Nombre y Apellidos: x (1 + ln(x)) si x > 0 f(x) = 0 si x = 0.

Transcripción

1 Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria de Septiembre de Septiembre de 008 Nombre y Apellidos: DNI: (6.5 p.) ) Se considera la función f : [0, ) R definida por { x ( + ln(x)) si x > 0 f(x) = 0 si x = 0. (0.75 p.) (a) Probar que f es continua en [0, ). (.5 p.) (b) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus extremos relativos. ( p.) (c) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de la gráfica de f y representar de forma aproximada dicha gráfica. ( p.) (d) Hallar una primitiva de f y calcular el valor del área de la región del plano encerrada entre el eje X y la porción de la gráfica de f situada debajo de él. (.5 p.) (e) Hallar el polinomio de Taylor de grado de f centrado en x 0 =. Utilizarlo para aproximar el valor de ln() y dar una cota del error cometido. (.5 p.) ) Probar que la ecuación (x ) = ln(x + ) tiene exactamente dos raíces reales y acotarlas en intervalos de longitud uno. ( p.) 3) (.5 p.) (a) Estudiar para qué valores de x R convergen las siguientes series de potencias (i) (x + ) n n ; (ii) (x + ) n n n ; (iii) (x + ) n n. (0.5 p.) (b) En el caso (i), calcular la suma de la serie para los valores de x que están en el intervalo de convergencia.

2 SOLUCIONES PROBLEMA. (a) La función f es continua en el intervalo abierto (0, ) ya que se puede escribir como producto y suma de funciones continuas. Veamos que f también es continua en x = 0. En efecto, usando la regla de L Hôpital, se tiene: lim x 0 + ln(x) f(x) = lim x ( + ln(x)) = lim + x 0 + x 0 + /x /x = lim x 0 + /x = lim x x 0 + x = = lim = 0 = f(0). x 0 +( x) (b) La función f es derivable en (0, ) y su derivada es f (x) = + ln(x). Por tanto, f (x) = 0 + ln(x) = 0 ln(x) = x = e. Puesto que f (x) = /x, en particular f (e ) = e > 0 y por tanto f alcanza en x = e un mínimo relativo estricto. Como f (x) = + ln(x) < 0 si x < e y f (x) > 0 si x > e, la función f es decreciente en (0, e ) y creciente en (e, ). En particular, se deduce que f alcanza un máximo relativo estricto en x = 0. (c) Los intervalos de concavidad y convexidad se determinan analizando el signo de f. En este caso, f (x) = /x > 0 para todo x (0, ) y por tanto f es convexa en (0, ). Para representar la gráfica de f, tenemos en cuenta los resultados anteriores y que f(0) = 0 ; f(e ) = e ; f(x) = 0 x = e ó x = 0 ; lim f(x) =. x Así, la gráfica de f tiene aproximadamente la siguiente forma: e - 0 e -

3 (d) Para calcular una primitiva de f(x) = x ( + ln(x)) utilizamos el método de integración por partes: Denotando u = + ln(x), dv = xdx, se obtiene du = /x dx, v = x /. Por tanto, una primitiva de f es F (x) = x ( + ln(x)) dx = x x x ( + ln(x)) dx = ( + ln(x)) x = x ( + ln(x)). La gráfica de f situada bajo el eje X es la que corresponde al intervalo (0, e ). 0 e - Calculamos la integral de f en ese intervalo utilizando la regla de Barrow: ya que e 0 f(x) dx = F (e ) lim F (x) = e x 0 +, F (e ) = e ( + ln(e ) ) = e ( ) = e, + ln(x) /x lim F (x) = lim x 0 + x 0 + /x = lim x 0 + 8/x 3 = lim x 3 x 0 + 8x = lim x x 0 + Para el cálculo de este límite, hemos utilizado de nuevo la regla de L Hôpital. = 0. Finalmente, el área de la región pedida es A = e = e. (e) El polinomio de Taylor de grado de f centrado en x 0 = viene dado por Ya sabemos que p (x) = f() + f ()(x ) + f () (x ).! f(x) = x ( + ln(x)) ; f (x) = + ln(x) ; f (x) = /x. 3

4 Evaluando en x =, se obtiene: f() =, f () =, f () =. En consecuencia, p (x) = + (x ) + (x ). Dado que f() = ( + ln()), se deduce que ln() = f(). Por tanto, podemos aproximar Por otra parte, ln() = f() p () f() p () = f (ξ) 3! = 7 = 3 = 0.75 ( ) 3 = f (ξ), 6 con ξ (, ). Como f (x) = /x, se tiene: f (ξ) = ξ <, ξ (, ) = f() p () = f (ξ) < 6 6. Finalmente, ( ln() 0.75 = f() ) ( p () ) = f() p () = f() p () < = PROBLEMA. En primer lugar, observemos una gráfica de la funciones (x ) y ln(x + ). Los puntos de corte son las soluciones de la ecuación (x ) = ln(x + ). 3 3 Dado que (x ) = ln(x + ) (x ) ln(x + ) = 0, consideraremos la función h(x) = (x ) ln(x + ), que está definida y es continua en el intervalo (, ). Según la figura, los puntos de corte están entre 0 y 3. Utilizamos el teorema de Bolzano para determinar los intervalos de longitud uno donde se encuentran: h(0) = > 0, h() = ln() < 0, h() = ln(3) < 0, h(3) = ln() > 0.

5 Por tanto, h tiene dos raíces reales α (0, ), α (, 3). Por otra parte, las derivadas sucesivas de h son: h (x) = (x ) x + ; h (x) = + (x + ). Como h (x) > 0, x (, ), por el teorema de Rolle la función h tiene a lo sumo una raíz real. Aplicando de nuevo el teorema se deduce que h tiene a lo sumo dos raíces. PROBLEMA 3. (a) (i) El término general de la primera serie de potencias es a n = y por tanto su radio de n convergencia es: a n n+ r = lim = lim a n+ n =. Como la serie está centrada en x 0 = y el radio de convergencia es r =, podemos afirmar que converge absolutamente para x (, + ) = ( 3, ). a cero. Estudiamos directamente la convergencia para x = y x = 3. Para x =, la serie es Para x = 3, la serie es, que es claramente divergente. ( ) n, que no converge ya que su término general no tiende En resumen, la serie converge para x ( 3, ). (ii) El término general de la segunda serie de potencias es a n = y su radio de convergencia nn es: a n (n + ) n+ (n + ) n ( ) (n + ) n + n r = lim = lim a n+ n n = lim n n = lim (n + ) =, n ya que lim ( n + n Por tanto, la serie converge para todo x R. ) n ( = lim + n = e ; lim (n + ) =. n) (iii) El término general de la tercera serie de potencias es a n = convergencia es: a n (n + ) r = lim = lim a n+ n = lim 5 ( ) n + ( = n lim, así que su radio de n ) n + =. n

6 Como la serie está centrada en x 0 = y el radio de convergencia es r =, podemos afirmar que converge absolutamente para x (, + ) = (, 0). Estudiamos directamente la convergencia para x = 0 y x =. Para x = 0, la serie es /n α, con α = >. Para x =, la serie es, que es convergente ya que su término general es del tipo n ( ) n, que es absolutamente convergente, ya que n ( ) n n = n. Por tanto, la serie converge para x [, 0]. (b) Para x ( 3, ), podemos escribir la serie del caso (i) como una serie geométrica (x + ) n n = ( x + de razón a = (x + )/, con a <. Por tanto, la suma de la serie es: (x + ) n n = ( ) x + n = a (x + )/ = a (x + )/ = x +, x (, 3). x ) n 6