GUIA 4 QUINTO AÑO PROFESOR ALCIDES UROSA UNIDAD I

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1 1 GUIA 4 QUINTO AÑO PROFESOR ALCIDES UROSA UNIDAD I 1. Grupo de raíces enteras y racionales 2. Igualdad de polinomios 3. Teorema del Residuo 4. Ruffini 5. Factorización 6. Ecuaciones de grado >2 7. Ecuaciones Recíprocas 8. Ecuaciones Trascendentes 9. Inecuaciones de grado >1 10. Inecuaciones con valor absoluto 11. Coeficientes Indeterminados :Raíz de un polinomio ; descomposición de una fracción en fracciones simples I.-Raíz de un Polinomio i. Se llama Raíz de un polinomio al valor de la variable que hace que el valor numérico de cero. Es decir si en un polinomio P(X), P(a)=0 se dice que X=a es raíz de P(X). ii. Las Raíces de un polinomio pueden ser Enteras (Z), Racionales, Irracionales o Complejas iii. La cantidad de raíces de un polinomio coincide con su grado iv. Si un polinomio tiene raíces enteras (Z), estas deben ser divisores del término independiente. v. Un polinomio tiene raíces Racionales (Q), solo si el coeficiente del término de mayor grado es diferente de 1; en ese caso, el numerador deberá ser divisor del término independiente y el denominador deberá ser divisor del coeficiente de mayor grado. vi. Un mismo número puede ser raíz de un polinomio más de una vez, en cuyo caso se dice que la raíz es múltiple. vii. Una raíz se denomina raíz par o raíz impar dependiendo de la cantidad de veces que sea raíz del polinomio viii. Si todos los coeficientes de un polinomio son positivos, solo aceptará raíces negativas 1.-Halle el grupo de números que pudieran ser raíces enteras o racionales ( si las debiera tener) de cada uno de los siguientes polinomios. a) P x = 2x 2 + 5x 3 ; b) Q(x) = 6x 2 + 4x 12 ; c) R x = 2x 2 + 3x 2 5x 6 ; d) M(x) = 4x x 2 5x 3

2 2 e) S x = 6x 3 + 8x 2 9x 12 ; f) T(x) = 6x 3 + 2x 2 3x 2 g) N x = 2x 4 + ax 3 a 2 + 2b 2 x 2 ab 2 x + a 2 b 2 ) Z x = 4x 4 12ax 3 + 9a 2 8b 2 x ab 2 x 18a 2 b 2 2.-Para cada uno de los casos anteriores, establezca cuales de los valores hallados en la parte anterior son raíces del polinomio II.- IGUALDAD DE POLINOMIOS Dos, P(x) y Q(x), son iguales si sucede una de las siguientes situaciones, cualquiera de ellas: P(X)=Q(X) si son de igual grado y todos los coeficientes de los términos de igual grado son iguales. P(X)=Q(X) si para un mismo valor de x, los valores numéricos de ambos polinomios son iguales. EJEMPLO 1: Dados los polinomios M(X)= (3m-2)X 3 -(5-2n)X 2 +3X+1 y N(X)=3nX 3 -(3m-2n)X 2 +3X+1, Hallar m y n sabiendo que P(X)=Q(X) USANDO EL PRIMER CRITERIO el coeficiente de grado 3 de M(X) debe ser igual de tercer grado de Q(X), igual con los de grado 2, los de grado 1 y los de grado 0 (términos independientes) de allí que 3m-2=3n 3m-3n=2(Ecu # 1) ; -5+2n=-3m+2n 3m=5 (Ecu # 2) De la Ecu #2 obtenemos que que 3m=5 m=5/3 Sustituyendo ese valor de m en la Ecu #1 ; 3(5/3) 3n=2; 5 3n = 2-3n=2-5 ; -3n=-3 n=1 de donde m=5/3 ;n=1 USANDO EL SEGUNDO CRITERIOHallamos el valor numérico de cada uno de ellos para un valor de x cualquiera, preferiblemente pequeños, y los igualamos, por ejemplo x=1 y x=-1 M(X)= (3m-2)X 3 -(5-2n)X 2 +3X+1 y N(X)=3nX 3 -(3m-2n)X 2 +3X+1 M(1)=(3m-2)(1) 3 -(5-2n)(1) 2 +3(1)+1 M(1)=3m-2-5+2n+3+1 M(1)=3m+2n-3 N(1)=3n(1) 3 -(3m-2n)(1) 2 +3(1)+1 3n-3m+2n+3+1 N(1)=-3m+5n+4 Igualando M(1)=N(1) 3m+2n-3=-3m+5n+4 6m-3n=7(ecu # 1) Este procedimiento debe ser empleado tantas veces como variables tengan las ecuaciones; en nuestro caso dos veces M(-1)=(3m-2)(-1) 3 -(5-2n)(-1) 2 +3(-1)+1 M(-1)=-3m+2-5+2n-3+1 M(-1)=-3m+2n-5

