TEMA 4. Series de potencias

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1 TEMA 4 Series de potencias. Introducción En el tema anterior hemos estudiado la aproximación polinómica local de funciones mediante el polinomio de Taylor correspondiente. En particular, vimos para la función exponencial que e x + x + x 2 2! + x3 3! + + xn n k0 Recordemos que el error que se comete al aproximar los valores de una función por los correspondientes valores del polinomio de Taylor asociado disminuye al aumentar el grado de éste. Consecuentemente, surge de forma natural la cuestión de qué ocurriría si trabajásemos con una suma de infinitos términos, es decir, x k k!. + x + x2 2! + x3 3! + + xn + x k k!. k0 Esta expresión es una serie de potencias y, de forma intuitiva, podemos decir que es una suma infinita que aproxima a una función que desconocemos explícitamente o que es lo suficientemente compleja para trabajar con ella. 2. Conceptos básicos 2.. Series El concepto de serie sirve para dar un sentido a sumas infinitas como 2 n, x n, cos(nx). Para dar un sentido a una suma infinita del tipo u n, introducimos la serie de término general u n, para n 0. Formalmente, es solamente la sucesión de término general u n : n u n u 0 u u 2... Pero consideramos la sucesión asociada de las sumas parciales de la serie: n S n u 0 u 0 + u u 0 + u + u 2...

2 2 Ingeniería Informática versión 7 dic. 206 Ejemplo Consideremos la serie de termino general u n 2 n, para n 0. Los primeros términos de la sucesión (u n ) n 0 son: n u n 0, 5 0, 25 0, 25 0, 625 0, 325 0, Las primeras sumas parciales de la serie son: n S n, 5, 75, 875, 9375, 96875, Adivinamos que (y se demuestra que) lím n S n 2, y notamos: 2 n 2. Decimos que la serie de termino general /2 n, para n 0, converge, y que su suma es 2. Consideremos ahora la serie de termino general v n términos de la sucesión (v n ) n 0 son: Las primeras sumas parciales de la serie son: n v n... n n k0 v k ( ) n, para n 0. Los primeros La sucesión de las sumas parciales es divergente (no converge). Decimos que la serie de termino general ( ) n diverge (o es divergente ). El objeto no está definido. ( ) n Definición Decimos que la serie de término general u n diverge cuando la sucesión de las sumas parciales S n diverge. Decimos que la serie de término general u n converge cuando la sucesión de las sumas parciales converge. como Finalmente, cuando la sucesión de las sumas parciales admite un limite S, notamos también este límite u n. y la llamamos suma de la serie de termino general u n, para n 0. Si la sucesión de las sumas parciales no tiene ningún limite, entonces la suma no está definido. u n.

3 Tema 4. Series de potencias El rigor y el uso A menudo (y lamentablemente para la claridad), se utiliza u n para referirse a la serie de termino general u n, en vez de a su suma. Es el caso cuando se pide estudiar el carácter (convergente o divergente) de la serie u n Series de funciones y series de potencias Si los u n, en vez de ser números, son funciones u n (x), entonces la serie de termino general u n (x), para n 0, es una serie de funciones. Por ejemplo, podemos considerar la serie de termino general x n. Es una serie de funciones de un tipo especial, que llamaremos serie de potencias, ya que vamos a estudiar a continuación. Podemos considerar también la serie de termino general cos(nx)/. Es una serie de funciones, pero no es una serie de potencias. Es una serie de Fourier (Tema 5). Dada la serie de funciones de termino general u n (x), para cada valor x c R, la serie numérica de termino general u n (c) puede ser convergente o divergente. Por ejemplo, la serie de funciones de termino general x n as convergente para x /2, y divergente para x. Sea D el conjunto de los valores c tal que la serie de termino general u n (c) es convergente. Lo llamamos campo de convergencia de la serie de funciones. Es el dominio de definición de una función F definida por F(c) para cualquier c D. Notamos esta función: u n (c) u n (x) y la llamamos función suma de la serie de termino general u n (x), para n 0. Definición 2 (Series de potencias) Sean x 0 y a 0, a, a 2... números y x una variable. A la serie de funciones de termino general a n (x x 0 ) n, para n 0, la llamamos serie de potencias centrada en el punto x 0 y con coeficientes la sucesión de término general a n. Su suma es la función: a n (x x 0 ) n lím N N a n (x x 0 ) n definida donde la serie converge (campo de convergencia de la serie). Si x 0 0, la función suma adopta la forma a n x n

