1 El número x = 0, es irracional. Encontrar una sucesión de números racionales x n cuyo límite sea x.

Transcripción

1 El número x =,... es irracional. Encontrar una sucesión de números racionales x n cuyo límite sea x. Si x =, x =, x 3 =, x 4 =,... entonces cada x n es racional y (x x n ) n tiende a cero, es decir, lim n x n = x. Dibujar los conjuntos A = {x R : x + x } B = {x R : x + x + x 3 4} C = {x R : x + x + x 3 8} Si f(x) = x + x entonces la expresión de f puede ponerse como ( x) + ( x) = 3 x si x f(x) = (x ) + ( x) = si x [, ] (x ) + (x ) = x 3 si x. En los puntos x se cumple f(x) si 3 x, es decir, si x. En los puntos x [, ] se cumple f(x) si, es decir, siempre. En los puntos x se cumple f(x) si x 3, es decir, si x 5. En total, [ A = {x R : x + x } =, 5 ] El mismo procedimiento sirve para calcular los conjuntos B y C. 3 Encontrar los puntos x que verifican x(x )(x ) Si x < entonces x(x )(x ) <. Si x [, ] entonces x(x )(x ). Si x (, ) entonces x(x )(x ) <. Si x entonces x(x )(x ). Así los puntos buscados son [, ] [, ) 4 Si x es racional, debe ser x + π racional? Si x es irracional, debe ser x + π irracional? La suma de dos números racionales es racional. Un racional más un irracional es irracional. Por último, + = + ( ) =

2 muestra que la suma de dos irracionales puede ser racional o irracional. 5 Probar que para todo n N Si n es par, podemos agrupar los términos n = n(n + ) Si n es impar, entonces n = ( + n) + ( + (n )) +... = (n + ) n n = n + (n + ) (n + ) = (n + )(n + ) (n + ) = (n + )(n + ) (n + ) = n + n(n + ) ((n + ) ) = 6 Expresar en forma de fracción el número = 64 Si a = entonces a = y 99a = 48, de donde 4, = Si b = entonces b = y b = , y así b = = Hallar el supremo y el ínfimo de los conjuntos siguientes A = {,,,,,...} B = {( ) n + n : n N} C = {x R : x + 5x 6 } inf A = y sup A =... El conjunto B está formado por números positivos (cuando n es par) y negativos (cuando n es impar): B = { +, + 4, + 6,...} {, + 3, + 5,...}

3 y así inf B = y sup B = + / La función f(x) = x + 5x 6 sólo se anula en los puntos x = 5 ± = 5 ± 7, es decir, en x = 6 y x =. La función f en (, 6) es positiva, en [ 6, ] es negativa o cero y en (, ) es positiva. Así, inf C = 6 y sup C = 8 En un circuito con dos resistencias variables R y R la resistencia total R viene dada por la fórmula R = R + R. Si R oscila entre 3 y ohmios y R oscila entre 5 y 5 ohmios, qué valores puede tomar R? Como R [3, ] y R [5, 5] entonces [ R, ] 3 Por tanto y R [ 5, ]. 5 [ R + 5, 3 + ] [ 7 = 5 5, ] 5 y entonces R oscila entre los valores 5/ y 5/7. 9 Probar que + + para todo n N. Utilizar lo anterior para probar que la sucesión x =, x = + +, x 3 = (n veces) + < + +,... es convergente. <. + < + =, aplicando lo anterior. + + < + =, aplicando lo anterior. En general, (n veces) + < y la sucesión (x n ) en monótona (creciente) y acotada (superiormente). Por tanto es convergente. Su límite coincide con su supremo, que es a = Además a = a y así a = ( + 9)/ =.

4 Representar la función f(x) = x + x. Calcular 4 f(x) dx 5 Y f(x) dx = { x + ln(x) } 4 = 8 + ln(4) X Representar la función f(x) = sen(x) y calcular a) π f(x) dx b) el área encerrada por f(x) entre y π Y a) π f(x) dx = { cos(x)} π = b) área = π sen(x) dx = { cos(x)}π = X Calcular el área encerrada por las gráficas de las funciones f(x) = x y g(x) = x..5 área = (x x ) dx = 3 = 6 Y X

5 Integración por partes La regla de integración por partes es u dv = u v v du donde u y v son funciones. 3 Calcular x sen(x) dx Haciendo u = x y dv = sen(x) dx tenemos x sen(x) dx = x cos(x) + cos(x) dx = x cos(x) + sen(x). 4 Calcular x e x dx Si u = x y dv = e x dx tenemos x e x dx = x e x xe x dx = x e x 5 Calcular ln(x) dx ( xe x ) e x dx = (x x + )e x Si u = ln(x) y dv = dx se tiene ln(x) dx = x ln(x) dx = x ln(x) x Este último problema también puede aplicarse a integrales del tipo log a (x) dx pues todos los logaritmos (en distintas bases) son porporcionales, es decir, log a (x) = k ln(x) donde k = log a (e) = ln(a), y así log a (x) dx = k ln(x) dx = x ln(x) x = kx log a (x) x

6 La regla de la cadena La regla de la cadena para derivar funciones dice que (f(g(x)) = f (g(x))g (x) donde f y g son funciones. Por tanto, f (g(x))g (x) dx = f(g(x)) 6 Calcular xsen(x ) dx 7 Calcular x sen(x ) dx = cos( x) dx = x Reducción a fracciones simples x sen(x ) dx = cos(x ) cos( x) x dx x cos( x) dx = sen( x) Para calcular primitivas de expresiones P (x) donde P y Q son funciones polinómicas, se hace lo Q(x) siguiente: o. Se hace la división: P (x) = C(x)Q(x) + R(x), C es el cociente y R el resto. o. Ahora P (x) R(x) Q(x) = C(x) + Q(x), y como C(x) es inmediata, sólo falta saber cómo calcular la otra integral R(x) R(x), donde Q(x) Q(x) ya no se puede simplicar más. Este cálculo se hace según sean las raíces del polinomio Q, y para ello se consideran los casos en que las raíces sean reales o complejas y según su multiplicidad (el número de veces que se repiten). 8 Calcular x dx Como x = (x + )(x ) entonces x = A x + + B x,

7 donde A y B son números que hay que calcular. Se tiene = A(x ) + B(x + ), y por tanto A = B = /. En total x dx = / x + dx+ / x dx = log (x + )+ log (x ) = ( ) x log x + 9 Calcular 3x + 5 x 3 x x + dx Basta escribir 3x + 5 x 3 x x + = A x + + B x + calcular A, B y C, y hacer las primitivas inmediatas que resultan. C (x ), Calcular Como x x(x + ) dx x x(x + ) = A x + Bx + C x +, se calculan A, B y C, y se hacen las primitivas inmediatas que resultan. Calcular x + 3 (x + ) dx Se escribe x + 3 (x + ) = Ax + B x + + Cx + D (x + ), y se calculan A, B, C y D, y las primitivas que resultan. Hay que tener en cuenta que Ax + B x + dx = Ax x + dx + B x + dx y las dos primitivas son inmediatas (un logaritmo y una tangente). Para el otro término se escribe Cx + D (x + ) dx = Cx (x + ) dx + D (x + ) dx. La primera es inmediata. Para la segunda se hace el cambio x = tgu, pues así dx = ( + tg u)du y entonces (x + ) dx = + cosu + tg u du = cos u du = du