SERIE DE NÚMEROS REALES.

Transcripción

1 SERIE DE NÚMEROS REALES. Definición: Dada una sucesión de números reales x n, se considera una nueva sucesión s n de la forma : s 1 x 1 s 2 x 1 x 2 s 3 x 1 x 2 x 3.. s k s k1 x k Al par ordenado (x n, s n se le llama serie infinita o simplemente serie y la escribiremos como x n. n1 - A la sucesión s n se le denomina sucesión de sumas parciales. -Alosx k términos de la sucesión. - En ocasiones no empezaremos la serie por n 1, sino que será conveniente empezar por n 5, n 0,...Aún cuando

2 por lo general los subíndices de los elementos de una serie son los números naturales. CARACTER DE UNA SERIE. -Sis n es convergente, lim s n s, n diremos que la serie es convergente y s será la suma de la serie: x n s. n1 -Sis n es divergente, diremos que la serie es divergente y su suma será : x n. n1 -Sis n no tiene límite, diremos que la serie es oscilante. Nota: El carácter de una serie no se altera si se suprime un número finito de

3 sumandos. SERIES CONVERGENTES. PROPIEDADES. Teorema: i Si las series x n y y n convergen, entonces la serie x n y n converge y su suma será : x n y n x n y n i Si la serie x n converge y c, entonces la serie cx n converge y su suma será : cx n cx n

4 Teorema:(condición necesaria de convergencia) Si x n es convergente lim x n 0 n1 n SERIESDETÉRMINOSNO NEGATIVOS. Definición: Se dice que x n es de n1 términos positivos si x n 0, n. - Las series de términos negativos se tratan de forma análoga a la de terminos positivos. - Se pueden considerar y tratar como serie de términos positivos aquellas para las que x n 0, n N 0. Teorema: Una serie de términos positivos, o es convergente o divergente, no puede ser oscilante.

5 CRITERIOS DE CONVERGENCIA. Definición: Dadas dos series de términos positivos x n y y n, diremos que n1 n1 n1 x n es mayorante de tal que x n y n, n n 0. x n es minorante de n1 tal que x n y n, n n 0. y n,sin 0 n1 y n,sin 0 n1

6 1.Criterio de comparación de la mayorante Sean x n y n1 y n series de términos n1 positivos. i Si x n es mayorante de n1 y n y n1 x n n1 es convergente y n es convergente. ii Si n1 n1 x n es minorante de y n y n1 es divergente y n es divergente. n1 x n n1

7 2. Comparación con paso al límite. Sean x n y n1 y n dos series de n1 términos positivos con lim x n y n n l 0,. i Si l 0 y l, las dos series tienen el mismo carácter, es decir, convergen o divergen simultáneamente. ii Si l 0 y y n es convergente n1 n1 x n es convergente. Si l 0 y x n es divergente n1 divergente. iii Si l y es divergente. Si l y n1 n1 y n es n1 y n es divergente x n n1 x n es convergente y n n1

8 es convergente. 3. Serie armónica. Definición: Llamamos serie armónica generalizada de orden alaserie n 1 n1 Teorema: (Convergencia de la serie armónica generalizada). La serie n 1 converge si 1 y diverge si 1. n1 4. Criterio de la raíz. Sea x n n1 positivos con una serie de términos

9 lim n n xn Entonces se cumple: l 0, i) Si l 1 x n es convergente. n1 ii) Si l 1 x n es divergente. n1 iii) Si l 1 no se sabe. 5. Criterio del cociente. Sea x n n1 positivos con una serie de términos lim n x n1 x n Entonces se cumple: l 0, i Si l 1 x n es convergente. n1 ii Si l 1 x n es divergente. n1

10 iii Si l 1 no se sabe. 6. Criterio de Raabe. Sea x n n1 positivos con una serie de términos lim n n1 x n1 x n Entonces se cumple: l i Si l 1 x n es convergente. n1 ii Si l 1 x n es divergente. n1 iii Si l 1 no se sabe. 7. Criterio de condensación de Cauchy. Sea x n n1 una serie de términos

