integración de funciones racionales

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1 VIII 1 / 6 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 26 de febrero y 2 de marzo de Tema : Integración de funciones racionales. 1.- Diga, justificando, cuales de las siguientes fórmulas representan polinomios (con coeficientes reales) y cuales no : 1a) x x - 17 ; 1b) x+ 17π ; 1c) 193 ; 1d) 1+x 2 ; 1e) x9 +3x 7 +2x 5 2+2x 2 ; 1f) x -1 +x -2 ; 1g) sec 2 (arctg(x)) ; 1h) cos 2 (arctg(x)) ; 1i) arcsen(sen(x)). 2.- Diga, justificando, cuales de las fórmulas del ejercicio anterior, representan funciones racionales y cuales no. 3.- Un polinomio A(x), de grado 1, se dice irreducible si, toda vez que sea A(x)=B(x)C(x), [siendo B(x), C(x) polinomios], necesariamente uno de los dos factores, B(x), C(x), es constante. Por ejemplo : los polinomios x 2 +7x+19, 2x-3, son irreducibles, mientras que los polinomios x 2-7, x 3 +8 son reducibles. Tomando en cuenta que todo polinomio con coeficientes reales, P(x), de grado > 2 es reducible (factorizable en un producto de polinomios de grado 2 ), factorice cada uno de los siguientes polinomios en un producto de factores irreducibles. Por ejemplo : x 4-1 = (x 2 +1)(x+1)(x-1) ; x 3 +8= (x+2)(x 2-2x+4). 3a) x 2-6x+5 ; 3b) 3x 2 -x ; 3c) 3x 2-6x-9 ; 3d) 3x 2-6x+2 ; 3e) 3x 3-6x ; 3f) x 4-5x 2 +4 ; 3g) x 4 +x 2 +1 ; 3h) x 3 +x+1.

2 VIII 2 / Exprese cada una de las siguientes funciones racionales como suma de "fracciones parciales"[en algunos libros llaman este tipo de fracciones "fracciones simples"]. Recuerde que en el caso que el numerador (en la fracción que representa la función racional dada) tenga grado mayor o igual al grado del denominador, hay que efectuar previamente una división de polinomios. 4a) x+1 x 2-9 ; 4b) 2x3 +7x 2 +10x+4 (x+1) 2 ; 4c) x2-9x-6 x 3-2x-4 ; 4d) x3-5x 2 +3x-3 x 4 ; -1 4e) 3x4 -x 3 +20x x 5 +8x 3 +16x ; 4f) 5-3x x 3-6x 2 +11x-6 ; 4g) 3x2-2 x 3-2x Halle la integral indefinida de cada una de las siguientes fracciones parciales : 5a) x+5 x 2 +2x+5 ; 5b) 3 x+7 ; 5c) 3 (x+7) 5 ; 5d) 1 (x 2 +1) 2 dx ; 5e) ax+b (x 2 +1) Halle las integrales de las funciones racionales del ejercicio 4), usando, (cuando sea conveniente), la descomposición en suma de fracciones parciales hallada. 7.- Use la sustitución u=tg( x 2 ), para calcular las integrales siguientes : 7a) 2+sen(x) dx ; 7b) sec(x) dx ; 7c) 2-sen(x)+cos(x) dx.

3 VIII 3 / 6 RESPUESTAS 1) Son polinomios : a, b, c, e, g ; no son polinomios : d, f, h, i. Comentarios : e) x9 +3x 7 +2x 5 2+2x 2 = 1 2 x7 +x 5 ; g) : sec 2 (arctg(x)) = sec 2 (α), con α tal que tg(α)= x, luego sec 2 (arctg(x)) = 1+x 2 ; i) f(x)= arcsen(sen(x)) se anula para un número infinito de valores de x (=kπ), luego no puede ser un polinomio, ya que se conoce que todo polinomio real de grado n se anula para a lo máximo n valores distintos de x ; puede Usted bosquejar una gráfica de f(x)? observe que f(x) es periódica de periodo 2π y que en el intervalo [- π 2, π 2 ] se tiene arcsen(sen(x)) = x, 2) Tomando en cuenta que los polinomios son casos particulares de funciones racionales (a veces los llaman "funciones racionales enteras"), al mencionar cuales son funciones racionales, tendremos que agregar a la lista a, b, c, e, g del ejercicio anterior : d, f = x+1 x 2, h=d. 3a) x 2-6x+5 = (x-1)(x-5) ; 3b) 3x 2 -x = 3x(x- 1 3 ) = x(3x-1) ; 3c) 3x2-6x-9 =3(x+1)(x-3) ; 3d) 3x 2-6x+2 = 3(x )((x ) = ( 3 x - 3-1)( 3 x- 3 +1) ; 3e) 3x 3-6x = 3x(x- 2)(x+ 2) ; 3f) x 4-5x 2 +4 = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) ; 3g) x 4 +x 2 +1= ( x 4 +2x 2 +1)-x 2 = (x 2 +1) 2 -x 2 = (x 2 +x+1)(x 2 -x+1) ; 3h) sea f(x)=x 3 +x+1 ; observando que f(0)=1>0, f(-1)=-1< 0 y recordando el teorema del valor intermedio, resulta que f(x) se anula para almenos un valor, α, de x, con -1 < α < 0 ; también, observando que f '(x) = 3x 2 +1 > 0, resulta que f es inyectiva, luego se anula sólo en x=α. De esta manera, efectuando la división x 3 +x+1 : (x - α), se obtiene : x 3 +x+1 = (x - α)(x 2+ αx+1+α 2 ), donde el factor x 2+ αx+1+α 2 es irreducible ( por qué?).

