INTEGRAL INDEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS

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1 urso TEMA 0 INTEGRAL INDEFINIDA. ÁLULO DE PRIMITIVAS ÍNDIE I. INTRODUIÓN II. PRIMITIVA DE UNA FUNIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA III. INTEGRALES INMEDIATAS IV. MÉTODOS DE INTEGRAIÓN A. MÉTODO DE SUSTITUIÓN. MÉTODO DE INTEGRAIÓN POR PARTES. INTEGRALES DE FUNIONES RAIONALES V. EXTRA REPASO EJERIIOS ANAYA ALMAÉN Tema 0 Integral indefinida -

2 urso I. INTRODUIÓN El álculo Integral se puede considerar como el proceso inverso al cálculo diferencial. Es decir, dada una función f el cálculo integral busca funciones F si la hubiere tales que si las derivamos nos den la función de partida f derivando F F f F Integrando f d f II. PRIMITIVA DE UNA FUNIÓN. INTEGRAL INDEFINIDA A. FUNIÓN PRIMITIVA Sea f una función real de variable real continua en un intervalo F es una función primitiva de f si y solo sí F f Ejemplo Halla una función primitiva de f usco una función F tal que F F es un polinomio de grado pues al derivarlo obtengo f que es un polinomio de grado y al derivar un polinomio el grado disminuye en. Un candidato sería, pero como Si definimos que se parece bastante. F, tenemos que al derivar se puedan simplificar los del numerador y denominador y obtenemos la función f F F f F es un primitiva de f F es primitiva de f? Halla una primitiva de f Halla una primitiva de f k siendo k un número real Tema 0 Integral indefinida -

3 urso Lema Si F es una función primitiva de f entonces F K, K número real, también es primitiva de f Demostración alculo la derivada de F K Lema. Entonces F K es primitiva de f F K F K f Si F y G son dos primitivas de f entonces G F K, K número real Demostración onclusión Si F y G son dos primitivas de f entonces G F f G F 0 Aplicando las consecuencias del teorema de Lagrange G entonces G F K G F K Si F G F 0 Si una función f tiene una primitiva F entonces tiene infinitas primitivas que son de la forma F K. INTEGRAL INDEFINIDA Se llama integral indefinida de f al conjunto de todas sus primitivas. Se representa por de la que se integra f d = integral de f diferencial de d indica la variable respecto f d F K siendo F una primitiva de f. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Las propiedades operativas de la integral indefinida son las mismas que las de las derivadas pues son procesos inversos uno del otro. La integral indefinida es un operador lineal al igual que la derivada. Derivada Integral f g f g Re sumen k f k f f d f g d f f d d g d Re sumn k f k g k f k g f g d f d g d Tema 0 Integral indefinida -

4 urso III. INTEGRALES INMEDIATAS ver tabla resumen de integrales inmediatas Potenciales d kd d d d d Se puede generalizar n d Esta fórmula se puede etender a otras formas de potencias camufladas d d d d d d d d OJO d n n Generalización d K, si n n Nota Logaritmo La integración de polinomios se hace a partir de esta fórmula y de las propiedades de la integral indefinida Eponencial d ln K a e d e K a d K lna Trigonométricas send K cos d K iclométricas d arcsen K d arccos K d arctg K Tema 0 Integral indefinida -

5 urso Practica Página 69 Ejercicio Halla una función cuya derivada sea f 7 5 y que se anule para =. La función f=+5 tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. uál de estas funciones toma el valor 8 para =? Halla la función G tal que G"=6+; G0= y G=0 Eiste alguna primitiva de la función el intervalo? f que no tome ningún valor positivo en sen cos Justifica de dos formas distintas que F y sen sen G cos sen son primitivas de la misma función Indicación: una forma es usando la derivada IV. MÉTODOS DE INTEGRAIÓN Son las distintas técnicas para calcular la integral indefinida de una función. Se basan en las reglas de derivación. A. MÉTODO DE SUSTITUIÓN O AMIO DE VARIALE Es el camino opuesto a la regla de la cadena de la derivación g f g f f g f f d g f K El método consiste en hacer un cambio de variable que nos permita obtener una integral inmediata en esta nueva variable. Después de integrar hay que deshacer el cambio OJO Ejemplo: El cambio a realizar es una función cuya derivada aparezca en la integral multiplicando salvo constante o signo Después de hacer el cambio TODO tiene que quedar en función de la nueva variable incluida la diferencial cos sen e d En este caso la derivada de la función salvo signo, luego el cambio de variable es * diferencial t cos dt send d sen e cos d * ** Deshago el cambio sen e t dt sen t e dt e cos, que es t dt sen K e ** cos sen, aparece multiplicando K Tema 0 Integral indefinida - 5

