Cálculo de una y varias variables (con prácticas en wxmaxima) M.ª Victoria Sebastián Guerrero M.ª Antonia Navascués Sanagustín

Transcripción

1 Cálculo de una y varias variables (con prácticas en wxmaxima) M.ª Victoria Sebastián Guerrero M.ª Antonia Navascués Sanagustín Prensas Universitarias de Zaragoza Textos Docentes, , 450 pp., 17 x 23, rústica euros El libro aborda los tópicos clásicos del Cálculo Infinitesimal como: Sucesiones y Series Numéricas, Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una variable real, etc., pero no se queda aquí. Añadimos un tema de Cálculo Numérico, que pretende responder a la pregunta: "Sí, pero esto cómo se hace?" y que nos enfrenta al trabajo de cálculo en las aplicaciones del mundo real, donde no existen estos preciosos objetos matemáticos llamados "funciones". En esta Sección se abordan, de manera somera, los tópicos de Resolución Aproximada de Ecuaciones, Interpolación y Derivación e Integración Numéricas. El texto recoge también algunos temas de Cálculo avanzado como Sucesiones y Series de Funciones e Integración Impropia y Paramétrica. El libro proporciona, además, un pequeño curso de Cálculo de Varias Variables y Geometría Analítica. Aunque parece en principio un poco abstracto, este campo cada vez está más presente en nuestra vida cotidiana, por ejemplo, en la metereología, cartografía, estadística, etc.

2 Índice general Prólogo PRELIMINARES Números Cardinales Conjuntos ordenados Supremo, ínfimo, máximo, mínimo Propiedades del orden en R Relación del orden con las operaciones Valor absoluto Recta real ampliada R Extensión de las operaciones a R Números complejos Operaciones con números complejos Conceptos topológicos El espacio euclídeo R n Abiertos, cerrados, compactos Problemas preliminares SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Primeras definiciones Límite de una sucesión Sucesiones acotadas y monótonas Carácter de una sucesión Teoremas para límites de sucesiones Indeterminaciones

3 444 ÍNDICE GENERAL 2.7. Cálculo de límites Cocientes de polinomios Expresiones irracionales Indeterminaciones tipo potencia Indeterminaciones del número e Criterio de Stolz Criterio de la raíz n-ésima: Infinitésimos e infinitos Orden de los infinitos o infinitésimos Equivalencias entre infinitésimos y entre infinitos Problemas de sucesiones de números reales SERIES NUMÉRICAS Nociones sobre series numéricas Series de términos positivos Series alternadas Algunas series notables Serie geométrica Serie aritmético-geométrica Serie armónica Serie armónica generalizada o de Riemman Serie armónica alternada Serie telescópica Serie hipergeométrica Serie cociente de polinomios Serie cociente de polinomio y factorial Criterios de comparación para series de términos positivos Criterio de comparación de primera especie Criterio de comparación de segunda especie Criterio del límite Criterios de convergencia para series de términos positivos Criterio de convergencia de Cauchy o de la raíz Criterio de convergencia de D Alembert o del cociente Criterio de convergencia de Raabe Criterio logarítmico

4 ÍNDICE GENERAL Criterio de Pringsheim Convergencia para series de términos cualesquiera Criterio de Dirichlet Criterio de Leibnitz para series alternadas Suma de series Suma de series geométricas Suma de series aritmético-geométricas Suma de series hipergeométricas Suma de series cocientes de polinomios Suma de series telescópicas Suma de series factoriales Suma de series cociente de polinomio y factorial Problemas de series numéricas FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Nociones generales sobre funciones Tipos básicos de funciones Operaciones con funciones Propiedades de funciones Funciones acotadas Monotonía Simetrías Periodicidad Límites puntuales de una función Propiedades de los límites puntuales Límites infinitos Límites en los infinitos Cálculo de límites funcionales Órdenes de infinitud Tabla de equivalencias Indeterminaciones Continuidad de una función Clasificación de las discontinuidades Problemas de funciones reales de variable real

5 446 ÍNDICE GENERAL 5. DERIVACIÓN Concepto de derivada Relación entre derivabilidad y continuidad Cálculo de derivadas Tabla de derivadas elementales Derivada de una constante por una función Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Regla de la cadena Tabla de derivadas compuestas Derivadas de orden superior Derivación implícita Problemas de derivación APLICACIONES DE LA DERIVADA Diferencial de una función Aplicaciones al movimiento rectilíneo Aplicaciones de la derivada al estudio de una función Máximos y mínimos Teoremas del valor medio Estudio del crecimiento de una función Concavidad y convexidad Cálculo de límites por L Hôpital Problemas de aplicaciones de la derivada REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS Representación gráfica de una función explícita Ecuaciones paramétricas de una curva Paso de ecuaciones paramétricas a cartesianas Paso de ecuaciones cartesianas a paramétricas Completando el estudio de una gráfica en paramétricas Coordenadas polares Representación gráfica de curvas en polares Problemas de representación gráfica de curvas