4 4 Ingeniería Informática versión 7 dic. 206 La suma de una serie de potencias es una suerte de polinomio infinito. Sus sumas parciales son polinomios. Ejemplo 2 Una de las series de potencias más simples e importantes es la llamada serie geométrica, que se obtiene tomando x 0 0, y a n para cualquier n 0: Las sucesivas sumas parciales son x n + x + x 2 + x 3 + S 0 (x), S (x) + x, S 2 (x) + x + x 2,. S n (x) + x + x x n. Hemos visto que la serie de termino general x n converge para x /2 y diverge para x. Por tanto, /2 está en el dominio de definición de la función x n mientras que está fuera de dicho dominio de definición. 3. Convergencia puntual, intervalo y campo de convergencia, radio de convergencia La primera cuestión que nos planteamos es determinar el dominio de definición de la función suma de una serie de potencias (el campo de convergencia de la serie). El dominio de definición de la función suma de una serie de potencias (campo de convergencia de la serie) es siempre muy simple: Teorema (de Cauchy Hadamard) El campo de convergencia de la función suma de una serie de potencias es siempre un intervalo centrado en x 0. Puede ser, por tanto, de la forma: [x 0 r; x 0 + r], (x 0 r; x 0 + r), (x 0 r; x 0 + r], [x 0 r; x 0 + r) o ( ; ) Definición 3 El numero r del teorema se llama radio de convergencia de la serie. Si el campo de convergencia es ( ; ), decimos que el radio de convergencia es infinito. El intervalo abierto (x 0 r; x 0 + r) se llama intervalo de convergencia de la series (es ( ; ) cuando el campo de convergencia es ( ; ). Coindide con el campo de convergencia, excepto quizás por los extremos.

5 Tema 4. Series de potencias 5 En particular, si r es el radio de convergencia de la serie, Si x x 0 < r entonces la serie de termino general a n (x x 0 ) n converge. Si x x 0 > r entonces la serie de termino general a n (x x 0 ) n diverge. Si x x 0 r el teorema no dice nada: la serie de termino general a n (x x 0 ) n puede divergir o converger. Ejemplo 3 El radio de convergencia de la serie geométrica x n es r y la función suma es S(x) x, es decir, x n x para cualquier x (, ). 4. Criterios de convergencia de series numéricas Una serie númerica es una serie cuyos terminos son números (en vez de funciones). Consideremos una serie numérica de término general a n. Criterio de D Alambert o del cociente Si la sucesión de termino general si a n+ a n tiene un limite y lím a n+ < entonces la serie de termino general a n es convergente; n a n > entonces la serie de termino general a n es divergente; Criterio de Cauchy o de la raíz Si la sucesión de termino general n a n tiene un limite y si n lím n a n < entonces la serie de termino general a n es convergente; > entonces la serie de termino general a n es divergente. Criterio de Raabe Si ( todos los ) terminos a n son estrictamente positivos, y si la sucesión de termino general n a n+ a n tiene un límite y ( lím n a ) n+ n a n > entonces la serie de termino general a n son convergentes; < entonces las serie de termino general a n es divergente. Observación Cualquiera que sea el número natural n 0, la serie numérica de termino general a n, para n 0, tiene el mismo carácter (convergente o divergente) que la serie de mismo termino general, para n n 0. Definición 4 Llamamos serie alternada a una serie cuyo término general a n cambia de signo a cada paso.

