UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA CÁLCULO II SEMESTRE 1/2015 INFORMACIÓN GENERAL

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA CÁLCULO II SEMESTRE 1/2015 INFORMACIÓN GENERAL I. INFORMACIÓN CURRICULAR Código: 0252 Unidades: 5 Horas semanales: 6 Requisitos: 0251 Cálculo I II. REQUISITOS ACADÉMICOS El estudiante deberá tener habilidades en los siguientes aspectos: Manejo y reconocimiento de ecuaciones de las secciones cónicas Cálculo de límites de una variable Cálculo diferencial de funciones de una variable III. PROPÓSITO, LOGROS Y ADQUISICIONES Al finalizar el estudio de esta asignatura el estudiante estará en condiciones de: Determinar el método que se debe aplicar a una integral indefinida y resolverla Interpretar el área bajo una curva como una suma infinita de áreas de rectángulos Interpretar la integral como el área encerrada entre las gráficas de funciones Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo para resolver integrales definidas Calcular integrales definidas mediante los métodos de sustitución e integración por partes Calcular integrales impropias Aplicar el Cálculo Integral a problemas de cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies, momentos, centro de gravedad y trabajo mecánico Determinar la convergencia de series geométricas, telescópicas y armónicas Aplicar criterios de convergencia al estudio de comportamiento de series numéricas Calcular el radio y el intervalo de convergencia de una serie de potencias Aplicar el desarrollo de Taylor para la resolución de problemas tales como solución aproximada de integrales definidas, cálculo de límites, entre otros IV. PROGRAMA SINÓPTICO Integral indefinida o antiderivada. Integral definida. Integrales impropias. Aplicaciones de la integral definida. Series numéricas. Series de potencias. 1

2 V. PROGRAMA DETALLADO 1. INTEGRAL INDEFINIDA O ANTIDERIVADA 1.1. Primitiva de una función 1.2. Integrales inmediatas. Tabla de integrales 1.3. Propiedades de la integral indefinida 1.4. Métodos de integración Cambio de variable o sustitución Por partes Sustituciones trigonométricas Integrales con trinomios de segundo grado Integración de funciones racionales por descomposición de fracciones parciales elementales Integración de potencias de funciones trigonométricas Cambio universal. Fórmulas de reducción Integración de funciones irracionales 2. INTEGRAL DEFINIDA 2.1. Introducción. Partición de un intervalo. Notación de sumatoria Propiedades de las sumatorias 2.2. Notación de suma infinita. Propiedades 2.3. Área bajo una curva. Sumas superiores e inferiores 2.4. Integral definida: concepto y propiedades 2.5. Teorema del valor medio del cálculo integral Teorema fundamental del cálculo integral 2.6. Cálculo de integrales definidas 2.7. Teorema de sustitución e integración por partes en una integral definida 3. INTEGRALES IMPROPIAS 3.1. Concepto y clasificación. Notación 3.2. Ejemplos de integrales impropias 3.3. Concepto de convergencia y divergencia de integrales impropias 3.4. Criterios de convergencia 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 4.1. Área entre dos curvas 4.2. Volumen de un sólido Método de las secciones paralelas Método de los discos Método de las capas cilíndricas 4.3. Longitud de una curva dada en forma explícita y paramétrica 4.4. Área de una superficie de revolución 4.5. Momento y centro de masa de una región plana y de una curva 4.6. Teoremas de Pappus 2

