Factorizacion. Matem. Prof. Pamela Granados Vargas. Estudiante. Seccion. L.E.B. Jose Figueres Ferrer

Transcripción

1 Factorizacion Matem Prof. Pamela Granados Vargas Estudiante Seccion L.E.B. Jose Figueres Ferrer

2 Factorización 1 Definición: Al proceso de descomposición de un polinomio o epresión algebraica en el producto de dos o más factores irreducibles se le denomina factorización. Técnicas de factorización Factor común Agrupación (grupos) Fórmulas notables Fórmula general Inspección Teorema del factor (división sintética) Completación de cuadrados Sustitución Factor común 1) a m a m a m n ) 5 10 n, n n1 n1 ) 6 15, n Agrupación: 1) w wy p py n n1 ) a( a b) ( a b), n ) y y y

3 Fórmulas (productos) notables ( a b) a ab b ( a b) a ab b ( a b)( a b) a b ( a b) a a bab b ( a b) a a bab b ( a b)( a ab b ) a b ( a b)( a ab b ) a b Ejemplo: Desarrolle las siguientes fórmulas notables 1) 8 ) ( ) ) ( ) 4) ( a -) 1 5) ( y)(4 y y ) 6) 7 -( w 1) Ejemplo: Factorice las siguientes epresiones, asuma los eponentes bien definidos 1) 16a 81b y 8n 16 4 ) 48m 7( mn) 7n n n1 n 6 ) ) ) 4y y y 9 5) b 1b 48b 64 7) (5 a) 8 8) 8 1 y 6y y 9) n 6 4 p y

4 Fórmula general Teorema: Sea el trinomio P( ) a b c con a 0 y b 4ac, entonces se cumple que Si 0 P ( ) no es factorizable en Si 0 P ( ) tienen dos factores diferentes y su factorización viene dada por b b P( ) a b c d( 1)( ), donde 1 y con a a d Si 0 P ( ) tienen dos factores iguales, entonces con d P( ) a b c d( ) 1 1) ) ) a 7 5, a 0 ) 8 15 Inspección 1) 11 0 ) 9 y y ) 4a 15a b 81b 4 4 4) ( a b) c( a b) c 5) Si el trinomio - + k es factorizable, =1, determine el valor de k

5 Definición: Sea P un polinomio, se dice que es un cero de P sii P( ) 0 4 Teoremas: Un polinomio de grado n, con coeficientes reales, tiene a lo sumo n ceros reales. Un polinomio con coeficientes reales, de grado impar, tiene al menos un cero real. Procedimiento para determinar los posibles ceros del polinomio: Ceros enteros: son los divisores del término constante que lo forma, ie el que no posee variable. Ceros Fraccionarios: son de la forma a donde a es un divisor del monomio de menor grado b (el término constante) y b es uno de los divisores del monomio de mayor grado (grado n). Si ninguno de los posibles ceros, del polinomio, cumple que P( ) 0, entonces se dice que el polinomio NO tiene ceros racionales, ya que pueden ser irracionales o complejos. Ejemplo: Determine el o los ceros del polinomio P ( ) 1 Teorema del factor Si P ( ) es un polinomio y es un cero del polinomio, entonces ( ) es un factor P ( ) Ejemplo: Anote la cantidad máima y mínima, de ceros, que posee el siguiente polinomio Polinomio Máimo Mínimo 6 5 1) P( ) 1 Teorema del Factor: Si ( ) factor de P ( ) P es un polinomio y es un cero del polinomio, entonces ( ) es un Ejemplo: Para los siguientes polinomios, anote los valores de los ceros y sus respectivos factores. Polinomio Ceros Factores 1) P( ) 1

6 División sintética 5 4 1) ) 1 4 ) Sustitución 4 1) ) ( 8) 5( 8) 6 6 ) ) Reglas a seguir en la factorización ( ) n n a b ( b a), si n es par ( ) n n a b ( b a), si n es impar

7 Completación de cuadrados m 5m a 5a y 16y 4 4 Combinación de métodos 1. m n 10 80y. y a ay

8 y 91 y 6y 4. 4y 81 1y 9 5. a b a b a b a b 6. y y y y y y a b a b a b a b a b ab 8. a ab b b ab

9 PrActica 1) Factorice completamente los siguientes polinomios. 8 1) 9m 4 1y 9y ) (a b ) (a b ) ) a a a a a a 4) a 4ab 4b 16 5) 81 y 8 6) a 4b ya 6yb ) ) 7a y a 7b y b 9) y a b c a b c a 10) 1 11) m n m1 n1 m1 n1 1) a ( a b) b ( a b ) 1) n n n k y ky 4 14) ) ( ) 6 16) ( 1) 64 n 6m y 17) ) m 9n 6mn 4a 4a 19) y a b ab 9-n 5 10 n ) 64 15y 40 y 00 y 1) 16 y 1ab 4a 9b

10 ) 5 6 ) b b 6 4) 8a 19a 7 5) 1-( y) 6) ( a 1) ( ) a 7) 8a 6a 54a 7 8) a a b ab b ) Halle el valor del parámetro k, de modo que + sea un factor de k 5 ) Si P( ) a c y ac 1, entonces P ( ) es factorizable sobre el conjunto de los números a) naturales c) racionales b) enteros d) irracionales 4) Si P( ) a b c; P( 1) P(1) P() 0, entonces el valor numérico de ab c es a) -5 b) -1 c) 1 d) 5 5) Determine los valores de k para que el polinomio iguales P( ) k 1 tenga dos factores 6) Si P( ) ( 1)( )( ), entonces los ceros de P ( ) corresponden a a) {-,1,} b) {-,-1,} c) {0,1,,} d) {-,0,1,} 7) Si,es un factor de P, ( ) entonces podemos afirmar que a) P() = 0 b) P(0) = c) P(-) = 0 d) P(0) = -} Fuentes: Álgebra de Baldor; Tópicos de Álgebra Elemental 10º de Reinaldo Jiménez