Sumario Prólogo Unidad didáctica 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad Objetivos de la Unidad...

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1 ÍNDICE SISTEMÁTICO PÁGINA Sumario... 5 Prólogo... 7 Unidad didáctica 1. Funciones reales de una variable real. Límites y continuidad... 9 Objetivos de la Unidad Topología de la recta real Intervalos Entornos Conjuntos acotados Funciones reales de una variable real Definiciones Crecimiento y decrecimiento Acotación y extremos Operaciones con funciones Operaciones algebraicas

2 ANÁLISIS MATEMÁTICO Composición de funciones Función inversa Funciones elementales Límites de funciones Definiciones Límite de una función en un punto Límites laterales Límites infinitos Límites en el infinito Propiedades algebraicas de los límites Cálculo de límites Cálculo elemental de límites Dos reglas para el cálculo de límites Un límite muy importante Infinitésimos e infinitos Infinitésimos Infinitésimos equivalentes Infinitos Asíntotas Continuidad Definiciones Continuidad de una función en un punto Tipos de discontinuidad Continuidad lateral Propiedades de la continuidad Propiedades Teorema del signo de una función continua Teorema de Bolzano Aplicación del teorema de Bolzano al cálculo aproximado de raíces de una ecuación Teorema de los valores intermedios de Darboux Teorema del máximo-mínimo de Weierstrass Anexo. Anotaciones elementales sobre complejos

3 Índice sistemático Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 2. Derivación de funciones de una variable real Objetivos de la Unidad La derivada Derivada de una función en un punto Definición Interpretación geométrica de la derivada Derivada y continuidad Derivadas laterales Derivada de funciones definidas a trozos Función derivada Definición Derivadas sucesivas Derivadas de operaciones con funciones Cálculo de derivadas Cálculo elemental de derivadas Derivación implícita Derivación logarítmica Fórmula de Leibniz Aplicaciones de la derivada. La diferencial Aplicación geométrica de la derivada Aplicación física de la derivada Aproximación de una función. La diferencial Aproximación de una función La diferencial El método de Newton-Raphson para el cálculo de raíces Propiedades locales. Representación gráfica de funciones Crecimiento y extremos Criterio de la derivada primera para crecimiento y extremos relativos

4 ANÁLISIS MATEMÁTICO Criterio de la derivada segunda para extremos relativos Intervalos de crecimiento Extremos absolutos Concavidad Concavidad y puntos de inflexión Criterio de la derivada segunda para concavidad y puntos de inflexión Criterio de la derivada tercera para puntos de inflexión Intervalos de concavidad Representación gráfica de funciones Problemas de optimización Teoremas de valor medio. Regla de L'Hôpital. Polinomios de Taylor Teoremas de valor medio Teorema de Rolle Teorema de Cauchy Teorema de valor medio Propiedades Regla de L'Hôpital Teorema Cálculo de límites Polinomios de Taylor Aproximación de funciones por polinomios Polinomio de Taylor Fórmula de Taylor Polinomio de McLaurin Fórmula de McLaurin Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 3. Integración de funciones de una variable real Objetivos de la Unidad

5 Índice sistemático 1. La integral de Riemann Definición de la integral de Riemann Particiones de un intervalo Sumas de Riemann Integrabilidad de Riemann Criterio de integrabilidad Riemann. Funciones integrables Propiedades de la integral Interpretación geométrica de la integral Teorema fundamental del cálculo Teorema Corolario Primitiva o antiderivada Regla de Barrow Teorema de valor medio Teorema de valor medio integral Valor medio de una función Cálculo de primitivas Primitivas inmediatas Métodos elementales de integración Integración por cambio de variable Integración por partes Integrales de funciones racionales Integrales de algunas funciones trigonométricas Integrales de algunas funciones irracionales Integrales impropias Definiciones Integral impropia de primera especie Integral impropia de segunda especie Integral impropia general Comparación de integrales Criterio de comparación Aplicaciones de la integral Áreas planas