6 6 Ingeniería Informática versión 7 dic. 206 Teorema 2 (de Leibnitz, o de las series alternadas) Sea una serie alternada de término general a n Se supone que la sucesión de término genreal a n es decreciente. Entonces, la serie de término general a n converge si y solo si Ejemplo 4 lím a n 0. n ) Estudiemos el carácter de la serie de termino general n2 2 aplicando el criterio del cociente. Para n cualquier n, (n+) a 2 n+ 2 n+ 2n (n + )2 (n + )2 a n n 2 2 n+ n 2 2n 2 2 n Es convergente con limite /2. Este limite es <. Por tanto, por el criterio del cociente, la serie de termino general n2 2 n converge. 2) La serie de termino general ()2 es convergente. Así es; poniendo a (3n)! n ()2, con el criterio el (3n)! criterio del cociente obtenemos a n+ a n Converge con limite 0, que es <. [(n + )!] 2 [3(n + )]! () 2 (3n)! (3n)![(n + )!]2 [3(n + )]!() 2 (n + ) 2 (3n + 3)(3n + 2)(3n + ). 3) Consideremos la serie de termino general n e n2 y apliquemos el criterio de la raíz: n n e n2 n n n e n 2 n n e n Converge con limite 0, que es <. Por tanto la serie de termino general n e n2 converge. 3 4) Consideramos la serie de termino general n n 2. Estudiamos su carácter con el criterio de la n raíz. Tenemos n 3 n n 2 n n 3 n2 Es convergente, con limite 3 2. Es >. Por tanto, la serie de termino general 3 n n 2 n diverge. 5) El criterio de Raabe resulta muy útil para demostrar la convergencia o divergencia de las series armónicas, es decir, las de termino general /n k (k fijo, n variable). Por ejemplo, la serie de termino general es convergente, ya que n 3 [ ] n (n + ) 3 n n3 (n + ) 3 n 3 que converge con limite 3, que es >. n 3n2 + 3n + (n + ) 3,

7 Tema 4. Series de potencias 7 6) Estudiemos el carácter de la serie de termino general 2n+ con el criterio de Raabe: n 2(n + ) + 3 2n + ( n 4n 2n (2n + 5)(2n + ) ) 2n + 2n + 5 2n + n 2n + 5 2n + 5 Es convergente con limite 4/5, que es <. Por tanto la serie de termino general divergente. 2n + es 7) La serie de término general ( ) n /n, para n es alternada, El valor absoluto del término general es /n, es decreciente. Como admás lím n /n 0, vemos que la serie de término general ( ) n /n es convergente, por el criterio de las series alternadas. 5. Cálculo del radio de convergencia de una serie de potencias En el teorema se ha definido el radio de convergencia pero dicho resultado no nos proporciona un método para calcularlo. Una técnica muy intuitiva y práctica se basa en suponer que x es un valor fijo, de modo que la serie de potencias se transformaría en una serie numérica. Llegados a este punto, aplicamos los criterios de convergencia estudiados anteriormente; a continuación consideramos que x R y estudiamos para qué valores de x se tiene la convergencia. Ilustremos esta técnica con el siguiente Ejemplo 5 Para hallar el radio de convergencia de la serie de potencias de termino general x n, fijamos x R y aplicamos el criterio del cociente: tenemos lím x n+ n x n x. Ahora bien, Si x < entonces la serie de potencias converge de termino general x n converge, Si x > entonces la serie de potencias de termino general x n diverge. Por tanto, el radio de convergencia es r. El intervalo de convergencia es, por tanto, ( ; ). Para hallar el campo de convergencia, estudiamos lo que pasa con x y x. Cuando x, la serie es la serie de termino general. Sus sumas parciales son 0,, 2,... y la serie diverge. Cuando x, la serie tiene termino general ( ) n. Las sumas parciales son alternativamente 0 y. Por tanto la serie diverge. En conclusión, ni ni están en el campo de convergencia. El campo de convergencia es el intervalo abierto ( ; ).