4 VIII 4 / 6 4a) x+1 x 2-9 = 2/3 x-3 + 1/3 x+3 ; 4b) 2x3 +7x 2 +10x+4 (x+1) 2 = 2x x+1-1 (x+1) 2 ; 4c) x2-9x-6 x 3-2x-4 = -2 x x x 2 +2x+2 ; 4d) x3-5x 2 +3x-3 x 4-1 = 3 x+1-1 x-1-1+x x 2 +1 ; 4e) 3x4 -x 3 +20x x 5 +8x 3 +16x = 2 x + x-1 x (x 2 +4) 2 ; 4f) 5-3x x 3-6x 2 +11x-6 = 1 x x-2-2 x-3 ; 4g) 3x2-2 x 3-2x-4 = 1 x x x 2 +2x+2. 5a) Como x 2 +2x+5 = 4[( x+1 ) + 1 ] se puede sustituir u=x+1 y se obtiene : 2 2 x+5 x 2 +2x+5 dx = u+2 u 2 +1 du = 1 2 ln(u2 +1)+2.arctg(u)+C= 1 2 ln(x2 +2x+5)+2.arctg(( x+1 2 )+C 2; 5b) 3 x+7 dx = 3.ln( x+7 ) ; 5c) 3 (x+7) 5 dx = 3(x+7) -5-3 dx = 4 (x+7) 4 + C ; 5d) sustituyendo x= tg(t) se tiene : x 2 +1 = sec 2 (t), dx= sec 2 (t)dt, luego 1 (x 2 +4) 2 dx = 1 sec 4 (t) sec2 (t)dt = cos 2 (t) dt = +cos(2t) 2 dx = = t 2 + sen(2t) 4 + C = 1 2 [ arctg(x) + x x 2 +1 ] + C

5 VIII 5 / 6 5e) sustituyendo x= tg(t) se tiene : x 2 +1 = sec 2 (t), dx= sec 2 (t)dt, luego ax+b (x 2 +1) 3 dx = a x (x 2 +1) 3 dx + b sec 6 (t) sec2 -a (t)dt = 4.(x 2 +1) 2 + b cos 4 (t) dt = etc. 6a) x+1 x 2-9 dx = 2/3 x-3 dx + 1/3 x+3 dx = 2 3 ln x ln x+3 +C = 1 3 ln (x-3)2 (x+3) +C; 6b) 2x 3 +7x 2 +10x+4 (x+1) 2 dx = (2x+3) dx + 2 x+1 dx - 1 (x+1) 2 dx = etc. 6c) x 2-9x-6 x 3-2x-4 dx = -2 x-2 dx + 1+3x x 2 +2x+2 dx = -2.ln x-2 + 3(x+1)-2 (x+1) 2 +1 dx = -2.ln x ln(x2 +2x+2) - 2.arctg(x+1) + C ; 6d) x 3-5x 2 +3x-3 x 4-1 dx= 3 x+1 dx - 1 x-1 dx - 1+x x 2 +1 dx = = 3.ln x+1 - ln x ln(x2 +1) - arctg(x) + C ; 6e) 3x 4 -x 3 +20x x 5 +8x 3 +16x dx = 2 x dx + x-1 x 2 +4 dx + 4 (x 2 +4) 2 dx =

6 VIII 6 / 6 = 2.ln x ln(x2 +4) arctg(x 2 )+ 1 2 x x 2 +4 ] + C; 6f) 5-3x x 3-6x 2 +11x-6 dx = 1 x-1 dx+ 1 x-2 dx - 2 x-3 dx = ln (x-1)(x-2) (x-3) 2 + C; 6g) 3x 2-2 x 3-2x-4 dx = ln x3-2x-4 +C.[nota : aqui no es conveniente usar fracciones parciales...]. 7) poniendo t = tg( x 2 2t 1-t2 2.dt ), se tiene : sen(x) = 1+t2, cos(x)= 1+t2, dx= 1+t 2 ; 7a) 2+sen(x) dx = (1+t 2 ) (2+2t 2 )+2t 2.dt 1+t 2 = dt t 2 +t+1 = 2 3 arctg(2t+1 3 ) + C = = 2 arctg(2tg( x 2 ) ) + C ; 7b) sec(x) dx = 2.dt 1-t 2 = 1 t+1 dt - 1 t-1 dt = ln t+1 t-1 2 +C = )+1 ln tg( +C ; )-1 compare este resultado con : ln sec(x)+tg(x), cuya derivada también es sec(x)... x tg( x 2 7c) 2-sen(x)+cos(x) dx = 2 t 2-2t+3 dt = dt (t-1/ 2) 2 +1 = 1 t-1 arctg( 2 2 ) + C= = x 2 )-1 1 arctg(tg( 2 2 ) +C.