MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II

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1 MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA II CÁLCULO EN UNA VARIABLE. Tema 1. - Números Reales. Nociones de topología en R Números reales racionales e irracionales. El cuerpo de los números reales Valor absoluto de un número real. Distancia entre dos puntos de R Intervalos en R. Entorno de un punto interior, frontera, exterior, adherencia, acumulación y punto aislado. Conjunto abierto, cerrado, acotado, compacto y denso. Tema 2. - Sucesiones de números reales Sucesiones de números reales. Término general de una sucesión Límite de una sucesión. Unicidad del límite. Casos de indeterminación Sucesiones de Cauchy. Tema 3. - Series de números reales Serie de números reales. Criterio general de convergencia de una serie Estudio directo de algunas series: Serie geométrica y serie armónica Series de términos positivos. Criterios de convergencia Series alternadas. Criterio de convergencia de Leibniz Series absolutamente convergentes y series condicionalmente convergentes Series incondicionalmente convergentes Suma de series Tema 4. - Funciones numéricas de una variable. Límites y continuidad Definición de función. Dominio e imagen de una función. Grafo o gráfica de una función Tipos de funciones. Función creciente y función decreciente en un punto. Función par o impar. Función simétrica respecto de un punto y respecto de una recta. Función periódica Límite de una función en un punto. Límites laterales. Teoremas sobre límites.

2 4.4 - Infinitésimos equivalentes. Indeterminación. Cálculo de límites Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo. Propiedades de las funciones continuas Teorema fundamental de las funciones continuas. Continuidad uniforme Tema 5. - Derivada y diferencial de funciones de una variable Derivada de una función en un punto Relación entre derivabilidad y continuidad Funciones derivadas de las funciones elementales Derivadas sucesivas Diferencial de una función en un punto. Necesidad y suficiencia de la derivabilidad para la diferenciabilidad Diferencial y derivada de una función compuesta. Regla de la cadena Aplicaciones económicas: Elasticidad de una función de demanda con respecto al precio. Tanto instantáneo de mortalidad. Tema 6. - Propiedades y teoremas básicos del cálculo diferencial Extremos absolutos y relativos de una función real de variable real Teorema de Rolle. Aplicación a la búsqueda de raíces de una ecuación Teorema del valor medio del cálculo diferencial o fórmula de los incrementos finitos de Lagrange Regla de L Hopital. Aplicación al cálculo de límites Fórmula de Taylor y de MacLaurin Concavidad, convexidad e inflexión, asíntotas y ramas parabólicas de la función Representación gráfica de funciones Tema 7. - Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones reales de variable real Convergencia puntual y convergencia uniforme Series de potencias. Radio de convergencia. Convergencia uniforme Derivación e integración de una serie entera Desarrollo de las funciones en series de potencias Aplicaciones.

3 CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES. Tema 8. - Nociones de topología en R n Normas definidas sobre el espacio vectorial R n Bola abierta bola cerrada. Entorno de un punto Punto interior, frontera, exterior, de acumulación, adherente y aislado de un conjunto en R n. Conjunto abierto, cerrado, acotado y compacto Tema 9. - Funciones reales de varias variables. Límites y continuidad Funciones escalares y funciones vectoriales Límite en un punto de una función de R n en R m. Caso particular de R n en R. Propiedades Continuidad de funciones de R n en R m. Caso particular de R n en R. Propiedades Tema Derivada y diferencial en campos escalares y campos vectoriales Derivada en un campo escalar según un vector Derivada direccional, derivada parcial y vector gradiente Diferencial en un punto. Interpretación geométrica de la diferencial Relación entre diferenciabilidad y continuidad Derivadas direccionales y derivadas parciales en campos vectoriales Diferencial en un punto de un campo vectorial. Matriz Jacobiana Diferencial de una función compuesta. Regla de la cadena Tema Diferenciales de orden superior Derivadas parciales sucesivas. Diferenciales de orden superior Permutabilidad del orden de las derivadas. Teorema de Schwartz. Matriz Hessiana Aproximación polinómica de una función escalar. Fórmula de Taylor

4 Tema Funciones implícitas Función implícita definida por una ecuación o por un sistema de ecuaciones Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita Cálculo de las derivadas parciales de una función definida implícitamente por una ecuación o por un sistema de ecuaciones. Tema Funciones homogéneas Funciones homogéneas. Grado de homogeneidad Derivación de las funciones homogéneas Teorema de Euler Aplicación: La función de producción Cobb-Douglas. Rendimientos de escala..

5 BIBLIOGRAFÍA - CABALLERO, R. Y OTROS (1993) " Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa." - FERNÁNDEZ VIÑAS, J.A. Y SÁNCHEZ MAÑES, E. (1979) " Ejercicios y complementos de análisis matemático." Ed. Tecnos. - GARCIA, A. LÓPEZ, A. Y OTROS (1996). "Cálculo I y II". Ed. CIAGSA. - JARNE, G. Y PEREZ-GRASA, J. (1997) " Matemáticas para la Economía. " Ed. Mc Graw Hill. - SALAS, SL. Y HILLE, E. (1976) "Cálculo de una y varias variables." Ed. Reverté. - SYDSATER, K Y HAMMOND (1996) " Matemáticas para el análisis económico." Ed. Prentice Hall.

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