5. Métodos de integración y aplicaciones de la integral denida 5.5 Fracciones parciales. Métodos de Integración. Integración por fracciones parciales

Transcripción

1 Métodos de Integración Integración por fracciones parciales P x) Consideremos la función racional donde P, Q son polinomios. Si derivamos una función racional Qx) obtenemos una funciòn racional. Si integramos una función racional puede resultar una función NO racional. Por ejemplo = ln x + C x y + x = arctan x + C P x) Denición. Una función racional en la que el grado del numerador es menor que el grado del Qx) denominador se llama función racional propia. Si P x) es una función racional impropia, se puede expresar como suma de un polinomio y una función Qx) racional propia: fx) Rx) = Qx) + gx) gx) donde el grado de Rx) es menor que el grado de gx). Por ejemplo x 4+x x x = 8x + 0 x + x x x Como toda función racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y una función racional propia, sólo estudiaremos las funciones racionales propias. Un teorema general de Álgebra dice que toda función racional propia se puede expresar como suma nita de fracciones de la forma x + a) k y Bx + C x + bx + c) con k, m N,, B, C, a, b, c constantes y b 4ac < 0, es decir, el polinomio x + bx + c no tiene raíces reales, osea, es un polinomio irreducible. Cuando una función racional se expresa de la manera antes indicada, se dice que se ha descompuesto en fracciones simples. Para integrar una integral racional propia analizaremos cuatro casos Caso : El denominador es un producto de factores lineales distintos Si gx) = x x )x x )x x ) x x n ) el producto de n factores distintos, entonces la combinación lineal x x ) + x x ) + + n x x n ) se reduce a una única fracción con gx) como común denominador, siendo el numerador un polinomio de grado menor que n que contiene a las i con i =,,, n

2 Por tanto, si podemos encontrar las i de manera que este numerador sea igual a fx), se tiene que fx) gx) = x x ) + x x ) + + n x x n ) y x )x + ) fx) gx) = n i= i ln x x i + C Solución Para esto se tiene en fracciones x )x + ) = x + B x + si multiplicamos por x )x + ) ambos miembros de la igualdad se obtiene ) x )x + ) = x )x + ) x )x + ) x + B ) = x + ) + Bx ) x + si hacemos x= se obtiene = x + ) + Bx ) = + ) = = si hacemos x=- se obtiene = B ) = B B = x )x + ) = x + ) = x + x + x x + x x x Solución Nuestro primer trabajo consiste en factorizar el denominador y se tiene que en fracciones x + x x = x x + x + ) = xx + )x ) x + x x + x x = x + x xx + )x ) = x + x + = ln x ln x+ +C B x + + C x

3 si multiplicamos por xx + )x ) ambos miembros de la igualdad se obtiene x ) + x xx + )x ) = xx + )x ) xx + )x ) x + B x + + C ) x x + x = x + )x ) + Bxx ) + Cxx + ) x + x = x + )x ) + Bxx ) + Cxx + ) si hacemos x=- se obtiene = B6) B = si hacemos x=0 se obtiene = ) = = si hacemos x= y tomando los valores hallados para y B se obtiene x + x x + x x = = x x + + x Ejemplo + Calcular x 6 = C) C = x + x + + ) x x = ln x ln x + + ln x + C Solución Como el grado del numerador es mayor que el denominador, entonces primero hacemos la división y obtenemos que: x + x = x + x + x trabajanpo el segundo sumando se tiene que en fracciones x + x = x + x )x + ) = x + B x + si multiplicamos por x + )x ) ambos miembros de la igualdad se obtiene ) x + x + )x ) = x + )x ) x + )x ) x + B ) x + x + = x + ) + Bx ) x + = x + ) + Bx )

4 si hacemos x=- se obtiene si hacemos x= se obtiene + = B ) B = + = ) = x + x x + x = + x x = + x ) x + = x + x x + x x + x x Solución Factorizamos el denominador De manera que x + x = ln x ln x + + C x + x x = xx + x ) = xx + )x ) x + x x + x x = x + B x + + C x si multiplicamos por xx + )x ) ambos miembros de la igualdad se obtiene x ) + x xx + )x ) x + x = xx + )x ) x x + B x + + c ) x si hacemos x=- se obtiene x + x = x + )x ) + Bx)x ) + Cx)x + ) x + x = x + )x ) + Bx)x ) + Cx)x + ) ) + ) = B ) ) ) B = si hacemos x = se obtiene ) + ) = c ) ) ) + = C si hacemos x=0 se obtiene x + x = x + )x ) + Bx)x ) + Cx)x + ) = 0 + )0 ) = 4

5 x + x x + x x = x x + + = lnx) ln x + + ln x + C x