3 3 N(-1)=3n(-1) 3 -(3m-2n)(-1) 2-3(-1)+1-3n-3m+2n-3+1 N(-1)=-3m-n-2 Igualando M(-1)=N(-1) -3m+2n-5=-3m-n-2 3n=3 n=1(ecu #2) al sustituir el valor n=1 en ecu #1 6m-3(1)=7 6m=10 m=5/3de donde m=5/3 ;n=1 1.- Qué condiciones deben cumplirse, en cada caso, para que M(x)=N(x) a) M(x)=3x 3 -(m+n)x 2 +(m+2n)x-2 ; N(x)=3x 3-5x 2 +7x-2 b) M(x)=5x 4 +(2q+5r)x 3 +(q+2r+p)x 2 +(4r+q+2)x+5 ; N(x)=5x 4-10x 3 +x 2 +2x+5 c) M(x)= (m+n)x 3-5x 2 +3x-4 ; N(x)= x 3 +(n-m 2 )x 2 +3x-4 d) M(x)= x 3 +(m-n)x 2 +(m-4n)x+6 ; N(x)=(x+1)(x-2)(x-3) e) M(x)=4x 3 +(2m-n)x 2 +11x+1 ; N(x)=4x 3 +6x 2 +(n 2 -m) x Hallar m y n en cada uno de los siguientes casos. a) (x 2-2mx+1)(3-n+2x)=2x 3 +(m-n)x 2 -(m+4)x+3-n b) (2x-m)(x-3-2m)=2x 2 +(3-2n)x-2n-3 c) (2-3x)(nx+m-1)(x-1)=(m-2)x m d) 4x 3-2x 2-5=(m-3)x 3 -(m+2n-1)x+(p-2)x+(q-m-2n+1) e) (2x-3) 3 =8x 3 +(m-2n)x 2 -(m-n-5)x-27 III.- TEOREMA DEL RESIDUO 1.-DETERMINAR EL RESIDUO DE LAS SIGUIENTES DIVISIONES SIN EFECTUAR LA DIVISIÓN ( ejercicio 5 libro Jorge GidHoffmann) 1) (3x 4-2x 3 +4x 2-7x+3) (x-1) 2) (2x 4-3x 3 +2x 2-2x-12) (x+1) 3) (x 5-5x 4 +7x 3-8x 2 +10x+9) (x-2) 4)(x 3 +7x 2 +15x+11) (x+3) 5) (x 5 +2x 4 +x 3-3x 2 +3) (x+i) 6) (x 4 +3x 3 +4x 2 +10x+3) (x-2i) 2.-

4 4

5 5 IV.- DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFFINI 1.- Realizar las siguientes divisiones por el método de Ruffini a) 4x x 2 3x + 1 2x 1 ; b) 9x 4 + 6x 3 + x 2 3x + 1 3x + 1