6 urso ln d En este caso la derivada de la función ln, es que aparece multiplicando, luego hago el cambio de variable * diferencial d t ln dt d dt ln t t ln d dt tdt K K * ** ** Deshago el cambio d En este caso la derivada de la función, que es, aparece multiplicando salvo el factor, luego hago el cambio de variable * diferencial dt t dt d d dt d dt dt t K K t t ln ln * t ** ** Deshago el cambio Practica Página 7 Ejercicio Página 7 Ejercicios 5 Realiza las siguientes integrales utilizando el método de sustitución d 5 d d e e d tgd 08 d 7 5 sen d cos e d cos d Tema 0 Integral indefinida - 6

7 urso MÉTODO DE INTEGRAIÓN POR PARTES Es el proceso inverso a la regla de la multiplicación en el cálculo diferencial u v u v u v Escribiendo esta fórmula utilizando la diferencial d u v du v u dv Integrando d u v du v u dv vdu udv u v vdu udv udv u v Para recordar esta fórmula puedes usar la regla nemotécnica Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme vdu OJO Habitualmente se toma como u = función trascendente de derivada racional logaritmos, arco seno, arco coseno, arco tangente o que tenga derivada cíclica eponencial, seno, coseno Lo primero es identificar en la integral inicial quién es u y quién dv La elección de los factores se realiza teniendo en cuenta que las funciones a integrar dv y la que resulte vdu tienen que ser sencillas Ejemplo ln d Aplicando la fórmula de integración por partes Luego e d u ln du d dv d v d ln d ln ln d ln K d Aplicando la fórmula de integración por partes e d e send e d e e K Aplicando la fórmula de integración por partes send u du d dv e d v u du d dv send v e d e send cos Tema 0 Integral indefinida - 7

8 urso e cos d Integral cíclica Aplicando la fórmula de integración por partes I e cos d e alculo e send cos e sen d e cos u cos du send dv e d v e send aplicando la fórmula de integración por partes e d e u dv du d v d d e send alculo la integral inicial I e cos d e cos e send Practica Página 76 Ejercicio 6 Página 88 Ejercicio 9 alcula ln d Solución F ln 9 alcula cos d Solución sen cos sen k Tema 0 Integral indefinida - 8

9 urso INTEGRAIÓN DE FUNIONES RAIONALES Las funciones racionales son de la forma P f siendo P y Q polinomios. Q En este curso únicamente abordaremos los casos en los que el denominador tiene soluciones reales A continuación analizaremos los diferentes casos que se pueden presentar k aso d a b Ejemplo Es una integral sencilla que se hace a través de un cambio de variable t a b dt ad d k d a b k t dt a k a dt t dt a k k ln t K lna b K a a Grado numerador < Grado denominador y Q tiene raíces simples d 0 Factorizo el denominador. Para ello resuelvo 0 5 Descompongo la fracción en fracciones simples A A 5 A A Igualando numeradores Igualo coeficientes oef A A 5 oef ti Resolviendo el sistema tenemos 5 6 A 7 7 A. 0 A 5 d d d d K ln 5 ln Tema 0 Integral indefinida - 9

10 Tema 0 Integral indefinida - 0 Departamento de Matemáticas urso Ejercicio alcula d Factoriza el denominador Descompongo la fracción en fracciones simples d Grado numerador < Grado denominador y Q tiene raíces múltiples Se hace de una forma muy similar al caso anterior. Únicamente hay que tener en cuenta las multiplicidades de las raíces al descomponer la fracción original en fracciones simples tiene que haber tantos sumandos como grado tenga el polinomio del denominador Ejemplo alcula d Descompongo la fracción en fracciones simples A A A A Igualando coeficiente a coeficiente A A A A ti oef A oef A oef Resolviendo el sistema tenemos 7 A Por tanto 7 7 d d d d d K 7 ln ln

11 Tema 0 Integral indefinida - Departamento de Matemáticas urso Ejercicio alcula d Descompongo la fracción en fracciones simples d Grado numerador > Grado denominador En este caso se hace la división y se escribe Q R Q P siendo el cociente y R el resto que cumple que grado R < grado Q d Q R d d Q R d Q P Ejemplo alcula d Hacemos la división : R d d d d d Falta calcular d como se vio anteriormente Practica Página 8 Ejercicios 7 d Página 88 Ejercicios 0 a h j

12 urso V. EXTRA REPASO EJERIIOS ANAYA ALMAÉN Integrales inmediatas Página 9 Ejercicios Página 0 Ejercicio Página 50 Ejercicios a d a c Método sustitución Página Ejercicios c d f Página 50 Ejercicios 5 a b 7 a c e 0 a Integración por partes Página 6 Ejercicios Página 7 Ejercicios Página 50 Ejercicios Integración funciones racionales Página 8 Ejercicios Página 56 Ejercicio 5 a b 6 a Otros ejercicios Página 5 Ejercicios Página 5 Ejercicios Página 5 Ejercicios 7 b 8 d 0 a c b c f Página 58 Ejercicios Página 59 Ejercicios 9 a b Página 60 Ejercicios Tema 0 Integral indefinida -