11 positivos decreciente, es decir, x n1 x n n. Entonces las series x n y 2 n x 2 n n1 tienen el mismo carácter. n1

12 SERIES ALTERNADAS.CRITERIO DE LEIBNITZ. Definición: Diremos que una serie de términos reales es alternada si sus sumandos son alternativamente positivos y negativos. Es decir si x n x n1 0,n. Nota1. La forma más común de presentar una serie alternada es 1 n1 x n ó 1 n x n con x n 0. Nota 2. La serie x n también puede considerarse alternada si x n x n1 0, n n 0. Criterio de Leibnitz. Sea 1 n1 x n n1 una serie alternada. Si la sucesión de términos positivos x n verifica: i) lim x n 0 n

13 ii) x n1 x n n (monótona decreciente). Entonces la serie alternada es convergente. Nota1:Observar que las condiciones para aplicar el criterio son dos, no hay que olvidar la monotonia. Ej: n 1 5 n.. Esta serie es divergente aunque su término general tienda a cero. Falla la monotonía. Nota 2: El criterio de Leibnitz es una condicion suficiente pero no es necesaria. Ej: n n 2 Esta serie es convergente, aunque no sea monótona.

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15 SERIES DE TÉRMINOS ARBITRARIOS. CONVERGENCIA ABSOLUTA. Definición: Una serie de términos arbitrarios, es aquella que no es necesariamente ni de términos positivos ni alternada. Definición: Diremos que una serie x n es absolutamente convergente si x n es convergente. Teorema: Si una serie x n es absolutamente convergente, entonces es convergente. Nota: El teorema anterior es una estrategia a seguir cuando intentamos estudiar el carácter de una serie de términos arbitrarios. Estudiamos previamente x n que es de términos positivos y que por tanto tenemos los

16 criterios para deducir su carácter. Definición: Una serie es condicionalmente convergente cuando es convergente pero no absolutamente convergente. 1. Criterio de Dirichlet. La serie x n y n es convergente si se n1 cumple: i La sucesión de sumas parciales de x n está acotada. n1 ii) y n es una sucesión monótona decreciente con lim y n 0 n 2. Criterio de Abel. La serie x n y n esconvergente si se cumple: n1

17 ila serie x n es convergente. n1 ii y n es una sucesión monótona y acotada.

18 SUMA DE SERIES. 1. Series aritmético -geométricas. Son delaforma: Pnr n n0 Donde Pn es un polinomio de grado mayor o igual que 1 y r es la razón. Será convergente cuando r 1. La suma se obtiene de forma similar a las geométricas. 2. Series hipergeométricas. Sonlaquecumplen x n1 x n an an b c donde a, b, c, a 0. Son convergentes cuando c b a. Su suma vale S x 1 c c a b

19 3. Series cuyo término general es de Pn la forma n k!. Se hace la descomposición en fracciones simples del término general (en p 1) y entonces a partir de la fórmula 1 n! 1 1 1! n0 se suman todas las series. 4. Series telescópicas. 1 2! 1 3!... 1 n!.. e La serie x n es telescópica si su n0 término general se puede poner de la forma. x n y n y n1 donde y n es otra sucesión. La serie será convergente cuando

20 En este caso n0 lim y n l n x n x 1 l. 5. Series de Stirling Son aquellas cuyo término general es el cociente de dos polinomios de la forma: x n Pn Qn donde Pn es un polinomio de grado p y Qn es un polinomio de grado m p 2. x n Pn n b 1 n b 1 b 2...n b 1 b m donde b 1, b 2, b 3,..., b m. Se hace la descomposición en fracciones simples y al identificar coeficientes llegamos a que: a 0 a 1...a m 0.

21 Una vez hecho esto se suman las series de las fracciones.