UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES CALCULO II. Autores: Sara Arancibia C Viviana Schiappacasse C. Universidad Diego Portales CALCULO II

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Autores: Sara Arancibia C Viviana Schiappacasse C

2 PROGRAMA OBJETIVOS Comprender y aplicar los conceptos fundamentales del Cálculo Integral y Series Usar el Cálculo Integral y Series como herramienta en la resolución de problemas aplicados a Ingeniería, Economía, Optimización y otras áreas. Implementar tecnología Educativa

3 Qué objetivos tiene el uso de la tecnología educativa? Internalizar la conducta de comprobar y confrontar resultados del software o la calculadora gráfica con los obtenidos por vía manual Usar el Software o la calculadora gráfica y su poder de programación como un instrumento intelectual y profesional Fomentar la actividad de traducción de un problema de tipo algebraico a uno de tipo gráfico o numérico y viceversa, con el objeto de hallar soluciones diferentes a un mismo problema Desarrollar una actitud crítica hacia los resultados que se obtienen de la calculadora y/o Software y reafirmar el papel fundamental del hombre como elemento racional frente a la automatización de la máquina. 3

4 CONTENIDOS Integral indefinida Integral Definida Ecuaciones Diferenciales Aplicaciones de la Integral Definida Integrales Impropias Sucesiones y Series EVALUACION Se contemplan controles parciales, trabajos de laboratorio, informes y dos pruebas solemnes, que en conjunto valen un 70% de la nota final, y un eamen que vale un 30%. 4

5 BIBLIOGRAFIA Teto guía Apunte de Cálculo, autores: Sara Arancibia y Viviana Schiappacasse Cálculo. Stewart James. Editorial Thomson Teto guia complementario Cálculo con Geometría Análitica, Edwards& Penney. Editorial Prentice Hall Teto complementario Cálculo para administración, Economía y Ciencias Sociales, Hoffmann & Bradley. Mc-Graw Hill Guías laboratorios de Calculadora ClassPad 300 para Cálculo 5

6 Introducción 6

7 Qué problema motiva el concepto de integral? El cálculo integral se basa en el concepto de la integral. La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje en un intervalo cerrado [a,b]. El área R de la región de la figura esta dada por la integral de f de a a b, denotada por el símbolo b a f ( ) 7

8 Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original: problemas que implican movimiento, velocidad, crecimiento de poblaciones, volumen, longitud de arco, área de una superficie y centro de gravedad, entre otros. El teorema fundamental del cálculo proporciona una coneión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(), necesitamos determinar una nueva función F() cuya derivada sea f(): F '( ) f ( ) 8

9 Integral Indefinida 9

10 Antiderivadas o primitivas y problemas con condiciones iniciales El lenguaje del cambio es el lenguaje natural para establecer las leyes y principios científicos. Por ejemplo la ley de enfriamiento de Newton dice que la razón de cambio de la temperatura T de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre T y la temperatura del medio ambiente. Es decir, dt k( T A) dt Donde k es una constante positiva y A, que normalmente se considera constante, es la temperatura ambiente. 0

11 La ley de Torricelli dice que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua dv dt k h Los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones con derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. El tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma dy d f ()

12 Donde f es una función dada (conocida) y la función y() es desconocida. El proceso de determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y() cuya derivada sea f() y `( ) f ( ) Entonces decimos que y() es una primitiva ( o antiderivada ) de f() Definición: Antiderivada o primitiva Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal quef `( ) f ( ) siempre y cuando f() esté definida.

13 Algunas antiderivadas de f()3 3

14 Una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función sólo puede tener una derivada Si F() es una primitiva de f(), también lo es F()C para cualquier elección de la constante C Teorema: La primitiva más general Si F`()f() en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f en I tiene la forma G()F()C donde C es una constante 4

15 La colección de todas las primitivas de la función f() es conocida como la integral indefinida de f con respecto a y se denota f ( ) d Con base en el teorema, escribimos Por tanto f ( ) d F( ) C f ( ) d F( ) C si y sólo si F`() f() 5

16 Ejemplo: 4 3 d C cos d sen C 4 Recuerde que la operación de derivación es lineal, lo que significa D D [ cf( ) ] cf`( ) [ F( ) G( ) ] F`( ) G`( ) donde c es una constante En la notación de antiderivación, esto implica que cf ( ) d c f ( ) d [ f() g() ] d f()d - - g()d 6