6 ANÁLISIS MATEMÁTICO 4.2. Volúmenes y áreas de revolución Longitudes de curvas Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 4. Curvas y superficies Objetivos de la Unidad Cónicas La circunferencia La elipse Ecuaciones de la elipse Las leyes de Kepler Tangente a la elipse Propiedad de reflexión La hipérbola La parábola Ecuación reducida de la parábola Ecuaciones de otras parábolas con directrices paralelas a los ejes coordenados Ecuación general de la parábola a partir del vértice y un punto Propiedades de la parábola Curvas paramétricas Curvas en forma paramétrica Definiciones Observación Algunas parametrizaciones de curvas Curva contraria Curvas suaves Definiciones Curvas suaves planas

7 Índice sistemático 3. Curvas en coordenadas polares Coordenadas polares Definición y propiedades Ecuación polar de una curva Propiedades de tangencia Superficies El espacio R Sistema de referencia cartesiano Superficies Representación gráfica de superficies Planos, esferas y cilindros Planos Esferas Cilindros Superficies cuádricas Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 5. Sucesiones y series Objetivos de la Unidad Sucesiones numéricas Definiciones y propiedades Sucesión de números reales Límite de una sucesión Carácter de una sucesión Tipos de sucesiones

8 ANÁLISIS MATEMÁTICO Propiedades Subsucesiones y propiedades Cálculo de límites de sucesiones Límites de operaciones con sucesiones Límites de sucesiones como límites de funciones Sucesiones equivalentes Infinitos. Jerarquía de infinitos Dos reglas para el cálculo de límites Criterio de Stolz Sucesiones recurrentes Series numéricas Definiciones y propiedades Serie de números reales Carácter de una serie Propiedades Condición necesaria de convergencia Series sumables Serie telescópica Serie geométrica Serie aritmético-geométrica Criterios de convergencia Criterio de comparación con la integral Serie armónica generalizada Criterio de comparación de Gauss Criterio de comparación en el límite Criterio de la raíz Criterio del cociente Criterio de Raabe Series alternadas Definición Criterio de convergencia de series alternadas Suma aproximada de series alternadas Sucesiones de funciones Definición Convergencia puntual

9 Índice sistemático 3.3. Convergencia uniforme Continuidad, acotación e integración de la función límite Series de funciones Definición Convergencia puntual y uniforme Definición Continuidad, acotación e integración de la función límite Criterio mayorante de Weierstrass para la convergencia uniforme Series de potencias Definición y convergencia Definición Radio de convergencia Convergencia de la serie de potencias Campo de convergencia Derivación e integración de series de potencias Desarrollos en serie de potencias Serie de Taylor Series de potencias de algunas funciones elementales Series de Fourier Definición de la serie de Fourier clásica Las series trigonométricas en modo complejo Ejemplo Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 6. Funciones de varias variables reales Objetivos de la Unidad Conceptos básicos Nociones básicas de la topología de R n Funciones reales de varias variables reales

10 ANÁLISIS MATEMÁTICO 2. Límites y continuidad Límites de funciones de dos variables Límite de una función de dos variables en un punto Propiedades Límites iterados y direccionales Cálculo de límites en coordenadas polares Límites de funciones de más de dos variables Continuidad Continuidad de una función en un punto Tipos de discontinuidad Propiedades Teorema de los extremos de Weierstrass Derivación Derivadas parciales Derivadas parciales de una función de dos variables Interpretación geométrica y física Derivadas parciales y continuidad Derivadas parciales de funciones de más de dos variables Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Diferenciación Incrementos y diferenciales Diferencial de una función en un punto Condición necesaria y condición suficiente de diferenciabilidad La diferencial como aproximación Observación La regla de la cadena. Derivación implícita Regla de la cadena Derivación implícita Derivada direccional y gradiente Derivada direccional de una función de dos variables Gradiente de una función de dos variables Propiedades Derivada direccional y gradiente de una función de tres variables

11 Índice sistemático 3.5. Aplicaciones geométricas Recta normal y plano tangente a una superficie Recta tangente a una curva dada como intersección de dos superficies Extremos Extremos relativos y absolutos Extremos relativos Puntos críticos Condición necesaria para extremos relativos Criterio para la determinación de extremos Extremos absolutos Problemas de optimización Multiplicadores de Lagrange Extremos condicionados El método de los multiplicadores de Lagrange Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 7. Integración de funciones de varias variables reales Objetivos de la Unidad Integrales dobles Integral doble de Riemann sobre rectángulos Definición Funciones integrables Teorema de Fubini Integrales dobles sobre otros recintos acotados Definición Integral doble sobre recintos proyectables Cambio de variable a coordenadas polares Aplicaciones Volúmenes Áreas planas