6 ÍNDICE GENERAL INTEGRAL INDEFINIDA Integral indefinida Cálculo de la integral indefinida Tabla de integrales elementales Tabla de integrales compuestas Cálculo de primitivas Integración por sustitución o cambio de variable Integración por partes Integrales de funciones racionales Método de Hermite Integrales trigonométricas Integrales irracionales Problemas de integral indefinida INTEGRAL DEFINIDA El área bajo una función Definición de la integral definida Propiedades de la integral definida Cálculo de la integral definida Cambio de variable en una integral definida Aplicaciones geométricas de la integral definida Cálculo de áreas Cálculo de volúmenes Longitud de un arco de curva Área de una superficie de revolución Problemas de integral definida INTEGRALES IMPROPIAS Integrales impropias Integrales impropias de primera especie Cálculo de integrales impropias de primera especie Criterios de comparación para integrales impropias de primera especie Modelos de comparación para integrales impropias de primera especie Integrales impropias de segunda especie

7 448 ÍNDICE GENERAL Cálculo de integrales impropias de segunda especie Criterios de comparación para integrales impropias de segunda especie Modelos de comparación para integrales impropias de segunda especie Observaciones Integrales paramétricas Integrales eulerianas Función Gamma Función Beta Problemas de integrales impropias APROXIMACIÓN Aproximación polinómica Polinomio de Taylor y McLaurin Fórmulas de Taylor y McLaurin Series de Taylor Aplicaciones de la fórmula y la serie de Taylor Sucesiones y series de funciones Sucesiones de funciones Series de funciones Series de potencias Problemas de aproximación CÁLCULO NUMÉRICO Introducción al cálculo numérico Resolución numérica de ecuaciones Métodos basados en el teorema de Bolzano Método de Newton-Raphson Interpolación polinómica Fórmula de Lagrange Error en la interpolación polinómica Método de splines cúbicos Derivación numérica Fórmulas de derivación numérica Errores en las fórmulas de derivación

8 ÍNDICE GENERAL Métodos numéricos en integración Fórmulas de cuadratura simples Fórmula del trapecio simple Fórmula del punto medio simple Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas de cuadratura compuestas Problemas de cálculo numérico FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Campos escalares Campo escalar en el caso n = Campo escalar en el caso n = Límites de campos escalares Cálculo de límites Continuidad de campos escalares Derivación de campos escalares Derivada según un vector Interpretación geométrica de la derivada direccional Derivadas parciales Relación derivabilidad-continuidad Gradiente de un campo escalar Diferencial de un campo escalar Aplicaciones geométricas del gradiente Interpretación geométrica de la aplicación diferencial Derivadas de orden superior Notaciones Cálculo de extremos relativos Extremos condicionados. Método de los multiplicadores de Lagrange Funciones vectoriales Matriz jacobiana de funciones vectoriales Cambio de variable. Regla de la cadena Derivación de funciones definidas implícitamente Integral doble Definición analítica de la integral doble

9 450 ÍNDICE GENERAL Propiedades de la integral doble Cálculo de la integral doble Aplicaciones geométricas de la integral doble Cálculo de la integral doble en polares Cambio de variable en la integral doble Integral triple Definición analítica de la integral triple Cálculo de la integral triple Aplicación geométrica de la integral triple Cambio de variable en la integral triple Problemas de funciones de varias variables PRÁCTICAS CON wxmaxima Primeros pasos en wxmaxima El menú de wxmaxima Sintaxis en wxmaxima Práctica 1. Iniciación al wxmaxima Operaciones y funciones básicas Representación simbólica y numérica Definición de funciones Cálculo de derivadas Cálculo de integrales Sucesiones Cálculo de límites Simplificación de expresiones Matrices Práctica 2. Representación gráfica de curvas y superficies Práctica 3. Resolución de ecuaciones Resolución de una ecuación paso a paso, aplicando el método de bisección Esquema iterativo para el método de Newton-Raphson Práctica 4. Aproximación de Taylor Práctica 5. Interpolación Práctica 6. Cálculo de varias variables Problemas de prácticas Bibliografía