2 ln x dx. Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = 1 x dx dv = dx v = x y por tanto

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1 Tema 6 Integración Definida Ejercicios resueltos Ejercicio Calcular la integral definida ln x dx Solución: Resolvemos la integral por partes. Si hacemos u = ln x y dv = dx, entonces u =ln x du = x dx dv = dx v = x y por tanto ln x dx = [x ln x ] dx Ejercicio Calcular la integral = ln ( ) = ln x x dx Solución: Esta integral se resuelve por cambio de variable. Si hacemos u = x obtenemos que du = x dx. Además como para x = tenemos que u = y para x = que u =, resulta que x ( x dx = u / ) du = u / du = [ ] u 3/ = 3/ 3

2 TEMA 6. Ejercicio 3 Calcular la integral 5 3 5x +4 x +3x dx Solución: Es la integral de una función racional, así que en primer lugar debemos descomponer la función racional en suma de fracciones simples. Si calculamos la raíces de x +3x = obtenemos que son x =y x = 5. De ese modo tenemos que porloque 5x +4 x +3x = A x + B x +5 5x +4=A(x +5)+B(x ) = (A + B)x +(5A B) y, por tanto A y B son la solución del sistema A + B =5, 5A B =4 es decir, A =, B =3 De este modo tenemos que 5x +4 x +3x dx = x dx + =ln x +3ln x +5 + C 3 x +5 dx y aplicando la Regla de Barrow, obtenemos 5 3 5x +4 x +3x dx =[ln x +3ln x +5 ]5 3 = ln ln ln 3ln8=ln3+3ln 5/4 Ejercicio 4 Calcular el área comprendida entre la curva f(x) = sen x cos x, el eje de coordenadas y las rectas x =yx = π. Solución: Sabemos que el área que nos piden viene dada por A = sen x cos x dx

3 Entre x =yx = π la función sen x se anula en x =yx = π, y cos x se anula en x = π/. Por tanto sen x cos x se anula en x =,x = π/ y x = π. Entre x =yx = π/ esf(x) (pues sen x y cos x ) y entre x = π/ yx = π tenemos que f(x) (pues sen x y cos x ). En consecuencia obtenemos que A = sen x cos x dx = sen x cos xdx π/ sen x cos xdx Aplicando el método de cambio de variable: si hacemos u = sen x, entonces du = cos xdx, por lo que sen x cos xdx= udu. Además para x = se tiene u =, para x = π/ esu = y para x = π es u =, por lo que [ ] A = udu udu= udu= u = Ejercicio 5 Calcular el área comprendida entre f(x) =x 3 3x y g(x) = x. Solución: En primer lugar calculemos los puntos de corte entre y = f(x) e y = g(x). x 3 3x = x x 3 x = x(x )= x(x )(x +)= por lo que los puntos de corte son x =,x = yx =. Claramente f(x) g(x) entre x = yx =, y además f(x) g(x) entre x =y x =. Por tanto A = = f(x) g(x) dx = [f(x) g(x)]dx + [g(x) f(x)]dx [ (x 3 x)dx + (x x 3 )dx = 4 x4 ] [ x + x ] 4 x4 = = Ejercicio 6 Calcular el área bajo la curva y = e x, entre x =yx = b (b >). Qué ocurre cuando b +? Solución: Puesto que e x para todo x, tenemos que el área entre x = y x = b es b A(b) = e x dx = [ e x] b = e b 3

4 4 TEMA 6. Cuando b + tenemos lim A(b) = lim b + b + e b = Ejercicio 7 Calcular el área encerrada por la elipse de ecuación x a + y b = Solución: Es claro que, dada la simetría de la figura, en el cuadrante positivo (x, y ) se encuentra la cuarta parte del área total. Si en esta parte despejamos la y de la ecuación de la elipse, obtenemos que ( ) x y = b a Esta curva corta al eje de abscisas en x = a, por lo que el área buscada es a ( ) x dx A =4 b a Si ahora hacemos el cambio x = a sen t, tenemos que dx = a cos tdt,y además cuando x = se tiene t =, y cuando x = a es t = π/. Por tanto A = 4 b sen tacos tdt=4ab cos t cos tdt = 4ab cos tdt Teniendo en cuenta que cos + cos t t = obtenemos que A = ab ( + cos t) dt =ab [t + ] π/ sen t = ab [( π + ] sen π) = πab Por tanto hemos obtenido que el área de la elipse es A = πab.

5 Ejercicio 8 Calcular la longitud de la curva y =ln cos x entre x =y x = π/6. Solución: Recordemos que la longitud de una curva y = f(x) entre x = a y x = b es b L = +(f (x)) dx a En nuestro ejemplo tenemos y = tan x, por lo que la longitud buscada será /6 /6 L = + tan xdx= cos x dx Haciendo el cambio de variable t = sen x, obtenemos dt = cos xdx, cuando x =est =ysix = π/6 entonces t =/. Por tanto la longitud es 5 L = = /6 / π/6 cos x dx = cos x cos x dx [ t dt = ln +t t ] / = [ ] 3/ ln / ln = ln 3 Ejercicio 9 Calcular el volumen de revolución generado por la curva y = x + entre x =yx =. Solución: Recordemos que el volumen de revolución generado por la curva y = f(x) entre x = a y x = b viene dado por b V = π (f(x)) dx a En nuestro ejemplo tenemos por tanto V = π (x +) dx = π = π [ 5 x5 + 3 x3 + x ] = π (x 4 +x +)dx [ ] = 6 5 π Ejercicio Calcular el valor medio de la función f(x) =x x + en el intervalo [, ]. Toma f ese valor en algún punto del intervalo [, ]?

6 6 TEMA 6. Solución: El valor medio de f en el intervalo [, ] viene dado por m = [ ] x (x 3 x +)dx = 3 x + x = 3 += 5 6 Sabemos, después del teorema 6.3., que una función continua en un intervalo alcanza su valor medio en algún punto de dicho intervalo. Como f es continua en [, ], obtenemos que existe x [, ] tal que f(x )=5/6.

7 7 Ejercicios propuestos Las soluciones se encuentran al final. Ejercicio Calcular la integral definida x sen xdx Ejercicio Calcular la integral definida e x cos xdx Ejercicio 3 Calcular la integral definida sen 3 x cos xdx Ejercicio 4 Calcular la integral definida xe x dx Ejercicio 5 Calcular la integral definida 6 4 3x x x 3 dx Ejercicio 6 Calcular la integral definida 7 4 x 5x +6 dx Ejercicio 7 Calcular el área comprendida entre las curvas y = 4 x y = x 4 4x. e Ejercicio 8 Calcular el área bajo y =lnx, sobre y =yentrex =y x = e. Ejercicio 9 Calcular el área comprendida entre las curvas y = x 3 x +6e y =3x +6.

8 8 TEMA 6. Ejercicio Calcular la longitud de la curva y = cosh x =(e x + e x )/ entre x =yx =ln. Soluciones de los ejercicios propuestos:.. x sen xdx= π e x cos xdx= 5 ( e π + ) A = A = 9. A =8 sen 3 x cos xdx= 4 xe x dx = e ( 3x 63 x x 3 dx =ln 5 ) ( ) 64 x 5x +6 dx =ln 5. L = 3 4

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