8 8 Ingeniería Informática versión 7 dic. 206 Ejemplo 6 Para el estudio de la serie de termino general ( ) n (x 2)n (n + )3n procedemos de forma totalmente análoga a la anterior: ( ) n+ (x 2)n+ (n + 2)3n+ ( ) n n + x 2 3(n + 2) (x 2)n (n + )3n x 2 Es convergente con limite. De este resultado se deduce que la serie es convergente siempre 3 que x 2 < 3, es decir, para cualquier x (, 5). Ahora bien, cuál es el comportamiento de la serie en los extremos del intervalo? Para x, obtenemos para el término general de la serie: La serie es divergente. ( ) n (n+)3 n ( 3) n, que es igual a n+. Para x 5, obtenemos para le término general: 3 n, que vale ( )n (n+)3 n n+. Por el criterio de las series alternadas, la serie es convergente. ( ) n Por consiguiente, el campo de convergencia es (, 5]. 6. Propiedades de las series de potencias Teorema 3 Consideramos una serie de potencias centrada en x 0, de término general a n (x x 0 ) n. Sea S(x) a n (x x 0 ) n su función suma. Entonces la función S es continua y admite derivadas de todos los ordenes sobre el intervalo de convergencia. Consideramos las otras dos series de potencias: Entonces: La serie de término general n a n (x x 0 ) n, n (obtenida derivando cada término). Sea T su función suma. La serie de término general a n (x x 0 ) n+ n+, n 0 (tomando primitiva de cada término). Sea U su función suma. Las tres series tienen el mismo intervalo de convergencia (y, por tanto, el mismo radio de convergencia). Sobre el intervalo de convergencia, T es la derivada de S. Sobre el campo de convergencia de S, U es una primitiva de S. Ejemplo 7 A partir de la función suma de una serie geométrica x n x para cualquier x (, ),

9 Tema 4. Series de potencias 9 y recurriendo a la propiedad de derivación de una serie de potencias, se puede probar que ( x) 2 + 2x + 3x2 + En efecto; por un lado tenemos que ( ) x (n + )x n, x (, ). ( x) 2, mientras que derivando término a término la serie de potencias obtenemos ( ) + 2x + 3x 2 + x (n + )x n. 7. Series de Taylor Asociando a una función una serie: la serie de Taylor A una función suficientemente regular se le asocia una serie de potencias: su serie de Taylor. Definición 5 (Serie de Taylor) Sea x 0 R y f una función definida en un entorno de x 0. Si f admite derivadas de todos los ordenes en x 0, entonces su serie de Taylor centrada en x 0 es la serie de potencias de término general f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. Observése que los polinomios de Taylor de f en x 0 son las sumas parciales de su serie de Taylor en x 0. Definición 6 (Desarrollo en serie de potencias) Se dice que una función f admite desarrollo en serie de potencias en el intervalo (x 0 r, x 0 + r) si existe una serie de potencias a n (x x 0 ) n tal que f (x) a n (x x 0 ) n para cualquier x (x 0 r, x 0 + r).. En este caso, esta serie es potencias es necesariamente su serie de Taylor. Si una función definida sobre un intervalo I admite, para cualquier x 0 I una serie de Taylor en x 0, y que está serie es convergente sobre un entorno de x 0, con función suma que coincide con f, entonces decimos que f es analítica sobre I. Desgraciadamente,! NO todos las funciones que admiten derivadas de todo orden son analíticas! Muchas funciones importantes son analíticas: exponencial, seno, coseno. logaritmo.

10 0 Ingeniería Informática versión 7 dic. 206 Ejemplo 8 Sea x 0 R. La serie de Taylor de la función exponencial en x 0 es Sea a R. e x 0(x x 0 ) n Para estudiar la convergencia de la serie de Taylor hacia exp, hace falta demostrar que la sucesión de las sumas parciales ( los polinomios de Taylor) T N N e x 0(a x 0 ) n converge hacía exp(a). Para esto, es necesario y suficiente demostrar que la sucesión de los restos converge hacia 0. El resto de orden N cumple: existe c entre x 0 y x tal que: Notese que c depende de N. T N (a) exp(a) e c (N + )! a x 0 N+ Sea M un numero superior a la vez a a y x 0. Entonces M c y, como exp es creciente, e c e M. Por tanto, T N (a) exp(a) e M (N + )! a x 0 N+ e Observése que M no depende de c. Como M (N+)! a x 0 N+ tiende a 0 cuando N, queda establecido que la sucesión de los restos tiende a 0. Tenemos, por tanto, para cualesquiera a y x 0 R. Por tanto, como funciones: para cualquier x 0 R. exp(a) exp(x) e x 0(a x 0 ) n e x 0(x x 0 ) n En particular, para x 0 0 obtenemos la expresión: exp(x) x n