12 ANÁLISIS MATEMÁTICO Masas y centros de gravedad Áreas de superficies proyectables Integrales triples Integral triple de Riemann sobre rectángulos Definición Funciones integrables Teorema de Fubini Integrales triples sobre otros recintos acotados Recintos proyectables Recintos seccionables Cambio de variable a coordenadas esféricas Integrales múltiples impropias Integrales de línea Integral de línea de funciones reales Definición de camino Definición de integral de línea de funciones reales Observaciones Aplicaciones Integrales de línea Integrales de línea de campos vectoriales Definición Notación Propiedades Interpretación física Independencia del camino Definición Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea Consecuencias Función potencial Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea Teorema de caracterización

13 Índice sistemático Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de función potencial Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de función potencial en el plano El teorema de Green-Riemann Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 8. Análisis vectorial Objetivos de la Unidad Introducción Gradiente Definición Derivada direccional Definición Divergencia y rotacional Definición de rotacional Definición de divergencia Teorema Teorema Diferencia entre divergencia y gradiente Tabla de identidades comunes en el análisis vectorial Integral de trayectoria Definición Integral de línea Definición Teoremas del análisis vectorial Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema de Gauss

14 ANÁLISIS MATEMÁTICO Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 9. Ecuaciones diferenciales ordinarias I Objetivos de la Unidad Introducción Significado de las derivadas en las ecuaciones diferenciales Tipos de ecuaciones diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales Orden de una ecuación diferencial Modelización de problemas Modelización de un problema: la caída del paracaidista Caso práctico: la apocalipsis zombi Otros casos similares Comprobación de resultados Métodos elementales de resolución Ecuaciones diferenciales separables Ecuaciones diferenciales homogéneas Otro tipo de ecuación resoluble por cambio de variable El paracaidista Ecuaciones exactas Factores integrantes Ecuaciones lineales de primer orden Solución de una ecuación lineal Ecuaciones reducibles a lineales Ecuación de Bernoulli Ecuaciones de Riccati Dibujo aproximado de soluciones

15 Índice sistemático 9. Existencia y unicidad, prolongabilidad y estabilidad Existencia, unicidad y prolongabilidad Estabilidad Ecuaciones autónomas Definición y propiedades Ejemplos Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 10. Ecuaciones diferenciales ordinarias II Objetivos de la Unidad Introducción Ecuaciones lineales de segundo orden Superposición lineal Problema de valores iniciales Obtención de una solución particular si se conoce ya otra Ecuaciones lineales de segundo orden de coeficientes constantes Caso a) cuando se obtienen dos raíces reales Caso b) cuando se obtiene una raíz doble Caso c) cuando se obtienen dos raíces complejas conjugadas Oscilador armónico Problemas de contorno Ecuación lineal no homogénea Método de variación de las constantes Oscilador armónico amortiguado forzado Oscilador sin amortiguamiento Oscilador amortiguado Circuitos eléctricos Circuito RL Circuito RC Circuito RCL Ecuaciones lineales de coeficientes constantes de orden arbitrario

16 ANÁLISIS MATEMÁTICO 5. Ecuaciones lineales de coeficientes no constantes Ecuación de Euler-Cauchy Existencia y unicidad Transformada de Laplace Definición y propiedades Resolución de ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace El problema de cómo calcular la antitransformada Caso lineal no homogéneo de segundo orden Algunos casos prácticos Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas Unidad didáctica 11. Sistemas de ecuaciones diferenciales Objetivos de la Unidad Introducción Preámbulo de álgebra Autovalores y autovectores Diagonalización Sistemas de ecuaciones de primer orden Resolución de sistemas mediante variación de constantes Resolución de sistemas mediante Laplace Sistemas de ecuaciones autónomas Mapas de fases Clasificación de puntos críticos Sistemas no lineales Metodología Ecuaciones autónomas de segundo orden Ecuaciones y sistemas exactos Conceptos básicos a retener Actividades de autocomprobación Referencias bibliográficas

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