3 5. SERIES NUMÉRICAS 5.1. Sucesiones. Convergencia y divergencia de sucesiones 5.2. Definición de serie numérica 5.3. Suma parcial n-ésima 5.4. Convergencia y divergencia de series 5.5. Ejemplos de series: geométricas, telescópicas y armónicas 5.6. Criterios de convergencia 5.7. Series alternas. Criterios de convergencia 5.8. Convergencia absoluta y condicional 5.9. Estimación del resto de una serie 6. SERIES DE POTENCIAS 6.1. Definiciones. Notación 6.2. Convergencia. Radio e intervalo de convergencia 6.3. Derivación e integración de series de potencias 6.4. Desarrollos en serie de Taylor y MacLaurin VI. EVALUACIÓN Exámenes parciales. Se realizarán tres (3) exámenes parciales teórico-prácticos, en las semanas indicadas en el cronograma estimado de actividades, donde en el primer parcial se evalúan los temas 1 y 2, en el segundo parcial se evalúan los temas 3 y 4 y en el tercer parcial se evalúan los temas 5 y 6. Estos exámenes son diseñados en conjunto por todos los profesores de la Cátedra. La calificación definitiva de cada estudiante es el promedio de las calificaciones obtenidas en los tres exámenes parciales. La inasistencia a por lo menos (2) parciales traerá como consecuencia la pérdida de la asignatura y se obtendrá una calificación definitiva de N.A. (No Asistió). Examen de recuperación. El estudiante podrá presentar un solo examen de recuperación, correspondiente al parcial con menor calificación obtenida (en caso de inasistencia a un parcial se debe presentar la recuperación respectiva). La calificación obtenida en el examen de recuperación sustituirá a la del parcial correspondiente. Estos exámenes son diseñados en conjunto por todos los profesores de la Cátedra. Su fecha de aplicación corresponderá a la semana 17 del semestre. Examen de reparación. Solo tendrán derecho a presentar el examen de reparación los estudiantes que hayan asistido a por lo menos dos (2) exámenes parciales. Será elaborado por todos los profesores de la Cátedra. Su fecha de aplicación es asignada por la oficina de Control de Estudios. Para cada uno de estos exámenes el profesor de la sección publicará las notas y fijará fecha, hora y lugar en la cual los estudiantes pueden acudir para revisar sus pruebas y determinar los errores cometidos. La asistencia a clases es de carácter obligatorio. El estudiante que tenga al menos 25% de inasistencias obtendrá una calificación definitiva de N.A. 3

4 VII. INFORMACIÓN ADICIONAL Toda información que el estudiante deba conocer y que no se encuentre en este instructivo, será hecha de su conocimiento: A través de su profesor en el aula de clases En En los exámenes no se permitirá el uso de calculadoras, ni de tablas. Para presentar cualquier examen el estudiante debe identificarse con su cédula laminada y el carnet universitario. VIII.BIBLIOGRAFÍA 1. Bradley, Gerald y Smith, Karl. Cálculo de una variable. Volumen I. Prentice Hall Demidóvich, B. P problemas de análisis matemático. 9na edición. Editorial Thomson Edwards, J. y Penney, David. Cálculo con Trascendentes Tempranas. Séptima edición. Prentice Hall Guerreiro, Carlos y Ríos, Alejandro. Cálculo II. Facultad de Ingeniería. UCV Leithold, Louis. El Cálculo. 7ma edición. Oxford University Press Purcell, Edwin; Varberg, Dale y Rigdon, Steven. Cálculo. Novena edición. Prentice Hall Quintero, José Luis. Cálculo de Integrales. Facultad de Ingeniería. UCV Salas, Hille y Etgen. Calculus. Volumen I. Cuarta edición. Editorial Reverté Stewart, James. Cálculo. Conceptos y contextos. 3era edición. Thomson Thomas, George y Finney, Ross. Cálculo una variable. 9na edición. Addison Wesley Longman IX.COORDINACIÓN. Prof. José Luis Quintero 4

5 X. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES MARZO Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades TEMA 1. INTEGRAL INDEFINIDA O ANTIDERIVADA. Primitiva de una función. Integral indefinida. Cálculo de primitivas. Fórmulas de integración inmediata. Deducción de algunas fórmulas de integración. Propiedades de la integral indefinida. Métodos de integración. Uso de manipulaciones algebraicas. Deducción de algunas fórmulas de integración de interés. y problemas variados. Cambio de variable o sustitución. Fundamentos teóricos del método. Deducción de algunas fórmulas de integración de interés. Aplicación de varios cambios de variable. variados. Integración por partes. Fundamentos teóricos del método. Aplicación repetida del método. Integración cíclica. Fórmulas de recurrencia aplicando integración por partes. variados. Sustituciones trigonométricas. Fundamentos teóricos del método. Deducción de algunas fórmulas de integración. Integrales que contienen términos cuadráticos. variados. Descomposición en fracciones simples. Fundamentos teóricos del método. Funciones racionales propias. Tres casos. Combinaciones. Funciones racionales impropias. variados. Integrandos trigonométricos. Potencias de seno y coseno. Potencias de la tangente y cotangente. Potencias de la secante y cosecante. Empleo de técnicas y de fórmulas de recurrencia. Ejercicios y problemas varios. Productos de senos y cosenos de igual argumento. Productos de senos y cosenos de argumentos diferentes. Producto de potencias de tangente y secante. Empleo de técnicas y fórmulas de recurrencia. Integrandos racionales en senos y cosenos. Nombre alternativo: cambio universal. Deducción de cambios de variables en sus dos versiones. Integrandos irracionales. Ejercicios variados. Integrandos no elementales SEMANA SANTA ABRIL TEMA 2. INTEGRAL DEFINIDA. Sumatorias. Sumas de Riemann. Integral definida. Ejercicios donde se resuelvan integrales definidas usando la definición. Concepto de área asociado a la integral definida. Ejercicios. Propiedades de la integral definida. Cálculo de límites a través de una integral definida. Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo integral. Ejercicios variados. Ejercicios variados usando los teoremas. Valor absoluto y cálculo de área. Cambio de variable e integración por partes en una integral definida. y problemas variados. Resolución de integrales definidas usando varias de sus propiedades. Teorema del valor medio para integrales definidas. Ejercicios y problemas ilustrativos de aplicación del teorema. 5