17 Ejercicio: Determine ( sen(4t) cos(t) ) dt 3 ( 4 5 ) d Ejercicio: Verifique los siguientes resultados cos kd sen k C k sen kd cos k C k sec kd tank C k csc kd cot k C k 7

18 Métodos de integración Cómo reconocer cuál técnica emplear para integrar? No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración Tabla de fórmulas de integración e n d d n n e C sen d -cos C C ( n - ) d ln C a a d C ln a cos d sen C 8

19 9 Tabla de fórmulas de integración C a C a tan a a C d C d C d. C tand. C d C d C d. C tand. C d C tan d sen a d 8. d 7. senh cosh 6. cosh senh 5. sen ln cot 4 sec ln 3 csc - cot ln csc tan sec ln sec. csc cot csc 0. sec sec 9 cot csc 8. sec 7.

20 Métodos de integración Desarrollaremos técnicas que nos permitirán emplear las fórmulas básicas con objeto de llegar a integrales indefinidas de funciones más complicadas Integración por sustitución: Si ug() es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I, f ( g( )) g ( ) d f ( u) du 0

21 La regla de sustitución para integrar corresponde a la regla de la cadena para diferenciar. Debemos tener presente que si ug(), entonces dug ()d Ejercicio: Determine las siguientes integrales 9( 3 5)( 3) d 3 e 4 d d 3 (ln) d

22 ? f ( ) g( ) d f()d g()d Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple La regla del producto establece que si f y g son funciones diferenciables, d [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ) f ( ) g ( ) d En la notación de las integrales indefinidas, esta ecuación se convierte en [ f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ] d f ( ) g( ) Es decir f ( ) g( ) d f ( ) g ( ) d f ( ) g( )

23 Integración por partes Reordenando la epresión anterior se tiene la fórmula de integración por partes f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d Notación: Sean uf() y v g() entonces duf ()d y dvg () d así, según la regla de sustitución, la fórmula de integración por partes se transforma en udv uv vdu Ejercicio: Determine las siguientes integrales 5d cos d e d ln d e d 3

24 Integrales Trigonométricas Las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas Cómo evaluar sen m cos n d a) Si la potencia del coseno es impar sen m cos k d sen sen A continuación se sustituye usen b) Si la potencia del seno es impar sen k cos n A continuación se sustituye ucos d m m k ( sen ) ( cos ) k ( cos ) cos d k ( sen ) cos d cos k n cos sen n sen d d 4

25 Ejercicio: Determine sen 3 cos d cos 5 d C) Si las potencias del seno y coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades del ángulo medio sen ( cos ) cos ( cos ) A veces es útil emplear la identidad sen cos sen Ejercicio: Determine sen 3d sen cos d 5

26 Cómo evaluar tan m sec n d a) Si la potencia de la secante es par tan m sec k d tan tan A continuación se sustituye utan b) Si la potencia de la tangente es impar tan k sec n d A continuación se sustituye usec m m k ( sec ) sec d k ( tan ) sec d k ( tan ) ( sec ) sec k n sec sec tand n sec tand Ejercicio: Determine sec d 3 tan sec 6 d 6

27 Obs: Si n es impar y m es par, todo el integrando se epresa en términos de sec. Es posible que las potencias de sec requieran integración por partes. Ejercicio: Pruebe que sec d ln sec tan C sec 3 d ( sec tan ln sec tan ) C Obs: Integrales de la forma cot m csc n d se pueden determinar con métodos semejantes, a causa de la identidad cot csc 7

28 Y cómo calculamos las integrales del tipo sen m cos nd? Para evaluar las integrales sen m cos nd sen msen nd cos m cos nd se emplean las identidades correspondientes a) b) c) senacosb senasenb cosacosb [ sen( A B) sen( A B) ] [ cos( A B) cos( A B) ] [ cos( A B) cos( A B) ] Ejercicio: Determine sen 5 sen d cos3 cos 4d 8

29 Sustitución trigonométrica A menudo es efectivo el método de sustitución trigonométrica al trabajar con integrales que contienen en sus integrandos ciertas epresiones algebraicas tales como a a a En general, podemos efectuar una sustitución de la forma g(t) aplicando la regla de sustitución al revés. Para simplificar nuestras operaciones, supondremos que g tiene una función inversa; esto es, que es biyectiva. En este caso, si reemplazamos u por y con t en la regla de sustitución, llegamos a f()d f(g(t))g ( t)dt A este tipo de cambio se le llama sustitución inversa 9

