Análisis Matemático 1 para estudiantes de Ingeniería

Transcripción

1 Alejandro E. García Venturini - Mónica Scardigli Análisis Matemático 1 para estudiantes de Ingeniería EDICIONES COOPERATIVAS

2 , INDICE 505 NOCIONES PREVIAS... 7 Los conjuntos numéricos... 9 Conjuntos de números reales, intervalos... 9 Cotas Valor absoluto- módulo Ejercicios generales resueltos Elementos de la Teoría de Conjunto de puntos Ejercicios propuestos Respuestas FUNCIONES Funciones escalares o reales de variable real Dominio de una función escalar Conjunto imagen Ceros o raíces de una función Intersección con el eje y Conjunto de positividad y negatividad Clasificación de las funciones Función inversa Paridad Función compuesta Análisis y representación gráfica de las funciones más importantes.. 42 Funciones polinómicas Función lineal Función cuadrática Función cúbica Función raíz cuadrada Función homográfica Función logaritmo Función exponencial Generalización del desplazamiento de la gráfica de una función... 64

3 506 Aplicaciones de la función exponencial La Curva logística Funciones racionales Funciones trigonométricas Funciones hiperbólicas Funciones especiales Función módulo o valor absoluto Función signo Función parte entera Función mantisa Funciones por ramas Otras curvas - La circunferencia y la elipse Curvas definidas en forma paramétrica Ejercicios propuestos Respuestas LIMITE Concepto Defmiciones Interpretación geométrica... 1 O 1 Propiedades de los límites Infinitésimos Relación fundamental del límite Álgebra de límites Generalización del concepto de límite Límite infmito en un punto O Límite en infinito o de variable infinita Operaciones con infinito Límites laterales Indeterminaciones Cociente de infinitésimos Cociente de infinitos Suma de infinitos de distinto signo El número e (1 ~) Comparación de infinitésimos Comparación de infinitos Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos

4 Respuestas Asíntotas Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas CONTINUIDAD Continuidad en un punto Funciones discontinuas. Clasificación Algebra de funciones continuas Continuidad de la función compuesta Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado Teorema de Bolzano Teorema del valor intermedio Teoremas de Weierstrass Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas DERIVADAS Concepto Defmición Función derivada Interpretación geométrica de la derivada Relación entre la derivabilidad y la continuidad Cálculo de funciones derivadas Derivada de la función constantef(x) = k Derivada de la función identidad: y = x Derivada de y =kf(x) Derivada de la función y = x Derivada de la suma de dos funciones Derivada del producto de dos funciones Derivada de la función seno Derivada de la función logaritmo natural

5 508 Derivada de la función compuesta Método de la derivada logarítmica Derivada del producto Derivada del cociente Derivada de la función potencial Derivada de la función exponencial Derivada de las funciones hiperbólicas Derivada de la función inversa Derivada de las funciones circulares inversas Derivada de las funciones hiperbólicas inversas Análisis de la paridad de la función derivada Derivadas laterales Clasificación de los puntos a partir de las derivadas laterales Derivada infinita - Derivadas laterales infinitas Derivadas sucesivas Análisis de la paridad de la función derivada Recta tangente y recta normal a una curva en un punto Ángulo entre dos curvas Derivada de la función implícita Derivadas sucesivas en forma implícita Tabla de derivadas Tasa o razón de cambio de una función Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas DIFERENCIAL Diferencial de una función en un punto Función diferencial Relación entre el incremento y el diferencial Condición para que una función sea diferenciable Interpretación geométrica Algebra de diferenciales Aproximación lineal utilizando diferenciales Cálculo de errores aplicando diferenciales

6 La derivada logarítmica y el cálculo del error relativo y el error porcentual Derivada de una función en forma paramétrica Derivadas sucesivas Diferenciales sucesivos Otra forma de calcular derivadas de funciones implícitas Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas ANALISIS DE FUNCIONES Funciones crecientes y decrecientes Criterio de la derivada 1 o Crecimiento en un intervalo Función monótona Extremos absolutos Extremos relativos o locales Cálculo de extremos relativos Puntos críticos Concavidad de una función Punto de inflexión Análisis completo de una función Ejercicios generales de aplicación resueltos Ejercicios propuestos Respuestas TEOREMAS DE FUNCIONES DERIVABLES. 263 Teorema de Rolle Ejercicios de aplicación resueltos...,. 267 Teorema del valor medio o de Lagrange Ejercicios de aplicación resueltos Teorema de Cauchy Ejercicios de aplicación resueltos Teorema de L'Hopital

7 510 Generalización del Teorema de L'Hopital Aplicación de la regla de L'Hopital para otras indeterminaciones Casos en que no se puede aplicar el Teorema de L'Hopital Más ejemplos de límites resueltos Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas FÓRMULA DE TAYLOR Y MAC LAURIN Polinomio de Taylor Término complementario Fórmula de Taylor Fórmula de Mac Laurin Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas INTEGRAL INDEFINIDA Concepto Definición Integrales inmediatas Tabla de integrales Métodos de integración Método de sustitución Algunas sustituciones especiales Método de integración por partes Método de integración por descomposición en fracciones simples Integrales trigonométricas Integrales irracionales Combinando métodos Ecuaciones diferenciales Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales Ejercicios generales resueltos Ejercicios propuestos Respuestas

8 INTEGRAL DEFINIDA Concepto Propiedades de la integral definida Teorema del valor medio del cálculo integral Función integral Teorema fundamental del cálculo integral Regla de Barrow Área entre dos curvas Integral definida en coordenadas paramétricas Ejercicios generales de aplicación resueltos Otras aplicaciones de la integral definida Longitud de arco Longitud de arco en forma paramétrica Sólido de revolución Volumen Volumen en forma paramétrica Área Área en forma paramétrica Centro de gravedad o baricentro de una figura plana Ejercicios propuestos O Respuestas Integrales impropias Integral impropia de 1 especie Integral impropia de 2 especie Integral impropia de 3 especie Criterio de comparación Algunas integrales impropias famosas La función Gamma..., Curva de distribución normal Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Respuestas

9 512 SUCESIONES Y SERIES Sucesiones Definición Representación gráfica Igualdad Sucesiones acotadas Límite finito de una sucesión Sucesión convergente Propiedades de las sucesiones convergentes Álgebra de las sucesiones convergentes Límite infinito de una sucesión Sucesión divergente Subsucesiones Sucesión oscilante Sucesión creciente Sucesión decreciente Sucesiones monótonas Teorema fundamental Teoremas de Weierstrass Criterio de D' Alambert Algunos límites importantes El número e Comparación de sucesiones Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Respuestas Series Series numéricas Clasificación Series geométricas Serie telescópica Propiedades de las series convergentes Condición necesaria de convergencia de una serie Serie de términos positivos Criterio de comparación de Gauss

10 Criterio de comparación en el límite Criterio de D'Alambert Criterio de Raabe Criterio de la raíz de Cauchy Criterio de la integral de Cauchy Series alternadas Criterio de Leibniz Convergencia absoluta y condicional Ejercicios resueltos Serie de potencias Teorema de Abel Cálculo del radio de convergencia Serie de Taylor y Mac Laurin Otras formas de obtener desarrollos en serie Sustitución Teorema de derivación Teorema de integración Otras aplicaciones Acotación de integrales definidas Cálculo de límites El problema de Basilea Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Respuestas BIBLIOGRAFÍA ÍNDICE