, entonces lím n a n = 0. Observación El recíproco no es cierto en general. Por ejemplo, la serie /n, (serie armónica) de término general a n = /n, cumple que k= lím a n = lím n n n = 0, y, sin embargo, no es convergente (es fácil comprobar que s 2 n > n 2 n N).

7 2.2. SERIES DE NÚMEROS REALES 7 2. El teorema anterior resulta de gran utilidad para probar que una serie no es convergente usándolo de la siguiente manera: si lím n a n 0 entonces la serie a n no converge. Proposición 2.2. (Propiedades de las series). Sean a n y b n dos series de números reales y λ R. Se cumplen las siguientes propiedades: ) Si a n y b n son convergentes, entonces la serie (a n + b n ) es también convergente y su suma viene dada por (a n + b n ) = a n + b n. 2) Si a n es convergente, entonces la serie (λ a n ) es también convergente y su suma viene dada por (λ a n ) = λ a n Suma de series geométricas Las series geométricas son series del tipo r n, donde r <. En este caso la expresión de s n viene dada por s n = r + r r n. Multiplicando ambos miembros de la igualdad por r, se obtiene Restando ambas expresiones de deduce que y por tanto Finalmente, como r <, se tiene que y entonces la serie r n es convergente y r s n = r 2 + r r n+. s n ( r) = r r n+, s n = r rn+ r. lím r n+ = 0, n r n = lím s n = n r r. (2.2.)

8 8 CAPíTULO 2. SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES Series de términos positivos Definición Diremos que la serie a n es una serie de términos positivos si se cumple que a n 0, n N. Observación Una serie de términos positivos o bien es convergente o bien tiende a +, puesto que su sucesión de sumas parciales es monótona creciente. 2. Las series de términos negativos (a n 0, n N) se estudian de igual forma sin más que cambiar el signo para pasar a una serie de términos positivos. 3. Se pueden tratar como series de términos positivos aquellas cuyos términos son positivos a partir de un término en adelante. Criterios de convergencia para series de términos positivos Criterio de comparación Sean a n y b n dos series de términos positivos. Supongamos que existe n 0 N tal que Entonces se cumple que: ) a n divergente b n divergente. 2) b n convergente a n convergente. a n b n, n N, n n 0. (2.2.) Observación A la hora de usar en la práctica el criterio de comparación es importante conocer el carácter de la serie armónica generalizada /n p, p R, que es convergente para p > y divergente para p. Criterio de comparación en el límite Sean a n y b n dos series de términos positivos y supongamos que Entonces se cumple que: a n lím = L. n b n ) Si L R +, las series a n y b n tienen el mismo carácter, es decir, son ambas convergentes o ambas divergentes. 2) Si L = 0 y además

9 2.2. SERIES DE NÚMEROS REALES 9 a) b n es convergente entonces a n es convergente. b) a n es divergente entonces b n es divergente. 3) Si L = + y además a) b n es divergente entonces a n es divergente. b) a n es convergente entonces b n es convergente. Criterio del cociente Sea a n una serie de términos positivos y supongamos que Entonces se cumple que: ) Si L <, la serie a n es convergente. 2) Si L >, la serie a n es divergente. 3) Si L = estamos en un caso dudoso. a n+ lím = L. n a n