30 Para calcular a a d d Qué sustitución aplicamos? Podemos aplicar la sustitución inversa asenθ, siempre que restrinjamos θ al intervalo [-π/, π/] Epresión a Sustitución π asenθ - θ π Identidad - sen θ cos θ a atanθ - π θ π tan θ sec θ a asec 0 θ < π o π θ < 3π sec θ tan θ 30

31 Obs: En cada caso, se impone la restricción sobre θ para asegurar que la función que define a la sustitución sea biyectiva Ejercicio: Determine las siguientes integrales 3 d, donde < senθ (4 9) d 3 tanθ 5 d > 5 5secθ 3

32 Integrales que contienen polinomios cuadráticos Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático a bc se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado. Por ejemplo ( ) y por tanto, con la sustitución u, dud, se obtiene d du tan u C tan ( ) C u En general, el objetivo es convertir a bc en una suma o en una diferencia de cuadrados u a o a -u para que se pueda usar el método de sustitución trigonométrica 3

33 Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales Cómo integrar una función racional? Epresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales Consideremos la función racional f() P() Q() Es posible epresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia. Si f es impropia; esto es, si grad(p) grad(q), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que P() R() f() S( ) Q() Q() 33

34 El siguiente paso consiste en epresar la función racional propia R()/Q() como una suma de fracciones parciales, de la forma A ( a b) i o bien (a A B b c) j Caso I: El denominador. Q(), es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir Q ) ( a b )( a b )...( a b ( k k En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que eisten constantes, A, A,... A k tales que ) R( ) Q( ) ( a A b ) ( a A b ).... ( a k A k b k ) 34

35 Ejercicio: Determine d d d 3 ( )( ) ( 4) Caso II: Q() es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten Considere que el primer factor lineal ( a ) b se repite r veces; esto es, en la factorización de Q() se obtiene ( a b ) Entonces, en lugar del término único A /( ) a b emplearíamos A A Ar.... ( a b ) ( a b ) ( a b ) r r Por ejemplo: 3 ( ) 3 A B C ( ) D ( ) E ( ) 3 35

36 Ejercicio: Determine 4 d 3 ( ) 3 4 d ( ) ( 3) 3 ( 6)(5 3) 3 d Caso III: Q() contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite Si Q() tiene el factor a bc, en donde b -4ac<0, entonces la epresión R()/Q() tendrá un término de la forma A B a b c Por ejemplo: ( )( )( 4) A B C D E 4 36

37 D Obs: El término a b c se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula d arctan c a a a Ejercicio: Determine ( d ) 6 d 3 ( 3 4 )( ) d 37

38 Caso IV: Q() contiene un factor cuadrático irreducible repetido r Si en Q() aparece el factor (a b c) en donde b -4ac<0 A B entonces, en lugar de la fracción parcial única a b c se tiene la suma a A B b c A B... A B ( a b c) ( a b c) r r r En la descomposición en fracciones parciales de R()/Q(). Cada uno de los términos de la epresión anterior se puede integrar completando el cuadrado y con una sustitución tangente Ejercicio: Determine - 3 ( ) 3 d ( 4 )( 4) d 38

39 Epresiones Racionales en sen y cos Eiste una sustitución que hace posible la integración de todas las epresiones racionales en sen y cos Teorema:Si f() es una epresión racional en sen y cos, la sustitución u tan o arctanu transforma la integral en la integral de una función racional de u f ( ) d 39

40 Demostración: Sea arctanu, du u d Y obsérvese que u tan u u X/ 40

41 f (arctanu) f ( ) d du u Supongamos ahora que f() es racional en sen y cos. Para probar el teorema necesitamos demostrar que f( arctan u ) es racional en u, lo que puede hacerse demostrando que sen( arctan u) y cos( arctan u) son racionales en u. Esto se deduce directamente: sen(arctanu) sen sen cos u u u u u 4

42 cos(arctanu) cos cos u u u sen u u Se ha deducido que la sustitución arctan u Conduce a las siguientes fórmulas sen(arctanu) u u cos(arctanu) u u Ejercicio: Hallar d sec d d cos tan sec - - sen 4

43 Sustituciones para racionalización Algunas funciones se pueden transformar en funciones racionales por medio de sustituciones adecuadas, y con ello integrar mediante los métodos anteriores. En particular, cuando un integrando n contiene una epresión de la forma puede ser ventajoso emplear la sustitución u n g() g() Ejercicio: Determine d d d 3 43