6 ABRIL Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades TEMA 3. INTEGRALES IMPROPIAS. Integrales impropias. Concepto y clasificación. Notación. Resolución de ejemplos variados donde se muestren los diferentes casos y sus combinaciones. CLASE DE REPASO PRIMER PARCIAL MAYO Criterios de convergencia para integrales impropias. Comparación simple y comparación por paso al límite. Ejercicios ilustrativos donde se muestre la aplicación de los criterios. TEMA 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. Área entre dos curvas. Construcción del integrando. Ejemplos donde se usa la variable x o la variable y como variable de integración. Ejercicios variados. Volumen de un sólido. Método de las secciones paralelas o de áreas de secciones conocidas. Construcción del integrando. Resolución de ejercicios variados donde se muestre la aplicación del método. Volumen de un sólido de revolución. Método de los discos o de las arandelas. Construcción del integrando. Relación del diferencial y el eje de giro. Ejercicios variados donde se muestre la aplicación del método. Volumen de un sólido de revolución. Método de las capas cilíndricas o de los tubos. Construcción del integrando. Relación del diferencial y el eje de giro. Ejercicios variados donde se muestre la aplicación del método. Longitud de una curva dada en forma explícita o en forma paramétrica. Construcción del integrando. Aparición en algunos casos de integrales impropias. variados. Área de una superficie de revolución donde la curva a girar es dada en forma explícita o en forma paramétrica. Construcción del integrando. Aparición en algunos casos de integrales impropias. Ejercicios variados. Cálculo de masa, momentos y centro de masa de una región plana. Definiciones físicas. Explicación intuitiva y geométrica de la construcción de las integrales. Teorema de Pappus para el cálculo de volumen de un sólido de revolución. Teorema de Pappus para el cálculo del área de una superficie de revolución. Ejercicios variados. TEMA 5. SERIES NUMÉRICAS. Sucesiones. Definición. Sucesión creciente y decreciente. Límite de una sucesión. Sucesión acotada. Convergencia y divergencia de una sucesión. Función real asociada. Serie numérica. Definición. Suma parcial n-ésima. Convergencia y divergencia de una serie. Ejemplo de series: serie geométrica. Convergencia de una serie geométrica. Suma de una serie geométrica. CLASE DE REPASO SEGUNDO PARCIAL 6

7 Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades Serie telescópica. Convergencia de una serie telescópica. Suma de una serie telescópica. Serie p. Convergencia de una serie p. Condición necesaria para la convergencia. Criterio de la integral. Estimación del residuo y de la suma con el criterio de la integral. Criterio de comparación simple. Criterio de comparación por paso al límite. Ejercicios variados. Convergencia absoluta y convergencia condicional. Serie alterna. Criterio de convergencia para una serie alterna. Acotación del residuo y de la suma de una serie alterna. Ejercicios variados sobre la aplicación de criterios de convergencia JUNIO Criterio de la razón y criterio de la raíz n-ésima. Ejercicios variados donde se apliquen los diversos criterios de convergencia estudiados en el presente tema. TEMA 6. SERIES DE POTENCIAS. Serie de potencia. Convergencia de una serie de potencias. Radio e intervalo de convergencia. Aplicación de los criterios de convergencia estudiados en el tema anterior. Polinomios de Taylor. Serie de Taylor. Serie de MacLaurin. Intervalo de convergencia. Construcción de la serie de Taylor para algunas funciones elementales. Derivación e integración de series de potencias. Suma de series de potencias. Cambio de variable en una serie de potencia. Ejercicios variados. Aplicaciones de las series de Taylor: Cálculo aproximado de valores de derivadas o de integrales definidas. donde se visualicen estas aplicaciones Cálculo de límites indeterminados y cálculo de la suma de una serie CLASE DE REPASO TERCER PARCIAL JULIO RECUPERACIÓN 7