6 6 c) 6x 3 x 2 x + 3 3x + 1 ; d) x 3 2x 2 x 2 2x 5 e) 5x 4 3x 3 21 x 15 5x + 2 ; 3 f) 2x 4 ax 3 8x 2 + 2ax + 2a 2 2x a g) 3x 3 4ix 2 x 6 3x i 1 h) 9 x x2 + x 7 1 x i) a x4 bx 3 2 a x2 3bx + 3ab 2 1 x b a j) 2x i x + 3 i 2x 1 3i V.- FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO: Factorice los siguientes polinomios 1.-A(X)Ξ24x 5-128x 3-220x 2 +86x B(X) Ξ 5x 3 -x 4 +28x X 3.- C(X)Ξ114x 3-26x 4-18x x 2-240x-2x D(X)Ξx 4 +7x 3 +7x 2-30x E(X)Ξ18x 5-33x 4-22x 3 +33x-46.- F(X)Ξ4x 4 +22x 3 +12x 2-8x G(X)Ξ36x 4 +24x 3-47x 2 +x+68.-h(x)ξ6x 6 +5x 5 +4x 4-8x 3-12x 2 +3x+2 9.-I(X)Ξx 4-3x 3-9x 2-5x10.-J(X)Ξx 5-15x 3 +16x 2 +2x 4-4x 11.-K(X)Ξ34x 2-2x 4-120x+8X L(X)Ξ144x 5 +36x 4-28x 3-3x 2 +X VI.- HALLAR EL VALOR DE X EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES 1.-60x 2-5x=15-20x x 2 (x-2)-7x=13x x 4 +30x 2-18x = 18x 3-3x 2 4.-x 6-3x 5-12x 4 +24x 3 +48x 2-48x-64= x 4 -x 3-15x 2 +23x+15= x 5 +12x 4-71x 3-48x 2 +5X+6= x 5 +4x 3-2x+5x 2-6x 4 =08.-24x 5-128x x 3-220x 2 +86x-12= x+x 4-4x 3 = x x 4 +71x 3 +14x 2 +x= x 5-10x 4-60x 3 +90X x= x 4-136x 2 =0 VII.- ECUACIONES RECÍPROCAS 1.-3x 4 +4x 3-14x 2 +4x+3= x 4-6x 3-181x 2-6x+72= x 4-11x 3-146x 2-11x+12= x 6 +35x 5-112x 4-270x 3-112x 2 +35x-+12= x 4-6x 3-181x 2-6x+72= x 6-5x 5 +2x 4-2x 2-5X-2= x 5-29x 4 +27x 3-27x 2-29x-6=08.-3x 6 +14x 5 +11x 4-11x 2-14x-3=0 9.-2x 6-3x 5-2x 4-9x 3-2x 2-3x+2=010.-2x 5-15x 4 +37x 3-37x 2 +15x-2=0

7 x 4-95x 3-686x 2-95X =012.-6x 4 +35x 3 +62x 2 +35x+6= x 7-19x 6 +39x 5-21x 4 +21x 3-39x 2 +19x-2=0 VIII.- ECUACIONES TRASCENDENTES 1) 4Sen 4 x 12Sen 3 x + 7Sen 2 x + 3Senx 2 = 0 2) Tg 4 x + Tg 3 x 5Tg 2 x 3Tgx + 6 = 0 3) 2Cos 3 x + 2Cos 2 x Cosx 1 = 0 4) 2Sec 4 x + 9Sec 3 x 18Sec 2 x 71Secx 30 = 0 5) 2Sen 3 x + 3Sen 2 x 3Senx 2 = 0 6) 10Sen 3 x + 13Sen 2 x + 2Senx 1 = 0 7) 8Sen 4 x + 4Sen 3 x + 10Cos 2 x 3Senx 7 = 0 8) 2Tg 4 x + Sec 4 x 3Tg 3 x 5Sec 2 x 4Tg 2 x + Tgx + 6 = 0 9) 12Sen 2 x 25Senx + 2Cscx + 1 = 0 10) 10Cos 2 x 17Cosx 7Secx + 3Tg 2 x 34 = 0 11) lg 3 x 6lg 2 x + 11lgx 6 = 0 12) 7lg 3 x 23lg 2 x + 20lgx 4 = 0 13) 7lg 3 x 8lg 2 x 41lgx + 6 = 0 14) lg 2 4 x 8lg 2 3 x + 17lg 2 2 x + 2lg 2 x 24 = 0 15) 6lg 3 x 11lg 2 x + 6lgx lg10 = 0 16) 3lg 3 x + 2lg 2 x 7lgx + lg100 = 0 17) lg 3 5 x + 2lg 3 4 x 16lg 3 3 x 2lg 3 2 x + 15 lg 3 x = 0 18) 6lg 4 x lg 3 x 24lg 2 x + 4lgx = 0 19) 2 3x x x 8 = 0 20) 2 3x x x 6 = 0 21) 3 4x x x x 27 = 0 22) 2 4x x x x + 24 = 0 23) 8 x 4 x 2 x = 0 24) 2 3x 2 2x x + 84 = 0 25) e 3x 13. e 2x e x 35 = 0 26) 4 3x x x 24 = 0 27) x x x x+1 15 = 0 28) m 3x (a + b + 1)m 2x + (a + ab + b). m x ab = 0